Biết kích thước a và các thuộc tính vật liệu và mặt cắt của dầm là E và I.. Biết kích thước a và các thuộc tính vật liệu và mặt cắt của trục AB là G và J, của trục BC là G và J/2.. Hãy x
Trang 1Đại Học Quốc Gia TP HCM
Trường Đại Học Bách Khoa
Khoa Cơ Khí
Bộ Môn Thiết Kế Máy
Đề thi Học kỳ I – Năm học 2012 – 2013
Môn: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
Ngày thi: 21 / 12 / 2012
Thời gian làm bài: 90 phút Lưu ý: Cho phép sử dụng tài liệu
Bài 1 (4 điểm)
Xét dầm chịu tải là moment M như hình vẽ 1 Biết
kích thước a và các thuộc tính vật liệu và mặt cắt
của dầm là E và I Hãy xác định:
a Chuyển vị xoay tại các điểm B và D (3 điểm)
b Chuyển vị tại điểm C (1 điểm)
Hình vẽ 1
Bài 2 (2 điểm)
Xét trục chịu xoắn chịu tải là các moment M như hình
vẽ 2 Biết kích thước a và các thuộc tính vật liệu và
mặt cắt của trục AB là G và J, của trục BC là G và
J/2 Hãy xác định:
Chuyển vị xoay của mặt cắt tại B và C
Hình vẽ 2
Bài 3 (4 điểm)
Xét hệ thanh như hình vẽ 3 Tải P dọc theo thanh 1
a Tìm chuyển vị tại nút 2
b Tìm ứng suất trong thanh 2
Hình vẽ 3
Chủ nhiệm Bộ môn Phạm Huy Hòang
Người ra đề Phạm Huy Hòang
P
r
Trang 2Đ áp án Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn
Bài 1:
a Chuyển vị tại các điểm B và D
Chia phần tử
Phần tử
i
Nút 1i Nút 2i ki
Quy đổi tải về các nút (1 điểm)
4
2 2 3
; 2
3
2
2
3
; 4
2 1 2
; 2
3
2
1
2
M M
M a
M
F
F
M M
M a
M F
F
−
=
=
=
=
−
=
=
−
=
=
Ma trận độ cứng mở rộng
−
−
−
−
−
−
=
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 2 4 6 2 2 6
0 0 6 12 6 12
0 0 2 2 6 2 4 6
0 0 6 12 6
12
a a
a a a
a
a a
a
EI
1
K
M
I E,
a a
2
a
2 1
F
r
2 2
F
r 2
1
B R
r
D R
r
A R
r
A M
2
a
a
2
−
−
−
−
−
−
=
2 4 6 2 2 6 0 0
6 12 6 12 0 0
2 2 6 2 4 6 0 0
6 12 6
12 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3
a a a
a
a a
a a a
a
a a
a
EI
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
⇒
2 4 6 2 2 6 0 0
6 12 6 12 0
0
2 2 6 2 8 0 2 2 6
6 12 0
24 6 12
0 0 2 2 6 2 4 6
0 0 6 12 6
12
3
a a a
a
a a
a a a
a a
a a
a a a
a
a a
a
EI
K
Ma trận độ cứng cả cơ hệ (1 điểm)
Phương trình, điều kiện biên và ngọai lực (0,5 điểm)
− +
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
4
2 3 4 2 3
3 0 2 0 0 0
2 4 6 2 2 6 0
0
6 12 6 12 0
0
2 2 6 2 8 0 2
2
6
6 12 0
24 6
12
0 0 2 2 6 2
4
6
0 0 6 12 6
12
3
M
a
M D R M
a
M B R
A M A R
z
z
a a a
a
a a
a a a
a
a
a a
a a a
a
a a
a
EI
θ θ
Đơn giản và giải tìm chuyển vị
−
=
−
=
⇔
−
−
=
EI
Ma z
EI
Ma z
M
M z
z a
a
a a
a EI
56
3 3
56 2 4
4 3
2 2
4 2 2
2 2 2 8 3
θ
θ θ
θ
(0,5 điểm)
Trang 3b. Chuyển vị tại điểm C (1 điểm)
Có:
2
2 3 2 4
; 3
2 6 2 6 3
; 2
2 3 4 1 2
; 3
2 6 2 6
1
; 2
3 2 4
; 3
3 2 2
2 3 3
; 2
3 2 2 2
; 3
3 2 2
2 3
1
1
a
x a
x dx
dN a
x a
x dx
dN a
x a
x dx
dN a
x a
x dx
dN
a
x a
x N
a
x a
x N a
x a
x x N a
x a
x N
+
−
=
−
= +
−
= +
−
=
+
−
=
−
= +
−
= +
−
=
Suy ra chuyển vị tại C:
EI Ma
EI Ma a
a
a
a EI
Ma a
a
a
a a
z a N y a N z a N y a
N
C
y
224
2
56
3 2
3 ) 2 ( 2 ) 2
( 0 56 2
3 ) 2 ( 2 ) 2
( 2 2
0
3 ) 2 ( 4 3 ) 2 ( 3 2 ) 2 ( 2 2 )
2
(
1
=
−
+
− + +
−
+
− +
=
+ +
+
EI
Ma
EI Ma a
a
a
a EI
Ma a
a
a a
z a x dx
dN y a x dx
dN z a x dx
dN y a x
dx
dN
C
56
56
3 2
2 ) 2
( 3 2 2 0 56 3
2 ) 2
( 6 2
2 6
0
3 2
4 3 2
3 2 2
2 2 2 1
=
−
+
− + +
−
+
−
+
=
=
+
=
+
=
+
=
θ
Bài 2:
a Chuyển vị tại các điểm C và F
Chia phần tử (0,5 điểm)
Phần tử i Nút 1i Nút 2i k i
1 1 2 GJ / a
2 2 3 GJ / (2a)
Lập ma trận độ cứng cục bộ và mở rộng
−
−
=
0 0 0
0 1 1
0 1 1
a
GJ
1
−
−
=
1 1 0
1 1 0
0 0 0
2a
GJ
2 K
Ma trận độ cứng cả cơ hệ (1 điểm)
−
−
−
−
=
2
1 2
1 0
2
1 2
3 1
0 1 1
a
GJ
K
Phương trình, điều kiện biên và ngọai lực
⇒
=
−
−
⇒
=
−
−
−
−
M
M a
GJ
M M B M
a
GJ
3 2 2
1 2
1 2 3
3 2
0 1
2
1 2
1
0
2
1 2
3
1
0 1
1
θ
θ θ
θ
θ
Chuyển vị:
=
=
GJ Ma GJ Ma
4 3
2 2
θ θ
Trang 4Bài 3:
k
cs s
c k
cs s
c k
i i
k i node i
node i
pt
−
=
=
=
=
=
=
) 4
3 ,
4
1 2 , 4
3 2 ( 150 3
2 2
) 4
3 ,
4
1 2 , 4
3 2 ( 30 2
1 1
2 1
o o
θ
l
AE
k =
Ma trận độ cứng (1,5 điểm)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
−
−
=
4
1 4
3 4
1 4
3 0
0
4
3 4
3 4
3 4
3 0
0
4
1 4
3 2
1 0
4
1 4
3
4
3 4
3 0
2
3 4
3 4
3
0 0
4
1 4
3 4
1 4
3
0 0
4
3 4
3 4
3 4
3
4
1 4
3 4
1 4
3 0
0
4
3 4
3 4
3 4
3 0
0
4
1 4
3 4
1 4
1 4
3 4
3 4
1 4
3
4
3 4
3 4
3 4
3 4
3 4
3 4
3 4
3
0 0
4
1 4
3 4
1 4
3
0 0
4
3 4
3 4
3 4
3
k k
K
Phương trình, điều kiện biên và ngoại lực (1,5 điểm)
AE
Pl x
x l
AE P
y x y x y x
y
R
x
R
P
y
R
P
y
R
x
R
3 2 2
2
3 2
3
0 3
0 3
0 2 2
0 1
0 1
3
3
2
3
2
3
1
1
=
⇒
=
⇒
=
=
=
=
=
=
+
K
Biến dạng và ứng suất trong thanh 2 (1 điểm):
l
l l
AE
Pl l
l
l y
y
l x
x
− + +
− +
−
=
−
− + +
− +
−
=
2 0 0 2
2 3
0 2 3 2
2 3 2
2 2 3 2
3
ε
− + +
=
=
⇒
− + +
2 2 3
2 1
1 2
2
3
2
1
AE
P E A
P E
E AE
P E
A
ε
y x
1
2 3
E, A, llll
1 2