Phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông ñöa veà daïng cô baûn 4 hoaëc töø 5a ñeán 5e 2.. Phöông phaùp ñaët aån phuï.[r]
Trang 110 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Hoàng Công Nhật
1) Hệ thức cơ bản thường dùng
2
sin a cos a 1 sin a cos a 1 sin 2a sin a cos a 1 sin 2a
2) Công thức lượng giác
cos a b cos a cosb sina sinb
sin(a b) sina cosb cos a sinb
tana tanb tan(a b)
1 tana tanb cot a cotb 1 cot(a b)
cot a cotb
2 2
2
sin2a 2 sina.cosa cos2a cos a sin a
2cos a 1
1 2 sin a
2 tana tan2a
1 tan a
3 3
sin3a 3sina 4 sin a
cos 3a 4cos a 3cos a
( các công thức hạ bậc thường dùng trong tích phân )
1 cos a cosb cos(a b) cos(a b)
2 1 sina sinb cos(a b) cos(a b)
2 1 sina cosb sin(a b) sin(a b)
2
cos a cosb 2 sin sin
sina sinb 2 sin cos
ĐẶC BIỆT :
sinx cos x 2.sin x
4
; sinx cos x 2.cos x
4
; t anx tany tan(x y)
cos x.cos y
g) Công thức hữu tỉ hóa theo t
Đặt t tana
2
sina 2t2; cos a 1 t22; tana 1 t22
Trang 23) Cung liên kếát ( chỉ cần nhớ cho sin và cos )
a) Cung đối: cos x cos x; sin x sin x; tan và cot
b) Cung bù: cos x cos x; sin x sin x; tan và cot
c) Cung phụ: cos x sin x; sin x cos x; tan( x) cot x; cot x tan x
d) Cung hơn kém : cos x cos x; sin x sin x; tan và cot
e) Cung hơn kém
2
4) Phương trình lượng giác cơ bản ( Công thức họ nghiệm )
Các họ nghiệm của phương trình đặc biệt :
2
2
2
Với k Z 5) Các phương trình lượng giác thường gặp
a Phương trình lượng giác bậc 2 hoặc cao hơn
2 2
a.sin u b.cosu c 0 Thay sin u 1 cos u
a.cos u b.sinu c 0 Thay cos u 1 sin u
a cos2u bcosu c 0 Thay cos2u 2cos u 1
a cos2u b sinu c 0 Thay cos2u 1 2 sin u
1 a.tanu bcot u c 0 Thay cot u
tanu
Các phương trình từ bậc ba trở lên ta tàm tương tự
b Phương trình lượng giác dạng a sinu b cosu c
Điều kiện có nghiệm: a2 b2 c2
Chia 2 vế cho a2 b2 , dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin hoặc cos
: cos(u ± ) = cos hoặc sin(u ± ) = sin
Các phương trình a sin x bcos x c , a cos x b sin x c cũng được giải tương tự
Trang 3c Phương trình lượng giác đẳng cấp
Dạng 1: a.sin u b.sinu.cosu c.cos u d2 2
CÁCH 1
Xét cosu = 0 có thỏa mãn hay không
Xét cosu 0, chia 2 vế cho cos2u để được phương trình bậc 2 theo tanu
CÁCH 2
Viết d = d(sin2u + cos2u) , nhân , rút gọn
Đặt nhân tử chung (hoặc chia cho cos2u để được phương trình bậc 2 theo tanu)
Dạng 2 :a.sin u b.sin u.cosu c.sinu.cos u d.cos u 03 2 2 3
Xét cosu = 0 có thỏa mãn hay không
Xét cosu 0, chia 2 vế cho cos3u để được bậc 3 theo tanu
d Phương trình lượng giác đối xứng loại 1: a(sinu cosu) b.sinu.cosu c
Đặt t = sinu cosu, điều kiện t 2, bình phương 2 vế để có sinu.cosu = ?
Thay vào ta được bậc 2 theo t
e Phương trình lượng giác đối xứng loại 2 : a( tan u cot u ) b( tanu cot u ) 0n n
Đặt t = tanu - cotu thì t R ; Đặt t = tanu + cotu thì t 2
Bình phương hai vế Chuyển vế có t tan2u + cot2u , thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo ẩn số t
6) Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát
1 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản 4 hoặc từ 5a đến 5e
2 Phương pháp biến đổi đã cho về dạng tích A.B = 0 A 0
B 0
3 Phương pháp đặt ẩn phụ.
4 Phương pháp đối lập và tổng bình phương ( Xem phương trình căn thức )
BÀI ÔN TẬP
a) sin2 x 2cosx 2 0
x
2
c) cos 4x sin2x 1 0 ; d) cos6x 3cos 3x 1 0
e) 12 2 3 tan x 1 2 3 0
2cos x sin x cos2x 0
g) 3 tan x2 5 1 0
cos x
cos x cos x
i) 5sin2x sin x cos x 6 0 ; j) tan x cot x 2 tan x cot x2 2 6
Trang 4Câu 3) Giải các phương trình lượng giác sau :
a) 2cos x2 3 sin2x 2 b) 2 sin2x cos2x 3 cos 4x 2 0
c)4 sin x 3 3 sin2x 2cos x 42 2 d)sin3x 3 cos3x 2cos 4x
e)cos x 3 sin x 2cos x
3
g)sin8x cos6x 3 sin6x cos8x
h) 3 sin2x cos2x 2 cos x 2 sin x
k) 2 sin x 4 sin x 3 5
a) 3sin x 3 cos 3x 1 4 sin x 3 ; b) 3 cos5x 2 sin3x cos2x sin x 0 ; c)
2
sin cos 3 cos x 2
sin x cos x
5 7
thỏa phương trình cos7x 3 sin7x 2
a) 3sin x sin x cos x 2cos x 32 2 b) sin x sin2x 2cos x2 2 1
2
c) 2 sin x 3 3 sin x cos x cos x 42 2 d) cos 2x sin4x 3sin 2x 02 2
e)sin x sin x 2 cos x 02
4
g)sin x sin2x sin3x 6 cos x 3
h)sin x 2 sin x.cos x 3cos x 03 2 3 ; i) 6 sin x 7cos x 5sin x cos x 3 2
sin x cos x 3 sin2x 2 k)sin x cos x sin x cos x3 3
11 CÁC ĐỀ THI VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. sin x.(4cos x 1) cos x(sin x cos x sin3x)2 2 ĐS:
2 (ĐH-2012B)Giải phương trình 2(cos x 3 sin x)cos x cos x 3 sin x 1.
3
3 (ĐH-2012D)Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x
12
12
(với k Z)
Trang 56 (ĐH 2011A) Giải phương trình trong R : 1 sin2x cos2x2 2 sin x.sin2x
1 cot x
ĐS: sin x(1 sin2x cos2x) 2 2 sin x cos x2 2 x k ; x k2 (k Z)
7 (ĐH 2011B) Giải phương trình trong R : sin2x.cosx + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx
ĐS: sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – 1 + sinx x k2 ; x k2 (k Z)
tan x 3
ĐS: ĐK cosx 0 ; tanx 3 2sinxcosx + 2cosx (sinx + 1) = 0; x k2 (k Z)
3
ĐS: Điều kiện: cos x 0; 1 tan x 0
PT sin x cos2x 0 x k2 ; x 7 k2
11 (ĐH 2010B) Giải phương trình trong R: (sin2x cos2x)cos x 2cos2x sin x 0
ĐS: PT (sin x cos x 2)cos2x 0 x k
12 (ĐH 2010D) Giải phương trình: sin2x cos2x 3sin x cos x 1 0
ĐS: PT (2 sin x 1)(cos x sin x 2) 0 x k2 ; x 5 k2
ĐS:
14 (CĐ 2009ABD) Giải phương trình (1 + 2sinx)2.cosx = 1 + sinx + cosx
(1 2 sin x)(1 sin x)
ĐS: Điều kiện: sin x 1, sin x 1
2
PT cos x 3 sin x sin2x 3 cos2x cos x cos 2x
16 (ĐH 2009B) Giải phương trình trong R:sin x cos x.sin2x 3 cos3x 2 cos 4x sin x 3
Trang 6ĐS: PT sin3x 3 cos 3x 2cos 4x cos 3x cos 4x
6
6 2
17 (ĐH 2009D) Giải phương trình trong R: 3 cos5x 2 sin3x cos2x sin x 0
ĐS: PT 3cos 5x 1sin5x sin x
18 3
18 (CĐ 2008ABD) Giải phương trình trong R: sin3x 3 cos 3x 2 sin2x
ĐS:
sin x
2
ĐS: Điều kiện: sin x 0, sin x 3 0
2
sin x cos x
4
8 5
8
20 (ĐH 2008B) Giải phương trình trong R: sin x3 3 cos x sin x cos x3 2 3 sin x cos x2 ĐS: PT cos2x sin x 3 cos x 0 x k ; x k
21 (ĐH 2008D) Giải phương trình trong R: 2 sin x(1 cos2x) sin2x 1 2cos x
ĐS: PT (2cos x 1)(sin2x 1) 0 x 2 k2 ; x k
22 (ĐH 2008A1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:
ĐS: PT 2cos x 3 cos2x sin2x cos 2x cos x
6
Do x (0; ) nên chỉ chọn x 5 ; x 17 ; x 5
4
ĐS: PT cos x sin x 3cos x.sin x 3cos x.sin x 3cos x sin x 03 3 2 2
Xét 2 trường hợp:
Trang 7Nếu cos x 0 thì PT cos x 03
sin x sin x 0
Nếu cos x 0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos x3
Khi đó: PT cos x 0
tan x 1
4
Vậy: PT có nghiệm: x k
2
4
24 (ĐH 2008B1) Giải phương trình trong R: sin x cos2x cos x tan x 1 2 sin x 0 2 2 3 ĐS: Điều kiện: cos x 0 x k
2
PT 2 sin x sin x 1 02 x k2 ; x 5 k2
ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT tan x3 1 x k
4
ĐS: Điều kiện: sin x 0 PT (cos x 1)(2 sin x 1) 0 x k2
6 5
6
27 (ĐH 2008D2) Giải phương trình trong R: sin2x cos2x 3 sin x cos x 2 0
ĐS: PT (2 sin x 1)(sin x cos x 1) 0
1 sin x
2
2 sin x
28 (ĐH 2007A) Giải phương trình trong R: 1 sin x cos x 2 1 cos x sin x 1 sin2x2
ĐS: PT (sin x cos x)(1 sin x)(1 cos x) 0
4
2
x k2
29 (ĐH 2007B) Giải phương trình trong R: 2 sin 2x sin7x 1 sin x2
Trang 8ĐS: PT cos 4x 2 sin3x 1) 0
2
30 (ĐH 2007D) Giải phương trình trong R :
2
sin cos 3 cos x 2
ĐS: PT 1 sin x 3 cos x 2 cos x 1
2
6
2 sin x sin2x
ĐS: Điều kiện sin2x 0 PT cos2x 2cos x cos x 1 2 0 x k
32 (ĐH 2007A2) Giải phương trình trong R :
2
2cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x)
2
3
2
2
ĐS: Điều kiện: sin2x 0 PT cos x cos2x x k2
3
12
36 (ĐH 2007D2) Giải phương trình trong R: (1– tan x)(1 sin2x) 1 tan x
ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT (cos x sin x)(cos2x 1) 0 x k
4
x k
37 (ĐH 2006A) Giải phương trình trong R : 2 cos x sin x 6 6 sin x.cos x 0
2 2 sin x
Trang 9ĐS: Điều kiện: sin x 2
2
PT 3sin 2x sin2x 4 02 x k
4
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x 5 2m
4
2
ĐS: Điều kiện: sin x 0, cos x 0, cosx 0
2
PT cos x sin x 4
sin x cos x
1 sin2x
2
12 5
12
39 (ĐH 2006D) Giải phương trình trong R: cos 3x cos2x cos x 1 0
ĐS: PT sin x(2cos x 1) 02
x k 2
3
8
ĐS: PT cos 4x 2
2
6
ĐS: PT sin x 3 cos x sin x 2 0 x k
7
6
42 (ĐH 2006B1) Giải phương trình trong R: 2 sin x 1 tan 2x 3 2cos x 12 2 2 0 ĐS: Điều kiện: cos2x 0 PT cos2x tan 2x 3 2 0 x k
43 (ĐH 2006B2) Giải phương trình trong R: cos2x (1 2cos x)(sin x cos x) 0
ĐS: PT (sin x cos x)(cos x sin x 1) 0
4
2
44 (ĐH 2006D1) Giải phương trình trong R: cos x sin x 2 sin x 13 3 2
ĐS: PT (cos x sin x)(1 cos x)(sin x 1) 0
4
x k2
2
45 (ĐH 2006D2) Giải phương trình trong R: 4 sin x 4 sin x 3sin2x 6 cos x 03 2
Trang 10ĐS: PT (sin x 1)( 2cos x 3cos x 2) 0 2 x k2
2 2
3
46 (ĐH 2005A) Giải phương trình trong R: cos 3x.cos2x cos x 02 2
ĐS: PT 2cos 4x cos4x 3 02 x k
2
47 (ĐH 2005B) Giải phương trình trong R: 1 sin x cos x sin2x cos2x 0
ĐS: PT (sin x cos x)(2cos x 1) 0 x k
4 2
3
ĐS: PT sin 2x sin2x 2 02 x k
4
49 (ĐH 2005A1) Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:
6
4
ĐS: PT cos x sin x 3cos x.sin x 3cos x.sin x 3cos x sin x 03 3 2 2
Xét 2 trường hợp:
Nếu cos x 0 thì PT cos x 03
sin x sin x 0
Nếu cos x 0 thì ta chia 2 vế của PT cho cos x3 Khi đó: PT cos x 0
tan x 1
4
Vậy: PT có nghiệm: x k
2
4
51 (ĐH 2005B1) Giải phương trình trong R: sin x.cos2x cos x tan x 1 2 sin x 0 2 2 3 ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT 2 sin x sin x 1 02 x k2
6 5
6
ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT tan x3 1 x k
4
Trang 11ĐS: Điều kiện: sin x 0 PT 2 sin x 1 x k2
6 5
6
54 (ĐH 2005D2) Giải phương trình trong R: sin2x cos2x 3 sin x cos x 2 0
ĐS: PT (2 sin x 1)(sin x cos x 1) 0
1 sin x
2
2 sin x
5
2
55 (ĐH 2004B) Giải phương trình trong R: 5sin x 2 3(1 sin x) tan x 2
ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT 2 sin x 3sin x 2 02 x k2
6 5
6
56 (ĐH 2004D) Giải phương trình trong R: (2cos x 1)(2 sin x cos x) sin2x sin x
ĐS: PT (2cos x 1)(sin x cos x) 0 x k2
3
4
ĐS: Điều kiện: sin x 0, cos x 0, tan x 1
PT (cos x sin x)(1 sin x.cos x sin x) 0 2 x k
4
sin2x
ĐS: Điều kiện: sin x 0
cos x 0
3
ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT (1 sin x)(1 cos x)(sin x cos x) 0 x k2
4
60 (ĐH 2003A1) Giải phương trình trong R: cos2x cos x 2 tan x 1 2 2
ĐS: Điều kiện: cosx 0
PT (1 cos x)(2cos x 5cos x 2) 0 2 x (2k 1) , x k2
3
61 (ĐH 2003A2) Giải phương trình trong R: 3 tan x tan x 2 sin x 6 cos x 0 .
Trang 12ĐS: Điều kiện: cosx 0 PT (1 cos2x)(3cos x sin x) 02 2 x k
3
62 (ĐH 2003B1) Giải phương trình trong R: 3cos4x 8cos x 2cos x 3 0 6 2
ĐS: PT cos2x( 2cos x 5cos x 3) 04 2 x k , x k
63 (ĐH 2003B2) Giải phương trình trong R: 2 3 cos x 2 sin 2 x
2cos x 1
ĐS: Điều kiện: cos x 1
2
3
64 (ĐH 2003D1) Giải phương trìnhtrong R: cos x cos x 12 2(1 sin x)
sin x cos x
ĐS: Điều kiện: sin x 0
4
2
sin2x
ĐS: Điều kiện: sin2x 0 PT 2cos 2x cos2x 1 02 x k
3
66 (ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:
cos 3x sin3x
1 2 sin2x
ĐS: Điều kiện: x 12 m
7
12
PT 5cos x 2cos2x 3 cos x 1
2
3 5 x 3
67 (ĐH 2002B) Giải phương trình trong R: sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x2 2 2 2
ĐS: PT cos x.sin9x.sin2x 0 sin2x.sin9x 0 x k
9
x k 2
68 (ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0
ĐS: PT 4cos x(cos x 2) 02 cos x 0 x ;x 3 ;x 5 ;x 7
sin x 2cos x 3
(a là tham số , x R)
1)Giải phương trình khi a 1
3
? 2)Tìm a để phương trình có nghiệm
4
2
(Đưa về PT bậc 1 đối với sinx và cosx)
70 (ĐH 2002A2) Giải phương trình trong R: tan x cos x cos x sin x 1 tan x.tan2 x
2
Trang 13ĐS: x k2 Chú ý: Điều kiện: cos x 0
cos x 1
2 cos x
4
4
2 sin 2x sin3x tan x 1
cos x
ĐS: Điều kiện: cosx 0 PT sin3x 1 x k2 ; x 5 k2
ĐS: Điều kiện: sin2x 0 PT cos 2x 5cos2x2 9 0 x k
8cos x .
ĐS: Điều kiện: cos x 0
sin x 0
74 (ĐH 2002D2) Xác định m để phương trình trong R:
2 sin x cos x cos 4x 2 sin2x m 0 pt có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
3
Đặt t = sin2x (*) có nghiệm thuộc 0;
2
2
f(t) 3t 2t m 3 có nghiệm t[0;1]