Công thức lượng giác 1.
Trang 1Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:
Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
Góc
GTLG
00
0 (
6
0 (
4
0 (
3
0 (
2
2
2 2
3 2
1
2
2 2
1 2
0
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
+ α + α = ∀α ∈
π
+ α α = ∀α ≠ ∈ ÷
π
+ = + α ∀α ≠ + π ∈ ÷
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2 2
tan cot 1 k ,k Z
2
sin
Hệ quả:
• sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x
• tanx= 1
cot x ;
1 cot
tan
x
x
=
• Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2x.cos2x
• Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π”
D/ Công thức lượng giác
1 Công thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) = tan tan
1 tan tan
− +
a b
tan(a + b) = tan tan
1 tan tan
+
−
a b
2 Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa ⇒ sina.cosa= sin2 1
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a
tan2a = 2 tan2
1 tan −
a a
3 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
cos2a = 1 cos 2
2
a
+
sin2a = 1 cos 2
2
a
−
tg2a =1 cos 2
1 cos 2
a a
− +
5 Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
:
sinx = 2 2
1
t t
+ cosx =
2 2
1 1
t t
− +
tanx = 2 2
1
t t
− cotx =
2 1 2
t t
−
6 Công thức biến đổi tổng thành tích
cosa cosb 2 cos a b cos a b
cosa cos b 2sin a b sin a b
sin a sin b 2sin a b cos a b
sin a sin b 2cos a b sin a b
cos cos 2
±
a b
π π
sin sin
+
sin sin
sin cos 2 sin( ) 2 ( )
a a a π cos a π
sin cos 2 sin( ) 2 ( )
a a a π cos a π
cos sin 2 ( ) 2 sin( )
a a cos a π a π
7 Công thức biến đổi tích thành tổng cos cos 1 [ cos( ) cos( ) ]
2
sin sin 1 [ cos( ) cos( ) ]
2
sinα
2 π
0 π
3 2 π
cosα 0 α
Trang 2[ ]
1
2
2
II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:
2 ) cosu = cosv u = v + k2 ) sinu = sinv ,k
2 c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k
u v k
= + π
Chú ý: a/ Nếu cung α thoả
sin
a
α
=
− < <
thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a Khi đó phương trình sinx = a ⇔
x arc a k
k Z
π
b/ Nếu cung α thoả cos
0
a
α
α π
=
< <
thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a Khi đó phương trình cos x = a ⇔ arccos 2
arccos 2
k Z
π π
c/ Nếu cung α thoả
tan
a
α
=
− < <
thì α gọi là arctana cung có tan bằng a Khi đó phương trình tanx = a ⇔ arctan ,
x = a k + π k Z ∈
d/ Nếu cung α thoả cot
0
a
α
α π
=
< <
thì α gọi là arccota cung có cot bằng a Khi đó phương trình cotx = a ⇔ arc cot ,
x = a k + π k Z ∈
Một số phương trình đặc biệt:
2
2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:a sin x b + cos x c =
Phương pháp giải: a sin x b cos x c 2a 2 sin x 2b 2 cos x 2c 2
Đặt
2 2
2 2
sin
cos
a
a b b
a b
α
α
đưa phương trình về dạng:cos( x ) 2c 2
a b
−β =
+ rồi tiếp tục giải
Điều kiện có nghiệm a2+ ≥ b2 c2
3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.
Dạng: a t 2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx
Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp.
Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện t ≤ 1
4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx:
* Dạng:a sin2x b + sin cos x x c + cos2x d = (1)
Trang 3Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
* Cách giải:
TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔
2
x = + π k π
có là nghiệm của (1) hay không ? TH2: cosx ≠ 0 thay d = d ( sin2x + cos2x ), chia cả 2 vế phương trình chocos x2 , sau đó đặt t = tan xrồi đưa về
phương trình bậc 2 theo biến tanx.
5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng:A ( sin x ± cos x ) + B ( sin cos x x ) + = C 0
2
t
trình đại số theo t:
2 1
0 2
t
At B + ± − + = C
BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 sin 2 x − cos2 x = 0
2 sin 3 x + 2 cos3 x = 0
3 4sin2 x = 1
4 sin2x + sin 22 x = 1
5 sin 4
1 cos6
x
x =
6 sin 2x = 2cos x
7 sin cot 5 = 1 cos9
x
8 tan3 x = tan 5 x
9 ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1
10 sin 2
2 cos
1 sin
x = − +
Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm 3
; 2
x − π π
sin cos cos sin
x π + x π =
II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 cos 2 x + 3sin x = 2
2 4sin4x + 12 cos2x = 7
3 25sin2x + 100 cos x = 89
4 sin 24 x + cos 24 x = sin 2 cos2 x x
−
tan 2
cos
x
x
Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
1 cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
2 sin 2x – ( 2m -1) sin x + m 2-1 = 0 ( m là tham số )
Bài 3 : Giải các phương trình
1) 2+cos2x = -5sinx
2) sin3x+2cos2x-2 = 0
3) 2+cosx = 2tg
2
x
4) cosx = cos2(
4
3x
)
5) tg2x + sin2x =
2
3 cotgx 6) 2 + 3tgx – sin2x = 0
7)
x
x
sin 5
5 sin
=1 8) 3cos4x – 2cos2(3x) = 1
9) 2sin3x + cos2x = sinx
10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1)
11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x)
12)cho phương trình :sin4x + cos4x -
4
1 sin2(2x) + m = 0 a.Giải phương trình khi m= 2
b.tìm m để phương trình có nghiệm
Trang 413) 3cos6(2x) + sin4(2x) + cos4x = 0
14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0
15) 1 + 3tgx = 2sin2x
16) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx
17) sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin2x + 1 = 2cos2(
2 3
x
−
π )
x
x x
cos 4 sin
2 sin 1 2
sin
1
= +
+
−
19) sin4x = tgx
20) sin3x + sin2x = 5sinx
22) 2cos2x – 8cosx + 7 =
x
cos
1
23) sin 3x sin 5x
3 = 5
24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2π) của phương trình
5(sinx + )
2 sin 2 1
3 sin 3 cos
x
x x
+
+
= cos2x + 3 (KA-2002)
25) cotgx – tgx + 4sin2x =
x
2 sin
2 (KB-2003)
26)sin4x + cos4x + cos(
4
π
−
x ).sin(3x -
4
π ) - 2
3 = 0
III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1 sin 3 x + 3 cos3 x = 2
sin 2 sin
2
x + x =
3 2sin17 x + 3 cos5 x + sin 5 x = 0
4 2sin (cos x x − = 1) 3 cos2 x
5 3 sin 4 x − cos 4 x = sin x − 3 cos x
6 3cos x − sin 2 x = 3(cos2 x + sin ) x
7 sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2
Bài 2 : Cho 3sin 2
2 cos2
x y
x
=
+
1 Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Giải phương trình
1) 3sin2x + cos2x = 2 ( ĐH Huế 99)
2) 2cos2x + sin2x = 2
3) 3cos3x + 4sinx +
1 sin 4 cos 3
6 +
4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
5) cosx + 3sinx = 2cos2x
6) Tìm
∈
7
6 , 5
2 π π
x thoả phương trình
cos7x - 3sin7x= – 2
7) cos7x.cos5x – 2sin2x = 1 – sin7x.sin5x
8) 2cosx(sinx – 1) = 3cos2x
9) 3sinx – 3cos3x = 4sin3x – 1
10) 3sin(x –
3
π ) + sin (x +
6
π ) = 2sin2006x
11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx 13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 14)
) 6 2 cos(
5 ) 2 cos 3 2
15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0 16) 4 (sin4 x + cos4x ) + 3 sin 4 x = 2
17) 1+ sin32x + cos32x =
2
1 sin4x 18) tgx –3cotgx = 4(sin x+ 3cosx) 19) sin3 x + cos3 = sin x − cos x 20)
4
1 cos
) 4 ( sin4 x + π + 4 x =
Trang 5Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1) 2
2sin 2 x − 2 3 sin 2 cos2 x x = 3
4sin 6 cos
cos
x
+ =
3) sin 3 x = 2 cos3x
4sin x + 3 3 sin 2 x − 2 cos x = 4
cos x + sin x = sin x − cos x
6) 8cos (3 ) cos3
3
x + π = x
8cos
sin cos
x
= +
8) 2 sin (3 ) 2sin
4
x + π = x
9) sin 3 x + cos3 x + 2 cos x = 0
Bài 2 :
Giải phương trình :
1) 3sinx+cosx =
x
cos
1 2) sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2
3)sin3x + cos3x = sinx – cosx
4) 2cos3x = sin3x
5) sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3
6) sinx – 4sin3x + cosx = 0
7) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
8) cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0
9) 3 cos4 x − 4 sin2 x cos2 x + sin4 x = 0
tgx
x
2 sin 2
1 sin 1
2
− +
(ĐHBKA-2003) sin3x + cos3x + 2cosx = 0
x
x x x
x
2 cos 2
cos 4 sin 5 cos 2 sin
) cos sin 2 (cos 3 sin 2 sin
V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1 12(sin x + cos ) 4 sin cos x − x x − 12 0 =
2 sin 2 x + 5(sin x + cos ) 1 0 x + =
3 5(1 sin 2 ) 11(sin − x − x + cos ) 7 0 x + =
sin 2 (sin cos ) 0
2
x + x − x + =
5 5(1 sin 2 ) 16(sin − x − x − cos ) 3 0 x + =
6
2(sin x + cos ) (sin x − x + cos ) sin 2 x + x = 0
(sin cos 1)(sin 2 )
x − x + x + = −
8 sin x − cos x + 4sin 2 x = 1
9 sin x + cos x − sin 2 x = 0
10 2(sin x + cos ) tan x = x + cot x
11 cot x − tan x = sin x + cos x
12 2sin 2 1 sin cos 2sin 2 1 sin cos 1
− + −
Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
1 Giải phương trình với m = - 2
2 Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số
y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1
Bài tập 4:
1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D)
2) cotgx – tgx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97)
3) sin x − cos x + 2 sin 2 x = 1 (ĐH An ninh 98-A)
2 4 ( cos 8 cos
) sin 1 (
2
x x
x
−
−
= 0 (Kiến trúc HN 98)
2) sinx+ sin2x+sin3x+sin4x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x
3) sin3x+ cos3x = 1
4) sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1
5) 1 + sin3x+ cos3x =
2
3 sin2x (ĐH GT VT 99) 6) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97)
7) Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x
a.Giải khi m= -1
Trang 6b.Ttìm m để phương trình có nghiệm
10) sin3x+ cos3x = sin2x + sinx + cosx
11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2
12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1
13) 1 + sin3x- cos3x = sin2x
VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
1 2 + 1 + =
sin
x
x
B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phương trình
1 sin2 x + sin 32 x = cos 22 x + cos 42 x 3 sin2x + sin 22 x − sin 32 x = 0
sin sin 2 sin 3
2
x + x + x = 8 8 17 2
16
C – Phương trình biến đổi về tích
Bài 3 : Giải phương trình
1 cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x = 0
2 1 sin + x + cos3 x = cos x + sin 2 x + cos 2 x
3 2cos3x + cos 2 x + sin x = 0
4 cos x + cos 3 x + 2 cos 5 x = 0
5 cos3 x + sin3x = sin 2 x + sin x + cos x
6 sin2 x + cos3x + sin x = 0
7 2 1 sin tan
1 cos
+
= +
x x
x
8 sin3x − cos3x = sin x + cos x
9 cos cos5
8sin sin 3 cos3 cos
x − x =
10 sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau
8cos
sin sin
x
2 1 cos 22
1 cot 2
sin 2
x
g x
x
−
3
4 sin 2 cos 2
cos 4
x
π − + π + =
4
2 cos (1 cot ) 3
3cos
2 sin( )
4
x
x π
−
5 cos 2 2sin cos
3 2cos sin 1
Bài 2: Giải các phương trình
1 tan 3x= tan 5x
2 tan2xtan7x=1
3 sin 4x
1
co s 6x =
4 sin cot 5
1 cos9 x x =
x
5
3
4 sin( 2 ) cos( )
π
+
=
6 cos3 tan5 x x = sin 7 x
Bài 3 : Giải các phương trình
1 sin sin 2 sin 3
3 cos cos 2 cos3
+ +
2
2
1 2sin 3 2 sin sin 2
1 2sin cos 1
x x
−
3
sin cos
cos 2 2cos sin
x
−
2 2 sin( )
x
π
−
=
x x x
3tan3 cot 2 2tan
sin 4
x
+ = +
Trang 7Phương trình lượng giác có chứa tham số
Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau :
* Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau :
Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x
Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x)
Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức
* Với x ∈ D thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t ∈ T
* Với mỗi t ∈ Tthì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x
Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ D
Xác định m để các phương trình sau :
1 Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm ;
3 2
x ∈ − π π
2 m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm 0 ;
2
x π
∈ ÷
3 m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 0 ;
2
x π
∈ ÷
4 ( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0
5 m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm 0 ;
4
x π
∈ ÷
6 cos 4x - 4tan2
1 tan +
x
x= 2 m có nghiệm x 0 ; 2
π
∈ ÷
7 m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 0 ;
2
x π
∈ ÷
8 Cos 2x = m cos 2x 1 tan + x có nghiệm 0;
3
π
9 tan2x + cot2x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm
10 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm
Bài toán 2 :
Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 Tìm m để phương trình có n nghiệm x∈D
Tìm m để các phương trình sau thoã mãn :
1. m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt ;
2 2
x − π π
∈ ÷
2. m sin2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x 3
0;
2
x π
∈ ÷
3. m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm x ∈ [ ] 0; π
4. ( 1- m) tan 2 x - 2
cos x + + m = có nhiều hơn một nghiệm 0;
2
x π
∈ ÷
5. (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2x có đúng hai nghiệm 0;
2
x π
∈
6. cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm 0;
2
x π
∈ ÷
7. sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm x ∈ ( 0;3 π )
8. 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm ;3
6
x − π
∈ ÷
VII Phương trình lượng giác đặc biệt
1.Phương pháp tổng bình phương
Sử dụng
=
=
⇔
= +
0
0 0
2 2
B
A B
A
1) 4 cos2x + 3 tg2x − 4 3 cos x + 2 3 tgx + 4 = 0
Trang 83) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin3x + 1) = 0
4) y2 − 4 y + 5 = sin 2 x
2 Phương pháp đánh giá
Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x)
Nếu có số thực a sao cho f ( x ) ≤ a ≤ g ( x ) thì
=
=
⇔
=
a x g
a x f x
g x f
) (
) ( )
( ) (
1)
x x
x
cos
1 cos
2cos = + 2) cosx + cos 2 x = 2
3) ln(sin2x) – 1+ sin3x = 0
4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0
( ĐH kiến trúc HN97)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
(Tổng hợp luyện thi đại học) 1/ cos23x.cos2x – cos2x = 0 2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 3/ cos4x + sin4x + cos .
4
− π x sin
− 4
3 x π
- 2
3 = 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x
5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 6/ cotx – 1 =
2
1 sin tan
1
2
− +
x
sin2x
7/ cotx – tanx + 4sin2x =
x
2 sin
2
2 cos tan
4 2
x
x π
2 sin 2 1
3 sin 3 cos
sin
+
+
x
x x
x với 0 < x < 2π 10/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0 ≤ x ≤ 14
12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x 13/ 3 sin 2 x − 2 2 sin2 x = 6 − 2 14/ cos3x + sin7x = 2
2
9 cos 2 2
5 4
sin2 x − 2 x
+ π
15/ sin3x + sinx.cosx = 1 – cos3x
16/ 2 + cos2x = 2tanx 17/ sinx.cosx + cos2x =
2
1
2 +
−
=
+
2 4 sin 3 4
2
3
19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1)
20/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0 21/ 1
2 cos 1
2 sin
= +
+
x x
22/ cosx + sin2x = 0 23/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0
24/ (5sinx – 2)cos2x = 3(1 – sinx)sin2x 25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx
26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x 27/
+
=
+ +
+
4
cos 6
cos 3
28/ sin3x + cos3x = sinx – cosx 29/ x 2 sin x tan x
4 sin
.
− π
30/ 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x 31/ cos3x.sìnx – cos4x.sinx = sin 3 x 1 cos x
2
1
+
32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x – 1 33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x
2 cos
cos
2 sin
sin
=
−
−
x x
x x
35/ sinx + sin2x + sin3x = 0
x x
x x
2 tan 8
13 sin
cos
sin
cos
2 2
6 6
=
−
+ 37/ cos2x.sin4x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1 38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 39/ cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2
Trang 940/ 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0 41/
1 cos 2
4 2 sin 2 cos ) 3 2
−
−
−
−
x
x
= 1
cos
sin
) 1 (cos
cos2
x x
x
x x
+
= +
− 43/ cotx = tanx +
x
x
2 sin
4 cos 2
44/
x
x x
x x
2 sin 8
1 2
cot 2
1 2
sin
.
5
cos
−
=
x
x x
4
cos
3 sin ) 2 sin 2 ( 1
46/ tanx + cosx – cos2x = sinx(1 + tanx.tan )
2
x
47/ sin(π cos x ) = 1 48/ cos3x – sìnx = 3(cos2x - sin3x) 49/ 2cos2x - sin2x + sinx – cosx = 0
50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 53/ cos2x.sin2x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1 54/ 8.sin2x + cosx = 3.sinx + cosx 55/ 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0
56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos2x
58/ 1 + sin x + cos x = 0 59/ 3cosx 1 sin x cos2x 2 sin x.sin x 1 ( − ) − = 2 −
2
cos
2
sin
2
= +
61/
4sin x 3
sin x sin x 4
2
π
π
−
÷
÷
62/ 2sin22x + sin7x – 1 = sinx 63/
2(cos x sin x) sin x cosx
0
2 2sin x
=
−
2 tan tan
x 65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
