Khảo sát toán 9 đông anh 1920

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Nhà Bình nằm trên đường từ nhà cô An đến quê, biết khoảng cách giữa nhà Bình và nhà cô An là 30km.. Hôm nay, hai cô cháu cù

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2019 - 2020

Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức 2

3

x A

x



 và

:

B

     

   , với x0,x25 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm x để A < B

d) Cho P = A + B Tìm x để P nhận giá trị nguyên

Bài 2: (2,5 điểm)

1 Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Nhà Bình nằm trên đường từ nhà cô An đến quê, biết khoảng cách giữa nhà Bình và nhà cô An là 30km Hôm qua, Bình đi xe đạp và cô An đi xe máy cùng xuất phát một lúc theo hướng đi đến nhà nhau Sau 40 phút thì hai cô cháu gặp nhau Hôm nay, hai cô cháu cùng xuất phát từ nhà mình để về quê với phương tiện

và vận tốc như hôm qua, sau 2 giờ thì họ gặp nhau tại quê Tính vận tốc của mỗi người

2 Tính thể tích bê tông cần dùng để đổ 2 cái cột hình trụ có đường kính đáy 40cm và chiều cao 3,9m (coi thể tích cột sắt làm cột không đáng kể)

Bài 3 (2 điểm)

1 Cho hệ phương trình: 2

x my

mx y

 



  

 a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: 3x2y 1 0

2 Cho đường thẳng d y: 2(m1)x2m1và Parabol P y: x2vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ a) Chứng minh (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 5

Bài 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong (O,R), đường cao AH, BK cắt nhau tại I, CI cắt AB tại M

a) Chứng minh tứ giác AMIK nội tiếp

b) Chứng minh điểm I cách đều đường thẳng KM và KH

c) Nếu góc BAC bằng 60o và diện tích tam giác ABC là 50 cm2 thì diện tích tam giác AKM là bao nhiêu?

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho các số thực x,y thỏa mãn: x x 1 y 1 y

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + 2020

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức 2

3

x A

x



 và

:

B

     

   , với x0,x25

a Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49

b Rút gọn biểu thức B

c Tìm x để A < B

d Cho P = A + B Tìm x để P nhận giá trị nguyên

Lời giải a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49

Thay x = 49 (TMĐK) vào biểu thức A ta có: 2 49 2.7 14 7

3 7 10 5

3 49



 Vậy x = 49 thì 7

5

A

b) Rút gọn biểu thức B

:

:

:

:

5

B

B

B

B

x B

     

       

     

     





x

   



      

c) Tìm x để A < B

0

0 3

x

A B

x

x

x





x    x   x   x  x

Vậy: 0 1

4

x

  thì thỏa mãn điều kiện bài toán

d) Cho P = A + B Tìm x để P nhận giá trị nguyên

2

x

P



 

Ta có: x 0 (với mọi x thuộc ĐKXĐ) nên:

Mặt khác: P là số nguyên nên P = 1

3

x

x





   

Vậy x = 4 thì P là số nguyên

Bài 2: (2,5 điểm)

1 Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Nhà Bình nằm trên đường từ nhà cô An đến quê, biết khoảng cách giữa nhà Bình và nhà cô An là 30km Hôm qua, Bình đi xe đạp và cô An đi xe máy cùng xuất phát một lúc theo hướng đi đến nhà nhau Sau 40 phút thì hai cô cháu gặp nhau Hôm nay, hai cô cháu cùng xuất phát từ nhà mình để về quê với phương tiện

và vận tốc như hôm qua, sau 2 giờ thì họ gặp nhau tại quê Tính vận tốc của mỗi người

Phân tích bài toán:

Quá trình Quãng đường Vận tốc Thời gian Hai người đi đến nhà nhau

3 x

x

40 phút = 2( )

3 h

3 y

( )

3 h

Phương trình (1): 2 2 30

3x3 y

Hai người cùng về quê

Phương trình (2): 2x – 2y = 30

Lời giải

Đổi: 40 phút = 2( )

3 h

 Gọi vận tốc của Bình là x (km/h); Gọi vận tốc của cô An là y (km/h); x > 0; y > 0

 Khi Bình và cô An đi đến nhà nhau Do thời gian để hai cô cháu gặp nhau là 2( )

3 h nên:

- Quãng đường Bình đi được cho đến lúc gặp cô An là: 2

3x (km)

- Quãng đường cô An đi được cho đến lúc gặp Bình là: 2

3y(km)

 Tính đến lúc gặp nhau Tổng quãng đường Bình và cô An đi được là khoảng cách từ nhà Bình đến nhà

cô An, tương ứng 30km; nên ta có phương trình: 2 2 30

3x3 y (1)

 Khi Bình và cô An cùng đi về quê Do thời gian để hai cô cháu gặp nhau ở quê là 2 giờ nên:

- Quãng đường Bình đi từ nhà đến quê là: 2x (km)

- Quãng đường cô An đi từ nhà đến quê là: 2y (km)

 Khi hai người gặp nhau ở quê, do khoảng cách từ nhà Bình về quê gần hơn nhà cô An 30km, nên quãng đường cô An đi về quê dài hơn quãng đường Bình đi 30km Vậy ta có phương trình: 2y – 2x = 30 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

2

30

3

15 ( )

30 ( )

x y

y x







  



Vậy vận tốc của Bình là 15km/h Vận tốc của cô An là 30km/h

2 Tính thể tích bê tông cần dung để đổ 2 cái cột hình trụ có đường kính đáy 40cm và chiều cao 3,9m (coi thể tích cột sắt làm cột không đáng kể)

Lời giải

Đường kính đáy của hình trụ là 40 cm, nên bán kính đáy r = 20 (cm) = 0,2 (m)

Chiều cao hình trụ 3,9 m nên h = 3,9 (m)

Thể tích bê tông cần dung bằng thể tích của hình trụ Nên ta có thể tích bê tông cần dùng là:

.0, 2 3,9 0, 49 ( )

V r h  m

Bài 3 (2 điểm)

1 Cho hệ phương trình: 2

x my

mx y

 



  



a Giải hệ phương trình khi m = 1

b Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: 3x2y 1 0

Lời giải

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

Với m = 1 thay vào hệ phương trình ta được:

2

1

3

x y

 



      

       

Vậy với m=1 hệ phương trình có nghiệm( ; ): 5; 1

3 3

x y   

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: 3x2y 1 0

Giải hệ phương trình theo tham số m ta được:

2

2

1 2

2

m

m

m

x





  



2 2

4 2 2

1 2

1 2

2 2

m x m m

m m

y y

m m







Để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn:3x2y 1 0 thì:

2

2

12

( )

tm

Loai

3



Vậy   4 m 3thì thỏa mãn điều kiện bài toán

3 Cho đường thẳng d y: 2(m1)x2m1và Parabol P y: x2vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ

a Chứng minh (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m

b Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 5

Lời giải

a) Chứng minh (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:

2

2

2( 1) 2 1 0 (*)

             

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, nên (d) và (P) luôn có điểm chung với mọi giá trị của m

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 5

Gọi hoành độ giao điểm của (d) và (P) là x1 và x2

Để x1 và x2 là 2 cạnh góc vuông của một tam giác thì phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

2

2

m

m











            





2

m m

theo Vi-et ta có:

1 2

1 2

2( 1)

x x m





Lại có x1 và x2 là độ dài 2 cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền 5nên áp dụng định lý Pytago ta có:

2

2

2

2

2

2( 1) 2.(2 1) 5

1 ( ) 2

3 ( ) 2

 



     



 



Vậy 1

2

m thì thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong (O,R), đường cao AH, BK cắt nhau tại I, CI cắt AB tại M

a Chứng minh tứ giác AMIK nội tiếp

b Chứng minh điểm I cách đều đường thẳng KM và KH

c Nếu góc BAC bằng 60o và diện tích tam giác ABC là 50 cm2 thì diện tích tam giác AKM là bao nhiêu?

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác AMIK nội tiếp

Do AH, BK là 2 đường cao của tam giác ABC và cắt nhau taị I Nên I là trực tâm của tam giác ABC Do

đó CM vuông góc với AB tại M

Xét tứ giác AMIK có:

0 0

0

180

AMI do CM AB cmt

AKI do BK AC gt

AMI AKI

Mà hai góc AMI và AKI là 2 góc có hai đỉnh đối nhau của tứ giác AMIK Nên tứ giác AMIK nội tiếp

(dấu hiệu nhận biết)

b) Chứng minh I cách đều MK và KH

Xét tứ giác KIHC có:

0

180

IKC do BK AC gt IHC do AH BC gt IKC IHC

Do đó tứ giác AMIK nội tiếp (tổng hai góc đối nhau bằng 1800

) Tương tự chứng minh các tứ giác MIHB; AMHC; AKHB; BMKC là các tứ giác nội tiếp

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMIK có: MKI MAK (góc nội tiếp cùng chắn cung MI) (1)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKCH có: IKH ICH (góc nội tiếp cùng chắn cung IH) (2)

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHC có: MAH ACH MAI ICH (góc nt cùng chắn MH) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra MKI KIH nên KI là phân giác của góc MKH

Tương tự chứng minh MI là phân giác góc KMH Mà KI và MI cắt nhau taị I nên I là tâm đường tròn

nội tiếp tam giác MKH

Vậy I cách đều MK và MH (điều phải chứng minh)

c) Nếu góc BAC bằng 60o và diện tích tam giác ABC là 50 cm2 thì diện tích tam giác AKM là bao nhiêu?

Xét đường tròn tròn ngoại tiếp tứ giác BMKC có: BCK  AMKBCAAMK (góc ngoài bằng góc đối của góc trong)

Ta có: AMK đồng dạng ACB (doBAC chung AMK;  ACB)

2

2

1

4 50

12, 5

o AMK

ACB

ACB AMK

MAC

S









 

 

Bài 5 (0,5 điểm)

Cho các số thực x,y thỏa mãn: x x 1 y 1 y

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + 2020

Lời giải

Điều kiện xác định: x 1;y 1

2 2

2

2

2

x y GTLN x y khi x y

    

        

               

       

     



Lại có:

2

1; 3

