Chuyên đề 2 bất đẳng thức

Hoàn tất chứng minh... Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

Câu 1 (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc1, Chứng

minh rằng:

a b ab b c bc c a ca

Lời giải

Ta có: 4 4   2 2

a b ab a b

1 1

a b ab ab a b ab a b

Tương tự có: 

1 1

bc

1 1

ca

c a ca c a

VT

Đặt 2  3 2  3 2  3

a x b y c z ta có: xyz1 ( do abc1)

VT

Dễ cm đc 3 3   

x y xy x y

VT

xy x y yz y z zx z x

VT

xyz x y z xyz y z x zxy z x y

VT

x y z x y z zx y z

Vậy VT1 Dấu “_” xảy ra khi a b c

Câu 2 (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn

6

a b c ab bc ac Chứng minh rằng:

3

b c a

Lời giải

Đặt

P

  

Có a , b , c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:













 





3

2

3

2

3

2

2 2 2

a

ab a b

b bc b

c

c

ac c a

. P a3 b3 c3 2a2b2c2ab bc ac  

6

a b c ab bc ac     

 P 2 a2b2c2  a b c  6

Có a b  2 b c  2 a c 2 0 2a2b2c22ab bc ca  

3 a2b2c2  a b c   2

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

3

Có ab bc ca a   2b c2 2    2

3 ab bc ac a b c

6

3

   a b c ab bc ac     a b c a b c  1  2  6 0

3 a b c a b c

a b c 3

    ,  2

9

a b c  

3

P    Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 

Vậy

3

b c a

Câu 3 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:

( )2

2

³

Lời giải Câu 4 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều

kiện abc1

a b c

Lời giải

a b c

 b c  a c  a b  a b c

ab bc ca a b c   abc ab bc ca  a b c  

ab bc ca a b c     ab bc ca  a b c  

3

abbcca

abbcca abc  Dấu “=” xảy ra khi a  b c 1

Hoàn tất chứng minh

Câu 5 (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b =

4ab

.Lời giải

.Từ a + b = 4ab 4 2 1

4

ab ab ab

.Chứng minh được BĐT: Với x, y >0 ta có 2 2  2

a b

a b



 (*) Áp dụng (*) ta có

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

 2

a b



Dấu đẳng thức xảy ra khi 1

2

a b

Câu 6 (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020)Cho , ,x y z là ba số dương Chứng minh

9

      

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức x y 2

y x cho hai số x0;y0ta chứng minh được

9

     

Câu 7 (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Chứng minh 1 1 1

Lời giải

Câu 8 (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:

a b  c b c   a c a   b   

Lời giải

4

   

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

x y

4

   

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

Tương tự ta có:





Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

1

4

a c b c b a c a c b a b

ab bc ab ca bc ca b a c a b c c b a a b c

4



Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Câu 9 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa

mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:

2 4(1 )(1 )(1 )

a b c  a b c

Lời giải

Ta có a2b c 4(1a)(1b)(1  c) a 2b c 4(b c a c a )(  )( b)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

a b b c    a b b c   a b c  a b b c   a b c a c  a b b c a c  

Áp dụng bất đẳng thức cô si

2

1 (a 2b c a c)( ) a 2b c (a 2b c) (a c)

a b c a b a c b c

Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Giải bất phương trình 7 – 2 4x  x3

Lời giải

3 3

x  x  x  x

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 5

3

Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Rút gọn biêu thức A 2 18

Lời giải

2

A

Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn

2019

x  y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T

x yz y zx z xy

Lời giải

 

  

  với a,b,c,x,y,z  0

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số

               

2

2

      

2 2 2 a b c

 

  (*)

x  y z

T

2

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

2

 

Dấu “=” xảy ra khi x  y z 673

2



T khi x  y z 673

Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020) Cho hai số thực x y, thỏa mãn x3;y3

      

Lời giải

2 14 62 2 80

x

x

          

3

x y





  



Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80 khi x = 3; y =3

Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn

x+ y + z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

zx yz xy z y x

P











2 2

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

Lời giải

3

1 3

3











yz zx x y z



yz zx xy

Áp dụng BĐT   1 1 19



















z y x z y

9 1

1 1

2 2 2

9 1

1 1

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

























































































zx yz xy zx yz xy z y x ) zx yz xy z y x (

zx yz xy zx yz xy z y x ) zx yz xy ( ) zx yz xy ( ) z y x

(

Hay

9 2

1

2 2









 y z xy yz zx

x

Từ đó ta có: 2 12 2 2 2017 960516060



















zx yz xy zx yz xy z y x P

6060



P Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi

3

1





 y z

Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm ,a b thỏa mãn

2 2

2

a + b = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 1

M

ab

=

Lời giải

3

ab

M

+

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a = b= 1

2

a b   a b   

3 3

4

2 2 4 1

a b M

ab

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

0

ab

íï =

Giá trị lớn nhất của biểu thức M là 42 2 đạt được khi ( )a b; = (0; 2)Ú( )a b; = ( 2; 0)

Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho x y, là các số thực dương thỏa x y 1

x

Lời giải

Ta có: x    y 1 y 1 x thay vào A ta được:

2x x 2x 1 x 1 x 2x x

a b

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

2

            

Dễ thấy

2

1 0, 2

    

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 4x 1 2 4 x 1 4

Suy ra

2

x

         

Dấu "=" xảy ra khi 1

2

x

4

2

x

Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn

3

x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

 

Lời giải

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

 

P

  =

5xy (x y) y 5 5xy  y 8

P



Ta lại có:

1 8

 



Khi đó:

1

P

     



     

2 5

Min

x P

y





   



Câu 18 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Cho x y, là hai số thực thỏa

1

x y xy





 

nhỏ nhất của biểu thức

2 2

x y P

x y







Lời giải

Với xy xy, 1, ta có

x y

 và xy1

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x y; 2

x y



 , ta có

x y



Suy ra minP2 2

x y

2

2

y

y













Vậy minP2 2 tại

2

2

x

y







 



hoặc

2

2

x

y







 



Câu 19 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện x2y2 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3x3y

Lời giải

2

2 2 2

2

3 4

2

x y xy

x y

 

1

xy     x y

Suy ra  2    3 x y 3 2 3 0

x y P



Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 19 6 2

2



2

x y 

Câu 20 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm ,a b thỏa mãn

2

a +b = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 1

M

ab

=

Lời giải

3

ab

M

+

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a = b= 1

2

a b   a b   

2; 2

a b

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

3 3

4

2 2 4 1

a b M

ab

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

0

ab

íï =

Giá trị lớn nhất của biểu thức M là 42 2 đạt được khi ( )a b; = (0; 2)Ú( )a b; = ( 2; 0)

Câu 21 (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn:

x2y 3z 2

S

Lời giải

Đặt ax; b2y; c3z, ta được: a, b, c0; a  b c 2

ab 2c bc 2a ac 2b

Xét

2 a b b c a c 2

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 3

3

   hay giá trị lớn nhất củaS bằng 3

2 khi và chỉ khi x 2; y 1; z 2

Câu 22 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Cho biểu thức Pa4b4ab với a b, là các số thực

thỏa mãn a2b2ab3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Lời giải

Ta có a2b2ab 3 a2b2  3 ab thay vào P ta được

2

Pa b ab a b  a b ab  2 2 2

9 6ab a b 2a b ab

2 2

9 7ab a b

2

ab

    

a b  a b   ab ab  abab   1

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

a b  a b  ab ab abab  2

             

2

    

2

       

2

          

2

ab

      

6

ab

a b

 







v

MinP1 Dấu = xảy ra khi 2 12

2

ab

a b









1 1





  



a

1 1

 



  



a

b

Câu 23 (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  6  2 2



ab

a b

Lời giải

(ab)  0 a b 2ab (a b) 4ab;

2

2 2 (a )

2



a b

Từ giả thiết a b 3ab1 3 2

4

   a b ab  a b

3

 a b  a b     a b  a b     a b (vì a, b0)

 



  a b      

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 7





  

   



a b

a b

Câu 24 (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 12ab a2 b2

a b

Lời giải

Ta có: (ab)2  0 a2b2 2ab (a b)24ab;

2

2 2 (a )

2



a b

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

4

   a b ab  ab

3

 a b  a b     a b  a b     a b

 



  a b      

9 9

Giá trị lớn nhất của P bằng 16

9 khi

1



   



a b

a b

Câu 25 (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:

3

x y z  xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

x yz y xz z xy

Lời giải

yz xz xy

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x ; y

yz xzta có:

2

yzxz  yz x  z

xzxy  x xy yz  y

2 2 2

yz xz xz xy xy yz z x y

          

3

yz zx xy x y z x y z

Lại có:

2

4

2

x

x yz x yz x yz



Tương tự

y xz  x z z xy  x y

Suy ra

3 2

P

P

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3/2 khi x = y = z = 1

Câu 26 (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn điều

kiện: a  b c 2019

Lời giải

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

.Ta có:

5

2

Tương tự:

5

2019 5

 

P

3

   a b c 

Vậy minP2019 5   a b c 673

Câu 27 (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Cho a b c là ba số dương thỏa mãn , ,

6.

a b c    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

9

;

a b c c ac b

9

;

b c a  a ca b

9

c a b b ab c

Cộng theo các vế của ba bất đẳng thức trên ta được

9

A

9

2

A

 

         

3

2

Dấu “=” xảy ra khi a    b c 2

Vậy MaxA      1 a b c 2 .

Câu 28 (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Với x0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

2

2

A

x

 



Lời giải

Điều kiện x0

Ta có

2

 

x

  ta được:

NGỌC HIẾN ACADEMY SĐT : 0344114199

673

        

2

2019 t

Dấu “=” xảy ra khi 1  

1346

2692

1346

Câu 29 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3

– 3xyz = 2

2

Lời giải

Ta có:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2

 [(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2

 (x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2

 (x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2

 (x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2

 (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2

 x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0

Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z

 x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0  x + y + z

Đặt x + y + z = t (t > 0)  x² + y² + z² - xy - xz – yz t

2

 khi đó ta có

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

 P ≥ 8 – 2 = 6 Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6