chuyen de cuc tri HSG toan 8

Đẳng thức xảy ra ⇔ =a b + Nếu hai số dơng có tổng khong đổi thì tích của chúng lớn nhất ⇔hai số đó bằng nhau.. + Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất ⇔hai số đó

Chuyên đề : Cực trị

A Lí thuyết

1 Để tìm cực trị của biểu thức f(x) trong TXĐ D ta thờng làm nh sau:

- C/m f(x) ≥k hoặc f(x) ≤k với k là hằng số

- Tìm x = a ∈D để f(a) = k

- Kết luận GTNN hoặc GTLN của f(x) là k khi x = a

2 Ta thờng sử dụng nhũng kiến thức cơ bản sau:

+ A ≥ 0

+ A+ B ≥ +A B Đẳng thức xảy ra ⇔ A B ≥ 0

+ A B− ≥ A − B Đẳng thức xảy ra khi A B≥ ≥ 0 hoặc A B≤ ≤ 0

+ A2 ≥ 0với mọi A

+ Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng : a+b≥2 ab Đẳng thức xảy ra ⇔ =a b

+ Nếu hai số dơng có tổng khong đổi thì tích của chúng lớn nhất ⇔hai số đó bằng nhau

+ Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất ⇔hai số đó bằng nhau

+ (A+B)2 ≥4AB Đẳng thức xảy ra ⇔ =A B

+ 1 1 4

A B+ ≥ A B

+ Đẳng thức xảy ra ⇔ =A B

+ A B 2

B+ ≥A Đẳng thức xảy ra ⇔ =A B(với A,B dơng.)

+ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:( )2 ( 2 2) ( 2 2)

1 1 2 2 1 2 1 2

a b +a b ≤ a +a b +b

B Bài tập

I Tìm GTLN hoặc GTNN của tam thức bậc hai : ax 2 +bx+c

1 Tìm GTNN của :

a A = x2 + +x 1 b B = 4x2 − + 3x 2

c C = 3x2 + −x 1 d D = ax2 + +bx c voi( a>0)

2 Tìm GTLN của :

a A = 2

1

c C = − 3x2 + +x 1 d D = ax2 + +bx c voi( a<0)

3 Tìm GTNN của :

a A = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) - 2006

b B = (x-1)(x-4)(x-5)(x- 8)+ 2006

Giải

a A = (x2 + 5x− 6) (x2 + 5x+ − 6) 2006 = ( 2 )2

x + x − ≥ −

GTNN của A = -2042 2 0

5

x

x x

x

=



⇔ + = ⇔  = −

b GTNN của B = 1970 2

7

x x

=



⇔  =

4 Cho hai số x,y thoả mãn x + y = 1 Tìm GTNN của M = 5x2 + y2

HD: Thay y = 1 – x vào M , ta đợc: M = 6x2 – 2x+1 = 6(x - 1

6)2 + 5 5

6 ≥ 6

GTNN của M = 5

6

;

5 Cho hai số x, y thoả mãn x2 + 2 xy +8(x+y) + 2y2 + 12 = 0

Tìm GTNN và GTLN của S = x + y + 1

II Tìm GTLN hoặc GTNN của phân thức đại số.

1 Tìm GTLN của :

a) A = 2

1

9x − 12x+ 10 b) B = 2

2 4

x + +x

ĐS: a) GTLN của A = 1

6 khi x = 2

3

b) GTLN của B = 8

15 khi x = 1

2

−

2 Tìm GTNN của :

a) A = x2 22x 3(x 0)

x

1 1

x x

x x

−

ĐS: a) A = 3 2 62 9 ( 3)22 2 2 2 2

− + = − + + ≥ GTNN của A = 2

3 khi x = 3

b) B =

GTNN của B = 3

4 khi x = -1

3 Tìm GTLN của biểu thức : M = 3 3

y+ x

+ + với x,y dơng và xy = 1.

HD: M =

3 3

y+ x

4 4 3 3

2

x y x y

x y

+ +

Ta có : x4 + y4 2 2

x3 + y3 = (x+y)(x2 – xy + y2)≥ + (x y)(2xy xy− ) = +x y

Do đó : M = 4 4 3 3 2 1

x y x y x y

GTNN của A = 1 khi x = y= 1

4 Tìm GTLN của M = 2 ( 0)

x

x

x >

+

ĐS: GTLN của M = 1

8024 khi x = 2006

5 Tìm GTLN và GTNN của M = 42 3

1

x x

+ +

ĐS : GTNN của A = -1 khi x = -2

GTLN của A = 4 khi x = 1

2

6 Tìm GTNN của A = a d d b b c c a

d b b c a a d

+ + + + , với a,b,c,d là các số dơng.

HD: áp dụng BĐT : 1 1 4

A B+ ≥ A B

+ Dờu ‘ = ‘ xảy ra khi A =B

ĐS : GTNN của M = 0 d b c a a b

b c a d c d

7 Cho a,b là các số dơng và ab = 1 Tìm GTLN của biểu thức :

A = 4a 2 2b 4

a b +a b

HD: Vì ab = 1 nên ta có : (a2 - b)2 = a4 + b2 – 2a2b ≥ 0

⇒a4 + b2 ≥ 2a2b 4 2 2

1

a b a b

+

Tơng tự: 2 4 2 1

a b ≤ ab = +

Do đó : 4a 2

a b +

a b ≤ +

GTNN của A = 1 khi

2

1

a b

b a a b ab

 =



= ⇔ = =



 =



III Một số bài toán cực trị hình học.

Bài 1 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Từ điểm M bất kì trên đờng chéo AC

vẽ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với BC Xác định vị trí của M trên AC sao cho tổng diện tích của tam giác vuông ADH, BHK, DCK lớn nhất

HDẫn

Ta có : ∆AHM và ∆CKM là các tam giác vuông cân nên AH = HM = BK, CK = HB

Do đó AH + CK = a

2

1

2 1

2 1 = ( )

2

S S S AD AH BH BK DC CK

a AH BH BK a CK

a BH BK

+ Vậy S ADH +S BHK +S DCK lơn nhất khi BH.BK lớn nhất Mà BH+BK = a không đổi nên

BH.BK lớn nhất khi BH=BK=

2

a

Lúc đó M là trung điểm của AC

Bài 2 Cho tam giác ABC có đáy BC = a, chiều cao AH = h Ngời ta muốn cắt một

hình chữ nhật MNPQ có cạnh PQ nằm trên BC còn hai đỉnh M, N nằm trên hai cạnh

AB và AC Hỏi MQ phải bằng bao nhiêu để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất

Bài 3.Chứng minh rằng : nếu độ dài các cạnh của một tam giác thoả mãn a2 +b2 > 5c2 thì là độ dài cạnh nhỏ nhất

K

C D

M H

HD: Giả sử c không phảI là cạnh nhỏ nhất, chảng hạn : c≥a

2c c a b 4c (a c) b

Lại có : c2 ≥a2 ⇒ 4c2 + >c2 a2 + ⇒b2 5c2 >a2 +b2 Trái giả thiết

Vậy c là độ dài cạnh nhỏ nhất

Bài 3 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lợt lấy các điểm

M,N,P,Q Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất

HD: Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của các đoạn MQ, MP, NP Ta có :

2MQ CG= 2NP EF = 2PQ FG= 2MN

Chu vi tứ giác MNPQ là:

P = MN +NP + PQ+ QM = 2FG + 2CG + 2EF + 2AE

= 2(AE + EF + FG + GC) ≥2AC

Vởy chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng 2AC khi và chỉ khi các điểm A,E,F,G,C thẳng hàng, tức là MN//PQ//AC và MQ//NP//BD Mà AC ⊥DB nên tứ giác MNPQ nhỏ nhất bẳng 2AC ⇔ MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 4 Cho hình vông ABCD có cạnh bằng a Trên hai cạnh AB, AD, lần lợt lấy hai

điểm M và N sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a Xác định vị trí của M,N sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất

N

C P

D

Q E

IV Mét sè bµi to¸n cùc trÞ sèhäc.

Bµi 1 T×m sè nguyªn d¬ng bÐ nhÊt n sao cho 3 2

A n= + n − n− M

HD: A n= + 3 4n2 − 20n− 48 ( = −n 4)(n+ 2)(n+ 6)

XÐt n = 1; n = 2; n=3; n = 4…

Ta thÊy n = 4 th× A = 0 M 125

Vëy sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt cÇn t×m lµ n = 4

Bµi 2 T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt khi chia cho 29 cã sè d lµ 5, cßn khi chia cho 31 th×

cã sè d 28

Bµi 3 Cho hai sè d¬ng x,y tho¶ m·n 7x+143y=2002 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu

thøc M = x.y

Bµi 4 Cho x2 + y2 = 1 T×m GTLN cña biÓu thøc x6 + y6

HD: A = x6 +y6 = (x + y )( 2 2 x4 −x y2 2 + y4 ) = x4 −x y2 2 +y4 = (x2 +y2 2 ) − 3x y2 2

= 1 - 3x y2 2 ≤ 1

VËy GTLN cña A = 1 2 2

0 1 0

0 1

x y

x y

y x

 =



 = ±





 = ±





************************************