Tính xác suất để Việt và Nam không thực hiện công việc trực nhật cùng nhau, biết rằng công việc trực nhât được phân công theo tháng với 24 ngày học chính trên lớp và trong một tháng mỗi [r]
Trang 1DẠNG 10 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Bài 1 Trong trị chơi "Chiếc nĩn kì diệu" cĩ tất cả 10 ơ Một người quay chiếc kim cĩ thể dừng lại một trong các vị trí: 2 ơ 10 điểm, 2 ơ 20 điểm, 2 ơ 30 điểm, 2 ơ mất điểm, 1 ơ gấp đơi, 1
ơ phần thưởng với khả năng như nhau Tính xác suất để sau 2 lần quay liên tiếp người đĩ được
60 điểm
Lời giải
Khơng gian mẫu là 2 lần quay ngẫu nhiên liên tiếp
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=10.10 100= .
Gọi A là biến cố ''Sau 2 lần quay liên tiếp người đĩ được 60 điểm'' Ta cĩ các khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau:
● Trường hợp 1 Lần quay thứ nhất được 30 điểm, cĩ 2 khả năng
Lần quay thứ hai được 30 điểm, cĩ 2 khả năng
Do đĩ trường hợp này cĩ 2.2 4= khả năng xảy ra.
● Trường hợp 2 Lần quay thứ nhất được 30 điểm, cĩ 2 khả năng
Lần quay thứ hai được ơ nhân đơi, cĩ 1 khả năng
Do đĩ trường hợp này cĩ 2.1 2= khả năng xảy ra
Suy ra số phần tử của biến cố A là W = + =A 4 2 6.
Vậy xác suất cần tính ( ) 6 3
100 50
A
P A =W = =
W
Bài 2 Một hộp cĩ 10 phiếu, trong đĩ cĩ 2 phiếu trúng thưởng Cĩ 10 người lần lượt lấy ngẫu nhiên mỗi người 1 phiếu Tính xác suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng
Lời giải
Khơng gian mẫu là mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 phiếu
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=10!.
Gọi A là biến cố ''Người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng'' Ta mơ tả khả năng thuận lợi của biến cố A như sau:
● Người thứ ba cĩ C =21 2 khả năng lấy được phiếu trúng thưởng.
● 9 người cịn lại cĩ số cách lấy phiếu là 9!
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 2.9!.
Vậy xác suất cần tính ( ) 2.9! 1
10! 5
A
W
Bài 3 Tại một địa điểm thi của kì thi THPT Quốc Gia cĩ 10 phịng thi, gồm 6 phịng (mỗi phịng
25 Thí sinh) và 4 phịng (mỗi phịng cĩ 26 Thí sinh) Sau mỗi buổi thi, phĩng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh trong các thí sinh dự thi để phỏng vấn Giả sử khả năng được chọn
để phỏng vấn của các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 10 thí sinh được chọn phỏng vấn khơng cĩ 2 thí sinh nào thuộc một phịng thi
Lời giải
Tổng cộng cĩ 10 phịng thi với 6.25 4.26 254+ = thí sinh.
Vì khả năng được chọn của các thí sinh là như nhau nên khơng gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 10 trong 254 thi sinh cĩW=C25410 .
Gọi A là biến cố ''Chọn được 10 thí sinh mà khơng cĩ 2 thí sinh nào thuộc một phịng thi'', tức là mỗi phịng chọn ra một thí sinh cĩ ( ) ( )1 6 1 4
25 26
Vậy xác suất cần tính ( ) ( ) ( )1 6 1 4
10 254
4,33.10
P A
C
-W
Trang 2Bài 4 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác
nhau Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một phòng duy nhất Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí
Lời giải
Không gian mẫu là số cách ngẫu nhiên chỗ ngồi trong 4 lần thi của Nam
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=244.
Gọi A là biến cố ''4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí'' Ta mô tả không gian của biến cố A như sau:
● Trong 4 lần có 2 lần trùng vị trí, có C42 cách.
● Giả sử lần thứ nhất có 24 cách chọn chỗ ngồi, lần thứ hai trùng với lần thứ nhất có
1 cách chọn chỗ ngồi Hai lần còn lại thứ ba và thứ tư không trùng với các lần trước
và cũng không trùng nhau nên có 23.22 cách
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C42.24.23.22.
Vậy xác suất cần tính ( ) 42 42
.24.23.22 23.22 253.
1152
Bài 5 Một lớp học có 48 học sinh trong đó có 2 bạn Việt và Nam, công việc trực nhật hàng ngày
trên lớp được phân công cho mỗi cặp 2 học sinh thực hiện Tính xác suất để Việt và Nam không thực hiện công việc trực nhật cùng nhau, biết rằng công việc trực nhât được phân công theo tháng với 24 ngày học chính trên lớp và trong một tháng mỗi học sinh chỉ thực hiên công việc trực nhật một lần
Lời giải
Không gian mẫu là chia 48 học sinh thành 24 cặp để trực nhật 24 ngày
Chọn hai người phân công trực nhật ngày thứ 1 có C482 cách.
…
…
Chọn hai người phân công trực nhật ngày thứ 24 có C482 cách.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C482 462 C22.
Gọi A là biến cố ''Việt và Nam không trực cùng nhau'' Để tìm số kết quả thuận lợi cho A,
ta tìm số kết quả thuận lợi của A tức là chia 48 học sinh thành 24 cặp trong đó có một cặp là Việt
và Nam
● Để Việt và Nam thành 1 cặp thì có 1 cách Trong 24 ngày khác nhau nên sẽ có 24 cách để Việt và Nam thực hiện trực nhật
● Còn 46 người còn lại có C462 C22 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 24.C462 C22.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W = W- W =A A C C482 462 C22- 24.C462 C22.
Vậy xác suất cần tính ( ) 482 462 22 462 22
2 2 2
48 46 2
24 46
47
P A
Bài 6 Phân phối 60 thùng hàng giống hệt nhau cho 6 cửa hàng sao cho mỗi cửa hàng nhận được
ít nhất một thùng hàng Tính xác suất để mỗi cửa hàng nhận được ít nhất 6 thùng hàng
Lời giải
Không gian mẫu là phân 60 phần tử của tập hợp thùng hàng thành 6 phần
Suy ra số phần tử của không gian mẫu W=C595 .
Gọi A là biến cố '' mỗi cửa hàng nhận được ít nhất 6 thùng hàng'' Để tìm số phần tử của
A, ta làm như sau:
Trang 3● Phân phối đều cho mỗi cửa hàng 5 thùng thì hết 30 thùng.
● Còn lại 30 thùng chia mỗi cửa hàng ít nhất một thùng
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C295 .
Vậy xác suất cần tính ( ) 295
5 59
585 24662
P A
C
W
Bài 7 Thầy giáo có 7 quyển sách Toán, 8 quyển sách Vật Lí và 9 quyển sách Hóa Học (các quyển
sách cùng loại là giống nhau) dùng để làm phần thưởng cho 12 học sinh, sao cho mỗi học sinh được 2 quyển sách khác loại Trong số 12 học sinh đó có bạn An và bạn Bình Tính xác suất để bạn An và bạn Bình có phần thưởng giống nhau
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn 2 phần thưởng trong số 12 phần thưởng
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C122 =66.
Gọi A là biến cố ''Bạn An và bạn Bình có phần thưởng giống nhau'' Để tìm số phần tử của
A, ta làm như sau:
Gọi x là cặp số gồm 2 quyển Toán và Vật Lí;
y là số cặp gồm 2 quyển Toán và Hóa Học;
z là số cặp gồm 2 quyển Vật Lí và Hóa Học.
Ta có hệ phương trình
12
3 7
4 9
5 8
x y z
x
x y
y
y z
z
z x
ì + + =
ï + = ïïî
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A C32+C42+C52.
Vậy xác suất cần tính ( ) 32 42 52
2 12
19 66
P A
C
Bài 8 Có 2 thầy giáo và n học sinh xếp thành hàng ngang (nÎ ¥*) Kí hiệu S1 là số cách xếp
hàng ngang sao cho có đúng một học sinh đứng giữa 2 thầy giáo; S2 là số cách xếp hàng ngang
sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau; S3 là số cách xếp hàng ngang sao cho giữa 2 thầy giáo có
ít nhất 1 học sinh Tìm n và k (k Î ¥*) sao cho S1, S2 và (S3+k) theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Lời giải
● Số phần tử của S1.
+) Đầu tiên chọn 1 học sinh trong n học sinh để xếp giữa 2 thầy giáo, có n cách.
+) Ứng với mỗi cách ở bước trên có 2 cách xếp thầy giáo
+) Ta coi 2 thầy giáo và 1 học sinh đứng giữa như 1 bộ cùng với n- 1 học sinh còn lại hoán đổi vị trí cho nhau, có n! cách
Do đó số phần tử của S1 là n n.2 !.
● Số phần tử của S2.
+) Ta coi 2 thầy giáo như 1 bộ cùng với n học sinh còn lại hoán đổi vị trí cho nhau, có (n+1 !) cách
+) Ứng với mỗi cách ở bước trên có 2 cách xếp thầy giáo
Do đó số phần tử của S2 là (n+1 !.2) .
● Số phần tử của S3
+) Nếu xếp 2 thầy giáo cùng với n học sinh một cách tùy ý, có (n+2 !) cách
+) Nếu 2 thầy giáo đứng cạnh nhau, có (n+1 !.2) cách.
Trang 4Suy ra số phần tử của S3 là (n+2 !) (- n+1 !.2) .
Theo giả thiết, ta có S1+(S3+ =k) 2S2
( ) ( )
.2 ! 2 ! 1 !.2 2 1 !.2
6 1 ! 2 ! 2 !
-Vì nÎ ¥* nên với n=1, suy ra k =4; n=2, suy ra k =4; n³ 3, suy ra k <0(không
thỏa)
Vậy có hai cặp (n k; ) thỏa mãn bài toán là (n k =; ) (1;4 , 2;4) ( ).
Bài 9 Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu đen hoặc trắng Lấy ngẫu nhiên từ
mỗi hộp đúng 1 viên bi Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi đen là 55
84 Tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng.
Lời giải
Giả sử hộp thứ nhất có x viên bi, trong đó có a viên bi đen;
hộp thứ hai có y viên bi, trong đó có b viên bi đen.
Điều kiện: x y a b, , , là các số nguyên dương và x³ y, a x£ , b y£ .
Theo giả thiết, ta có
( ) ( )
20 1
55 2 84
x y ab xy
ìïï ïïí ïï ïïî
+ =
Từ ( )2 Û 55xy=84ab, suy ra xy chia hết cho 84.
Mặt khác, ta có 1( )2( )1100
4
xy£ x y+ = nên xy=84 ( )3
Từ ( )1 và ( )3 , ta được 14
6
x y
ì = ïï
íï =
ïî .
Từ ( )3 và ( )2 , suy ra ab=55 nên a là ước của 55 Lại có 55 55 14
6£ b = £a nên a=11.
Với a=11, ta được b=5.
Vậy xác suất để được 2 bi trắng là (14 11 6 5) ( ) 1