Một học sinh tham gia kiểm tra phải thực hiện hai đề gồm một đề tự luận và một đề trắc nghiệm, trong đó loại đề tự luận có 12 đề, loại đề trắc nghiệm 15 có đềA. Hỏi mỗi học sinh có bao n[r]
Trang 1VẤN ĐỀ 1 HOÁN VỊ
Giai thừa
Giai thừa: n!=n n( - 1)(n- 2 1)
Quy ước: 0! 1=
Khái niệm và công thức:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n³ 1)
Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo 1 thứ tự nào đó được một hoán vị của n phần tử Số hoán vị của n phần tử là:
! 1 2 1
P= =n n n- n
-Đặc điểm: có thứ tự, số phần tử trong nhóm bằng n
Ví dụ 1. Rút gọn:
10!.3!
9!.5!
A=
1 ! 1 !
! 2 !
B
n n
=
-Ví dụ 2. Có 10 bạn học sinh được sắp xếp thành một hàng Có bao nhiêu cách sắp xếp?
Ví dụ 3. Cho các số 1, 2,3, 4 lập được bao nhiêu số:
1) Có 4 chữ số đôi một khác nhau
2) Có 4 chữ số khác nhau bắt đầu từ số 3
Ví dụ 4. Có 5 quyển sách toán, 4 lý, 3 văn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chúng vào giá sách
1) Tùy ý
2) Theo từng môn
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1.Rút gọn:
1)
7!.4! 8! 9!
10! 3!.5! 2!.7!
= ççè - ÷÷ø
1 ! 5!
1 3! 1 !
n B
+
=
-
Lời giải 1)
7!.4! 8! 9! 7!.4! 8! 7!.4! 9!
10! 3!.5! 2!.7! 10! 3!.5! 10! 2!.7!
= ççè - ÷÷ø=
.
1 3! 1 ! 1 3! 1 !
B
-Bài 2.Chứng minh rằng:
Trang 21) P n- P n-1= -(n 1)P n-1.
2
! 1 ! 2 !
n
-
Lời giải 1) P n- P n-1= -n! (n- 1 !) =n n.( - 1 !) (- n- 1 !) = -(n 1 ) (n- 1 !) = -(n 1)P n-1
1 ! 2 ! 1 ! 1 2 ! ! ! !
-Bài 3.Cho các số tự nhiên 1; 2;3; 4;5 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
1) Có 5 chữ số khác nhau.
2) Có 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng số 5
3) Có 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng 135
Lời giải
1) Gọi số cần tìm là: abcde
Số cần tìm là hoán vị của tập hợp 5 số {1;2;3;4;5}
Þ Số các số tự nhiên cần tìm là: P5= =5! 120.
2) Gọi số cần tìm là: 5bcde
Þ Số các số tự nhiên cần tìm là: P4= =4! 24.
3) Gọi số cần tìm là: 135de
Þ Số các số tự nhiên cần tìm là: P2= = 2! 2
Bài 4.Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn A B C D E F G, , , , , , vào một hàng sao cho:
1) A đứng chính giữa
2) A B, ở hai đầu dãy
Lời giải
1) Cách sắp xếp:
A Sắp xếp vị trí B C D E F G, , , , , vào 6 ô còn lại chính là hoán vị của 6 vị trí còn lại trong các ô
Þ Số cách sắp xếp là: P6= =6! 720
2) Cách sắp xếp có thể là:
Hoặc
Tương tự câu 1)
Số cách sắp xếp phù hợp là: 2P5=2.5! 240=
Bài 5.Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 viên bi đỏ và 10 viên bi xanh vào một hàng sao cho không có 2 viên
bi nào cùng màu đứng gần nhau?
Trang 3Lời giải
Đánh số vị trí từ 1 đến 20
Trường hợp 1:
Để các bi xanh vào ô chẵn có: 10! cách
Để các bi đỏ vào ô lẻ có: 10! cách
Số cách sắp xếp như vậy là: 10!.10! cácH Trường hợp 2:
Để các bi xanh vào ô lẻ có: 10! cách
Để các bi đỏ vào ô chẵn có: 10! cách
Số cách sắp xếp như vậy là: 10!.10! cách
Số cách sắp xếp thỏa mãn là: 2.10!.10! cách
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 [1D2-3] Sắp xếp 6 bạn nam và 4 bạn nữ vào 1 hàng sao cho các bạn nam và nữ ngồi cạnh nhau
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
A 34560 B 458630 C 68720 D 48736
Câu 2 [1D2-2] Huấn luyện viên muốn chọn 5 cầu thủ trong 11 cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Các cầu
thủ có khả năng như nhau (kể cả thủ môn) Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A 55440 B 55660 C 44550 D 66550
Câu 3 [1D2-1] Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 bạn thành một hàng dọc
A.
3628800 B 3687547 C 362880 D 3624400
Câu 4 [1D2-1] Có 2 bi xanh, 3 bi đỏ, 4 bi vàng Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi vào 1 hàng.
A 352880 B 362440 C 362770 D. 362880
Câu 5 [1D2-2] Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và tổng của 3 chữ số bằng 9
Câu 6 [1D2-3] Cho tập hợp A={1;2;3;4;5;6}
Gọi N là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau
được lập từ tập hợp A Hãy tính tổng các số tự nhiên trong tập hợp N
A.
279999720 B 284444512 C 369999720 D 389999720
Câu 7 [1D2-2] Từ các số 1; 2;3;4;5;6 Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho số 1 và
số 6 có mặt 2 lần và các số khác có mặt 1 lần
A 35288 B 42320 C 37856 D. 40320
Câu 8 [1D2-2] Cho các số tự nhiên 1; 2;3; 4;8 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau bắt đầu bằng số 1
Câu 9 [1D2-2] Có 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 3 bi vàng Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi vào 1 hàng
sao cho các viên bi cùng màu đứng cạnh nhau
Trang 4Câu 10 [1D2-1] Cho các số tự nhiên 3; 4;5;7;8 Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau
A.
VẤN ĐỀ 2 CHỈNH HỢP
Khái niệm và công thức:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n³ 1)
Mỗi cách sắp xếp k (1£ £k n)
phần tử nào đó của A theo 1 thứ tự ta được 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử (gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A)
Số chỉnh hợp chập k của A : ( ) ( )( ) ( )
!
1 2 1
!
k n
n
n k
-
Đặc điểm: có thứ tự, số phần tử trong nhóm bằng :1 k £ £k n
Ví dụ 1. Rút gọn:
6 5 4
n
M
A
+
=
2 3 3
5 6 5
6 6
M
-Ví dụ 2. 5 điểm lập được bao nhiêu véc tơ khác véc tơ 0 ?
Ví dụ 3. Một lớp có 30 học sinh trong đó có 16 nam và 14 nữ Có bao nhiêu cách chọn:
3) 2 cán bộ lớp gồm 1 lớp trưởng và 1 bí thư.
4) 2 cán bộ lớp gồm 1 lớp trưởng là nam, 1 bí thư là nữ
Ví dụ 4. Sắp xếp 4 người vào một băng ghế có 8 chỗ Hỏi có bao nhiêu cách?
Ví dụ 5. Cho các số: 0;1;2;3;4;5
1) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.
2) Số chẵn có 3 chữ số khác nhau.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1.Rút gọn:
1)
2
5
2)
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
B=P A +P A +P A +P A - PP P P
Lời giải 3)
2
5
1!.5! 2!.4! 3!.3! 4!.2! 5!
4)
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
-1!.2! 2!.3! 3!.4! 4!.5! -1!.2!.3!.4! 2750
Bài 2.Cho các số tự nhiên 1; 2;3; 4;5
1) Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau
2) Lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau.
Lời giải
1) Gọi số cần tìm là abcd
Trang 5Chọn a có 5 cách chọn Chọn 3 số trong 5 số còn lại có: A53=60
Vậy số các số có 4 chữ số khác nhau là:5A53=300.
2) Gọi số cần tìm là: abc
Chọn c có 3 cách Chọn a có 4 cách Chọn b có 4 cách
Vậy số các số lẻ có 3 chữ số khác nhau là: 3.4.4=48.
Bài 3.Có thể lập được bao nhiêu véc tơ từ các điểm trên hình ngũ giác đều
Lời giải
Ngũ giác có 5 điểm Véc tơ tạo bởi 2 điểm và có thứ tự
Số véc tơ tạo bởi 5 điểm là: A52=20.
Bài 4.Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 28 bạn nam Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba bạn làm cán bộ lớp bao gồm: 1 lớp trưởng, 1 bí thư, 1 lớp phó?
Lời giải
Chọn 3 bạn trong 50 bạn và sắp xếp theo thứ tự sẽ có: A503 =117600 cách.
Bài 5.Một nhà hàng có 10 món đặc sản Mỗi ngày nhà hàng đó chọn ra hai món ăn khác nhau trưa 1 món,
tối 1 món? Hỏi nhà hàng có bao nhiêu cách chọn
Lời giải
Chọn 2 món trong 10 món và sắp xếp theo 1 thứ tự có tối và trưa có: A102 =90 cách.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 [1D2-1] Quy tắc cộng có thể phát biểu dưới dạng:
A Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của tập A BÈ bằng số
phần tử của A cộng với số phần tử của B
B Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của tập A BÇ bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B
C Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không hợp nhau thì số phần tử của tập A BÇ bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B.
D Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không hợp nhau thì số phần tử của tập A BÈ bằng số
phần tử của A cộng với số phần tử của B
Câu 2 [1D2-2] Đội học sinh giỏi cấp trường môn tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau:
khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh Nhà trường cần chọn 1 đội tuyển gồm 3 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh
cả 3 khối
Câu 3 [1D2-2] Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh
lớp 12 C Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
A.
Trang 6Câu 4 [1D2-1] Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng Có bao nhiêu cách lấy ra 2 viên
bi có đủ cả hai màu?
A 72 B 24 C 35 D 94
Câu 5 [1D2-2] Một giá có: 10 sách tiếng anh, 15 sách tiếng nga Chọn 2 cuốn sách có đủ 2 ngôn ngữ
có bao nhiêu cách?
A 450 B 1800 C 180 D 420
Câu 6 [1D2-2] Ban chấp hành liên chi đoàn khối 11 có 3 nam, 2 nữ Cần chọn 1 bạn để làm trưởng ban
chấp hành Số cách chọn là:
Câu 7 [1D2-2] Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một ghế dài có 5 chỗ ngồi Hỏi
có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghể?
Câu 8 [1D2-2] Một cửa hàng có 10 cái áo màu xanh và 10 cái áo màu trắng Một bạn học sinh muốn
mua 1 cái áo, hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Câu 9 [1D2-2] Sắp xếp 5 nam sinh và 5 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các bạn nam, nữ luôn ngồi cạnh nhau
A 120960 B 120096 C 28800 D 207360
Câu 10 [1D2-2] Một giá sách có: 10 sách tiếng anh, 15 sách tiếng nga và 12 sách tiếng pháp Chọn một
cuốn sách bất kì có bao nhiêu cách?
VẤN ĐỀ 3 TỔ HỢP
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử 1 n , mỗi tập con của A gồm k phần tử 1 k n gọi
là tổ hợp chập k của n phần tử trong A
Số tổ hợp chập k của n:
!
!
k n
n C
k n k
Dấu hiệu: Số phần tử trong nhóm: k với 1 k n
Không có thứ tự
Tính chất của tổ hợp:
Trang 70 n 1
C C ; C n k C n n k
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 [1D3-2] Một nhóm có 7 nam và 6 nữ Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ Hỏi có bao nhiêu cách?
A. 251 B 250 C 300 D 252
Lời giải Chọn A.
Số cách chọn 3 học sinh tùy ý là C133 .
Số cách chọn 3 học sinh không có học sinh nữ là: C73
Số cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ là: C133 C73 251
Câu 2 [1D3-3] Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của Trường THPT X theo từng khối như
sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 hoc sinh Nhà trường cần
chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh Hỏi số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối
A 3003 B 2509 C 9009 D 3000
Lời giải Chọn C.
Số cách chọn 10 học sinh tùy ý là: C1510
Số cách chọn 10 học sinh chỉ có hai khối:
TH1: Chọn 10 học sinh khối 10 và 11 có C1010
TH2: Chọn 10 học sinh khối 10 và 12 có C1010
TH3: Chọn 10 học sinh khối 11 và 12 có C1010
Suy ra số cách chọn học sinh chỉ có 2 khối là: 3C 1010 3
Vậy số cách chọn đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối là: C1510 3C1010
Câu 3 [0D3-2] Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng Hỏi có
mấy cách chọn lấy 3 hoa có đủ ba màu
A 30 B 210 C 42 D. 35
Trang 8Hướng dẫn giải Chọn B
• Số cách chọn 1 hoa hồng trắng là: C51
• Số cách chọn 1 hoa hồng đỏ là: C61
• Số cách chọn 1 hoa hồng vàng là: C17
Theo qui tắc nhân số cách chọn sao cho lấy 3 hoa có đủ ba màu là:
1 1 1
5 .6 7 210
C C C Chọn B Câu 4 [0D3-2] Một nhóm có 5 nam và 3 nữ Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ
Hỏi có bao nhiêu cách
A 40 B 46 C 50 D. 44
Hướng dẫn giải
Chọn B
• Số cách chọn 3bạn tùy ý là: C83
• Số cách chọn 3 bạn sao cho không có bạn nữ: C53
• Số cách chọn 3 bạn sao cho có ít nhất 1 bạn nữ là: C83 C5346 Chọn B
Câu 5 [0D3-2] Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng Có bao
nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?
Lời giải Chọn B.
Trường hợp 1: chọn 2 bi xanh và 2 bi đỏ có C C 82 52 280 cách chọn
Trường hợp 2: chọn 1 bi xanh; 1 bi đỏ và 2 bi vàng có C C81 .C51 32 120 cách chọn
Vậy ta có 280 120 400 cách
Câu 6 [0D3-2] Đề kiểm tra tập trung môn toán khối của một trường THPT gồm hai loại đề tự
luận và trắc nghiệm Một học sinh tham gia kiểm tra phải thực hiện hai đề gồm một đề tự luận và một đề trắc nghiệm, trong đó loại đề tự luận có 12 đề, loại đề trắc nghiệm 15 có đề Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề kiểm tra?
Trang 9Lời giải
Chọn C.
Chọn 1 đề tự luận trong 12 đề có C121 cách
Chọn 1 đề trắc nghiệm trong 15 đề có C151 cách
Số cách chọn đề kiểm tra là: 12.15 180 đề
Câu 7 [1D2-2] Để chào mừng 26/3, trường tổ chức cắm trại Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh
nữ Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang trí trại Số cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ bằng nao nhiêu? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khả năng trang trí trại
A C195 . B. 5 5
35 19
35 16
16
C .
Lời giải Chọn B.
Số học sinh của lớp: 19 16 35
Chọn 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp có C355 cách.
Chọn 5 bạn trong 19 nam có C195 cách.
Số cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ là C355 C195 cách.
Câu 8 [1D2-2] Cho 10 điểm phân biệt A A1, , ,2 A10 không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu
tam giác có ba đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?
Lời giải Chọn A.
Số tam giác có ba đỉnh được lấy trong 10 điểm trên là C 103 120 tam giác.
Câu 9 [1D2-3] Có 4 nữ sinh tên là Huệ, Hồng, Lan, Hương và 4 nam sinh tên là An, Bình, Hùng, Dũng
cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau
A 576 B 144. C 2880 D 1152
Lời giải Chọn B.
Xếp một bạn nữ vào vị trí đầu tiên có 1 cách
Xếp 3 bạn nữ ngồi vào 3 vị trí còn lại cách bạn đầu tiên một chỗ có 3! cách
Xếp 4 bạn nam vào 4 vị trí còn lại có 4!
Trang 10Vậy có 1.3!.4! 144 cách.
Câu 10 [1D2-2] Có 10 cuốn sách toán khác nhau.Chọn ra 4 cuốn,hỏi có bao nhiêu cách?
A 210 B 200 C 220 D 190
Lời giải Chọn A.
Chọn 4 cuốn từ 10 cuốn suy ra có: C 104 210 cách.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
a/
8 9 10
15 15 15 10 17
2
A
C
b/ n 2n 3n
B C C C
Lời giải
a)
15! 15! 15!
8!7! 9!6! 10!5! 15!
17! 8!7! 9!6! 10!5! 17!
10!7!
A
10!7! 2.10!7! 10!7! 15! 10.9 2.10.7 7.6
1 8!7! 9!6! 10!5! 17! 17.16
b)
2 ! 3 ! 3 !
! ! ! 2 ! !
B C C C
Lời giải
Câu 3. Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn ra 10
câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra
Lời giải
+ Loại 1: chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có C1020 cách.
+ Loại 2: chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C1610 cách.
- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13câu có C1310 cách
- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C1110 cách.
Vậy có 10 10 10 10
20 16 13 11 176451
C C C C
đề kiểm tra
Câu 4. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành
một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác?
Lời giải
Trang 11+ Trường hợp 1: Chọn 1 nữ và 4 nam.
- Bước 1: chọn 1 trong 5 nữ có 5 cách
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A152 cách.
- Bước 3: Chọn 2 trong 13 nam còn lại có C132 cách.
có 5 A C152 132 cách chọn cho trường hợp 1
+ Trường hợp 2: Chọn 2 nữ và 3 nam.
- Bước 1: chọn 2 trong 5 nữ có C52 cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A152 cách.
- Bước 3: Chọn 1 trong 13 nam còn lại có 13 cách
có 13 A C152 52 cách chọn cho trường hợp 2.
+ Trường hợp 3: Chọn 3 nữ và 2 nam.
- Bước 1: chọn 3 trong 5 nữ có C53 cách.
- Bước 2: chọn 2 trong 15 nam làm tổ trưởng và tổ phó có A152 cách.
có A C152 53 cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có 5A C15 132 2 13A C15 52 2A C15 52 3 111300 cách
Câu 5. Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca Hỏi
có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu:
a/ phải có ít nhất là 2 nữ
b/ chọn tùy ý
Lời giải a) Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:
2 nữ, 4 nam có C C152 304 cách
3 nữ, 3 nam có C C153 303 cách
4 nữ, 2 nam có C C154 302 cách
5 nữ, 1 nam có C C155 130 cách
