Chuyên đề 3 bất đẳng thức, cực trị

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐẠI SỐDạng 1: BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG SỐ Phương pháp: So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Dạng 1: BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG SỐ

Phương pháp:

So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại

Bài 1: Chứng minh rằng: 2 2 2 2

Lời giải

Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:

2.2 3.3 4.4 99.99 100.100

Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn

1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

1 2 2 3 3 4 98 99 99 100

              

1 1

1

1 100

A   

65 6 7  100 4

Lời giải

Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:

và Chứng minh

1 6

A 

Ta có:

5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101

1 1 96

5 101 505

A   

đến đây, ta sẽ so sánh

96

505 với

1

6 như sau:

Ta có:

96 96 1

5055766 bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số

1

6 với 96 để được hai

phân số cùng tử rồi so sánh khi đó ta có:

96 96 1

505 567 6

(1)

Chiều thứ hai, ta cần chứng minh:

Trang 2

Ta làm tương tự như sau :

5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100



4 100 4

A   

(2)

A

n

Lời giải

A

              

1 1 1

4 4n 4

  

Từ (1) và (2) ta có :

6A4

2 3 4  100 4

Lời giải

Ta biến đổi:

4 3.3 4.4 99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5 99.100

4 2 100 4 100 4

Lời giải

Nhận thấy bài này là tổng cùng lũy thừa nhưng cơ số lại chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa hai liên tiếp như sau :

A              



1 1

A      

Bài 6: Chứng minh rằng: 2 3 100

A      

Lời giải

Tính tượng tự như bài 5, ta có: 2 3 99 100

A       

,

B     

, và tính B rồi thay vào tổng A ta được

B   A     A    A

Trang 3

1

2 3 4

A

n

Lời giải

A



A

n

Lời giải

A

              

1 1 1

4 4n 4

  

Từ (1) và (2) ta có :

6A4

Dạng 2 : BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ

Phương pháp:

Với chương trình lớp 6-7 các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức chữ, ta thường sử

m



 hoặc ngược lại và đưa về cùng mẫu

Bài 1: Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằng:

M

a b b c c a

   có giá trị không nguyên

Lời giải

Với a, b, c > 0, ta có:

a b a b c

b c a b c

c a a b c



Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:       1

M

a b b c c a

Ta có:

Trang 4

a a c

a b a b c

b c a b c

c a a b c













Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:       2

M

a b b c c a

Suy ra 1M 2,

Vậy M không nguyên

Bài 2: Cho x, y, z, t là số tự nhiên khác 0, Chứng minh rằng:

M

x y z x y t y z t x z t

Lời giải

Với x, y, z, t là số tự nhiên khác 0, ta có:

x y z x y z t

x y t x y z t

y z t x y z t

x z t x y z t



M

Ta có

x y z x y z t

x y t x y z t

y z t x y z t

x z t x y z t

















M

Suy ra 1M 2,

Vậy M không nguyên

Bài 3: Cho a, b, c là các số dương, và tổng hai số luôn lớn hơn số còn lại

Trang 5

Chứng minh rằng: 2

b c c a a b     

Lời giải

Chúng ta có thể làm theo cách ở trên, hoặc làm theo cách thứ hai như sau:

Giả sử: a b c   a b a c b c  

Khi đó ta có:

b c b c

c a b c

a b b c





VT

 

Bài 4: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng: 1 2

a b c b c d c d a d a b

Lời giải

Với a, b, c, d > 0, ta có:

a b c a b c d

b c d a b c d

c d a a b c d

d a b a b c d



Cộng theo vế ta được:            1

Ta có

a b c a b c d

b c d a b c d

c d a a b c d

d a b a b c d

















Cộng theo vế ta được:            2

Trang 6

Bài 5: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng: 2 3

Lời giải

Với a, b, c, d > 0, ta có:

a b c d a b c a b c d

a b c d b c d a b c d

a b c d c d a a b c d

a b c d a b d a b c d

Bài 6: Cho các số x,y,z nguyên dương Chứng minh rằng:

x y y z z x

Lời giải

Ngoài hai cánh như trên, ta cũng có thể hướng dẫn học sinh làm theo cánh như sau:

x y  y z z x  , Tương tự ta cũng có: 1

x y  y z  z x 

Mà

3

x y y z z x x y y z z x

2

x y  y z z x 

Bài 7: Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng: 2 ab bc ca a b c     2 2 2

Lời giải

Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại nên ta có :

b c a a b c a ab ac a

Tương tự ta có :

2

bc ba b  và ac cb c  2

Cộng theo vế ta được : 2 ab bc ca a b c     2 2 2

Vậy a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác thì 2 ab bc ca a b c     2  2 2

Dạng 3: TÌM MIN - MAX CỦA BIỂU THỨC GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trang 7

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của :

a) A2 3x1 4 b) B1,5 2  x c) C = x  3

Lời giải

a) Ta có: 3x1 0  2 3x1 4 4 A4

Khi đó A đạt giá trị nhỏ nhất bằng -4 khi

1

3 1 0

3

x   x

b) Ta có: 2 x   0 2 x  0 B1,5 2  x 1,5

Khi đó B đặt giá trị lớn nhất bằng 1,5 khi x 2

c) Ta có: C x 3 0 khi đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 kho x = 3

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của ::

a) A0,5 x 3,5 b) E 1,4 x  2 c) F 5,5 2 x1,5

Lời giải

a) Ta có:A0,5 x 3,5 0,5 MaxA0,5 khi x=3,5

b) Ta có: B 1, 4 x  22 MaxB2 khi x=1,4

c) Ta có: F 5,5 2 x1,5 5,5 MaxF5,5 khi

1,5 3

2 4

x  

a) G 10, 2 3 x 14 b) A 2,5 x  5,8 c)

10 4 2

K   x

Lời giải

a) Ta có: G 10, 2 3 x 1414 MaxG14 khi

17

10, 2 3 0

5

 x  x

b) Ta có: A 2,5 x  5,85,8 MaxA5,8, khi

5

2

 x  x

c) Ta có: K 10 4 x 2 10  MaxK 10 khi x 2 0  x2

a) H  4 5x 2  3y12 b) M  5 2x1 c) A1,7 3, 4  x

Lời giải

khi

2

5 3y 12 0





b) Ta có: M  5 2x1 5  MaxM 5 khi

1 2x 1 0 x

2

   

Trang 8

c) Ta có: A1,7 3, 4  x 1, 7 MinA1,7 khi

17

5

 x  x

a) A= x 2,8 3,5 b) A3,7 4,3  x c) N 2,5 x 5,8

Lời giải

a) Ta có: A x 2,8 3,5 3,5 MinA3,5 khi

14 2,8 0

5

b) Ta có: A3, 7 4,3  x 3,7 MinA3,7 khi

43

10

 x  x

c) Ta có: N 2,5 x 5,8 5,8  MinN 5,8 khi

5

2

 x  x

a) B4x 35y7,5 12,5 b,A4,9x  2,8 c) A 4 2 3x1

Lời giải

a) Ta có: B4x 35y7,5 12,5 12,5   MinB12,5 khi

3

2











x x

b) Ta có: A4,9x  2,82,8 MinA2,8 khi

49

10

  x x

c) Ta có: A 4 2 3x14 MinA4 khi

1

3 1 0

3

   

2

C x  

Lời giải

a) Ta có: A x 2  1 1 MinA khi x = 01

b) Ta có: B3x4 5 5 MinB khi x = 05

c) Ta có:

2 1

2

Cx     MinC

1 2

x

a) A = x  5 12 b) B = x2  x y 5 17 c) C = 

2

x  x  y 

Lời giải

a) Ta có: A x 5 12 12 MinA12 khi x  5 0

Trang 9

b) Ta có: B x 2  x y 5 17 17 MinB17khi:



c) Ta có:  

2

C x  x  y    MinC

khi



a) A100 x2 b,

4

4 2

B x



c) A x 23y 2 1

Lời giải

a) Ta có: A100 x2 100 MaxA100 khi x = 0

b) Ta có:

x

c) Ta có:

2

A x  y    MinA

khi



4

2 1 3

E  x  b)  

2

5

M  x y  

  c) N x2 92 y 2 10

Lời giải

a) Ta có:  

4

E x    MinE khi

1

2 1 0

2

   

b) Ta có:  

2

5

M  x y     MinM 

0



c) Ta có: N x2 92 y 2 10 10   MinN 10

khi

2

2 0









x x

y y

a)

2

10 9

Py x 

P x y  y

Lời giải

a) Ta có: Py2 x10 9 9  MinP9khi



P x y  y   MinP khi:



Q x y   x y 

2

A x  y x 

Lời giải

Trang 10

Vậy MinQ2012 khi:



b) Ta có:  

2

A x  y x    MinA khi



B x  y  b) A x 5 12

Lời giải



b) Ta có: A x 5 12 12 MinA12 khi x  5 0

a) B 2x20 18 b) C  x 2  x y  5 17

Lời giải

a) Ta có: B 2x20 18 18 MaxB18khi 2x20 0  x10

b) Ta có : C x 2  x y  5 17 17 MinC17 khi



Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của :  

2

D x  x  y 

Lời giải

2

D x  x  y    MinD khi

1 0

x

 







Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất của :

a)

6 3

A

x





b)

1

2 3

A x



c)

5,8

B

x



Lời giải

a) Ta có :

x

b) Ta có :

2 3 3

x

khi x 2

c) Ta có :

5,8

x

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) với x là số nguyên của :

a)

12 2

C

x

 

 

b)

x D x







Lời giải

Trang 11

a) Ta có :

x

khi x = - 5 b) Ta có :

D

Để D đạt min thì  

4 5 , min









x

Vậy minD5 khi x1

Để D đạt max thì

4 5, min









x

Vậy

8 max

3



D

khi x2

a)

2 7 5 11

x F

x

 



y G

y



x

A

x

 



 

Lời giải

a) Ta có :

2

x F

  

Mà

x

Vậy

11 4



MaxF

khi

5

7 5 0

7



   

b)

y G

Mà

y

Suy ra

13 20

MaxG 

khi

7 2y 7 0 y

2



   

c)

A

Mà

x

Vậy min A 2 khi x 1

Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Trang 12

a)

8 5

4 5 7 24

B

x



 

C

y

 

  c)

21 4 6 33

x D

x



Lời giải

a)

x

Vậy :

14 3

MinB 

khi

7 5x 7 0 x

5



   

b)

y

Vậy :

8 5

MinC 

khi

4

3

c)

7

x D

mà

x

Hay

33 5

MinD 

khi

3

4 6 0

2

   

a)

y E

y

 



x F

x



Lời giải

a) Ta có:

3

y E

Mà

y

Hay MinE 1khi y  5 0 y5

b) Ta có:

5

x F

Mà

x

Hay

17 3

MinF 

khi x  7 0 x7

a)

C

x y x

3

H x





Lời giải

Trang 13

a) Ta có:

x y x

Hay

9 20

MinC 

khi

1

6









 



x

x y

b) Ta có:

 

2

x

Vậy

3 4

MinH 

khi x  2 0 x2

Bài 23: Tìm GTLN của:

a)

15 5

A

x

 

B

x



Lời giải

a) Ta có:

x

VậyMaxA 10khi

7

3 7 0

3

x   x

b) Ta có:

x



Vậy

5 3

MaxB 

khi

7

15 21 0

5

x   x

a)

C

 

24 6

D

 

Lời giải

a) Ta có:

Vậy

33 10



MaxC

khi

5

4

x x

y







 



 



b) Ta có:

Trang 14

Vậy MaxD 2khi

1

4

x

x y x

y









 



E

 

b)

1

1 3

F x



 

Lời giải

a) Ta có:

2

Vậy

13 6

MaxE 

khi

5

5 0

3

x

x y







b) Ta có:

1 3 3

x

 

Vậy

1 3

MaxF 

khi x1 0  x1

3

A

x



1

2 5

B x





Lời giải

a) Ta có:

 

2

x

Vậy

3 5



MaxA

khi x 2 0  x2

b) Ta có:

2

2 5 5

x



Vậy

1 5

MaxB 

khi x 0

Bài 27: Tìm giá trị lớn nhất của :  2  4

2016

A



Lời giải

Ta có:

3

VậyMaxA 672khi



Trang 15

a) A x 5 2  x b) B x 7 6  x c) C2x1 2 x6

Lời giải

a) với x  5 0 x 5 A x   5 2 x7 (1)

Với x  5 A x 5 2  x2x 3

Mà x   5 2x10 2x 3 10 3 7    A7 (2)

Từ (1) và (2) ta có A 7 MinA7khi x 5

b) Với x 7 0  x 7 B x  7 6  x1 (1)

Với x 7 B 7 x 6 x2x13

mà x  7 2x 14 2x13  1 B 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có : B 1 MinB1khi x 7

c) Với

1

2

x   x  C x  x  x

Mà

x  x     C

(1) Với

1

1 2 2 6 7 2

x  C  x x 

(2)

Từ (1) và (2) ta có :C 7 MinC7khi

1 2

x 

a) E4x3 4 x 5 b) F 5x 6 3 5  x c)

2 7 5 2

G x   x

Lời giải

a) Với

3

4

x   x  E x  x  x

Mà

8 2 8 2 8

x  x    

Với

3

4 3 4 5 8 4

x  E x  x 

(2)

Từ (1) và (2) ta có : E 8 MinE8khi

3 4

x

b) Với

6

5

x   x  F  x   x x

Mà

10 3 10 3 9 9

x  x     F

(1) Với

6

6 5 3 5 9 5

x  E  x  x

(2)

Từ (1) và (2) ta có : F  9 MinF 9khi

6 5

x 

c) Với

7

2

x   x  G x   x

(1)

Trang 16

Với

7

2

x  G x   x x

Mà

4 2 4 2 12

x   x     

12

G

Từ (1) và (2) ta có :

G  MinG khi

7 2

x

2

D  x  y

Lời giải

a) Xét: x 0 B x x  2x0

Xét x 0 B x x   0 B 0 MinB0 khi x 0

b) Xét x 0 C  x  x 2x0

Xét x 0 C x x 0 C 0 MaxC0 khi x 0

2

D  x  y   MaxD

khi



Tiêu đề	Chuyên đề: Bất Đẳng Thức Và Cực Trị
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	chuyên đề

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	585,6 KB