Chuyên đề 6 bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lê hoành phò

b n Đối với y'0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại... Không mất tính tổng quát, giả sử ba... Trở lại bài toán... Giả sử, chẳng hạn... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y... Suy ra f

Cho hai dãy số tăng a1a2   a n và b1b2   b n (n2)

Nếu  1, 2, ,n là một hoán vị của dãy 1, 2, , n thì:

Nếu hai dãy: a1a2   a n ; b1b2  b n

Đối với y'0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại

Việc xét dấu y' đôi khi phải cần đến y y'', ''', hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,… Nếu y''0 thì y' đồng biến từ đó ta có đánh giá f ' x rồi f x ,…

Lập phương trình tiếp tuyến tại xb: y AxB

Nếu f x  AxB trên K, dấu bằng xảy ra khi xb

Khi đó f a 1  f a 2   f a n  A a 1a2  a nnB

Anb nB n Ab B nf b

Dấu bằng xảy ra khi a1a2   a n b

Còn nếu f x  AxB trên K, dấu bằng xảy ra khi xb thì có ngược lại

Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:

a) 2sinxtanx3x với mọi 0;

Xét hàm số  

1 1

11

n n

n n

1'

f x

xy x

Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế f ' x đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy ra y

là điểm cực đại, suy ra f x  f y 0: đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y

Bài toán 6.6: Cho x y z, , 0 và x  y z 1 Chứng minh:

Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức:

a) cosbcosa  b a với a, b tùy ý

Nếu ab thì bất đẳng thức tương đương: cos cos

1

b a

 Không mất tính tổng quát, giả sử ba

Hàm số f x cosx liên tục trên  a b; và có đạo hàm f ' x  sinx

Theo định lý Lagrange, tồn tại c a b; sao cho:

f  nên tiếp tuyến tại x1 là:

x

x x



Tương tự: 4 13 17

y

y y

111

n

n

n i i

n n

x x x

e e e

1 2 1

x

n i i

Ta chứng minh: f n1 x   0, x  0; Giả sử có số x0 0; mà f n1 x0 0 Vì f n1 x liên tục

và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu x1 để: f n1 x1 0,0 x1  Ta có

F a b c d abc bcd cdadab abcd

Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d Ta có:

b  c b c  thì tương tự lí luận trên:

 1 a n1,b n2,c n1,d n1 là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số

Bài toán 6.16: Cho a b c, ,  1,a b c  1

Trở lại bài toán Ta xét hai trường hợp

- Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho 1

  Khi đó do điều kiện a b c, ,  1, ta phải có hai số âm

và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử b c, 0 thì ta có a b c      1 1 1 1, vô lý) Giả sử, chẳng hạn

Dấu “=” xảy ra khi a  b c d

Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x  y z 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y

Khi 0 x 1 thì y 1 2 22

Vậy min y2 2 2 tại x 1 2

Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n

a) Tìm giá trị lớn nhất của ycosp x.sinqx với 0

p q

p q

p q y

Bài toán 6.21: Cho các số thực x, y thỏa mãn  3

A dấu = xảy ra khi 1

Suy ra f x  là hàm lõm trên  nên có tiếp tuyến tại mọi điểm luôn nằm dưới đồ thị Tiếp tuyến của

M  khi 2x2 3y2, min M 0 khi y0

Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:

3 3 3

2 3

x y z   xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Px22y2 3z2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 3 2,y z 0

Vậy min P 34, đạt được khi 3

x y z

Bài toán 6.25: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

1 2 2

x y x  y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

minPmin f t  f 0 18, đạt khi t  0 x 1,y1

Bài toán 6.27: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn:

Suy ra x y, 0 và x2 y2 2

Đặt t x y Khi đó  2 2

0 t 2 x  y 2 Đặt t x y Khi đó  2 2

   nên P25 Dấu đẳng thức xảy ra khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Vậy min P25, đạt được khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.29: Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do đó P 5, dấu đẳng thức xảy ra khi a  b c 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −5, đạt khi a  b c 1

Bài toán 6.30: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

max f t  f 3 32;min f t  f 2 22 nên 2 P 4

Vậy max P4, đạt khi a  b c 1

2

Min P , đạt khi a2,b c 0 hoặc các hoán vị

Bài toán 6.33: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2 y2z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y z x

Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y z 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, dấu = khi x  y z 1

Bài toán 6.34: Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy giá trị lớn nhất của P là 9

2, đạt được khi trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 1, các số còn lại

Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định trên  và thỏa mãn:

cot  sin 2 cos 2 ,

f x  x x  x  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x  f x f   1x trên đoạn 1;1

2 2

a b c 

và a b c  1

Hướng dẫn

a) Chuẩn hóa: a b c  3 và dùng tiếp tuyến tại x1

b) Tiếp tuyến tại 1

Bài toán 6.5: Chứng minh

A B C  với tam giác ABC

b)

1 1

a   b c d

b) Kết quả 3

10 khi

13