Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.. Lời giải.[r]
Trang 1DẠNG 3 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHÓM – BẢNG ĐẤU
A – NHÓM
Bài 1 Đội thanh niên tình nguyện của trường cĩ 3 học sinh khối lớp 10; 6 học sinh khối
lớp 11 và 6 học sinh khối lớp 12 Nhân ngày thương binh liệt sĩ, nhà trường cần cử ba nhĩm, mỗi nhĩm cĩ 5 học sinh đi làm các cơng tác sau: Nhĩm 1 đi thăm gia đình mẹ Việt nam anh hùng, nhĩm 2 đi viếng tại nghĩa trang liệt sĩ của Thành phố và nhĩm 3 đi thăm một thầy giáo là thương binh Tính xác suất để số học sinh của mỗi khối trong các nhĩm bằng nhau
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chia ngẫu nhiên 15 học sinh thành 3 nhĩm, mỗi nhĩm 5 học sinh
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=C C C155 105 55=756756
Gọi A là biến cố ''Số học sinh của mỗi khối trong các nhĩm bằng nhau'' Ta mơ tả khơng gian của biến cố A như sau:
● Đầu tiên chọn 1 học sinh trong số 3 lớp 10; 2 học sinh trong số 6 học sinh lớp
11 và 2 học sinh trong số 6 học sinh lớp 12 xếp vào nhĩm 1 nên cĩ
1 2 2
3 6 6 675
C C C = cách.
● Tiếp theo chọn 1 học sinh trong số 2 cịn lại lớp 10; 2 học sinh trong số 4 học sinh cịn lại lớp 11 và 2 học sinh trong số 4 học sinh cịn lại lớp 12 xếp vào nhĩm 2 nên cĩ C C C =1 22 4 42 72 cách.
● Cuối cùng số học sinh cịn lại xếp vào nhĩm 3 nên cĩ 1 cách
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 675.72 48600= .
Vậy xác suất cần tính ( ) 48600 450
756756 7007
A
W
Bài 2 Một đồn cảnh sát cĩ 9 người trong đĩ cĩ hai trung tá An và Bình Trong một nhiệm
vụ cần huy động 3 đồng chí thực hiện ở địa điểm A, 2 đồng chí thực hiện ở địa điểm B
và 4 đồng chí cịn lại trực ở đồn Tính xác suất để phân cơng sao cho hai trung tá An và Bình khơng ở cùng khu vực làm nhiệm vụ
Lời giải
Khơng gian mẫu là cách sắp xếp tùy ý 9 đồng chí vào các vị trí như yêu cầu
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=C C C93 .62 44=1260.
Gọi X là biến cố ''Hai trung tá An và Bình khơng ở cùng khu vực làm nhiệm vụ''
Để tìm số phần tử của biến cố X , ta đi tìm số phần tử của biến cố X tức là phân cơng
sao cho hai trung tá An và Bình ở cùng khu vực làm nhiệm vụ, ta cĩ các trường hợp:
● An và Bình ở cùng vị trí A, chọn thêm 1 người trong 7 người cịn lại cho đủ
ở vị trí A cĩ 1
7
C cách; chọn 2 người trong 6 người cịn lại cho vị trí B cĩ 2
6
C
cách; 4 người cịn lại trực ở đồn cĩ 1 cách Do đĩ trong trường hợp này cĩ
1 2
7 6
C C cách.
● An và Bình ở cùng vị trí B cĩ 1 cách; chọn 3 người trong 7 người cịn lại cho
vị trí A cĩ C73 cách; 4 người cịn lại trực ở đồn cĩ 1 cách Do đĩ trong trường hợp này cĩ C73 cách.
● An và Bình ở cùng vị trí trực ở đồn, chọn thêm 2 người trong 7 người cịn lại cho đủ ở đồn cĩ C72 cách; chọn 3 người trong 5 người cịn lại cho vị trí A cĩ
3
5
C cách; 2 người cịn lại trực ở vị trí B cĩ 1 cách Do đĩ trong trường hợp
này cĩ C C2 3 cách.
Trang 2Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C7 6+C7+C C7 5=350.
Suy ra số phần tử của biến cố X là W = W- W =X X 1260 350 910.- =
Vậy xác suất cần tính ( ) 910 13
1260 18
X
P X =W = =
W
Bài 3 Một câu lạc bộ gồm 14 người, trong đĩ cĩ hai bạn An và Bình Người ta chọn một
tổ gồm 6 người để làm vệ sinh Tính xác suất để chọn 1 tổ trưởng và 5 tổ viên hơn nữa An
và Bình khơng đồng thời cĩ mặt
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chọn 1 tổ trưởng và 5 tổ viên
● Chọn 1 tổ trưởng cĩ C141 cách.
● Chọn 5 tổ viên cĩ C135 cách.
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=C C141 135 =18018.
Gọi A là biến cố ''Chọn được 1 tổ trưởng và 5 tổ viên, với An và Bình khơng đồng thời cĩ mặt'' Để tìm số phần tử của biến cố A, ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là chọn ra 1 tổ trưởng và 5 tổ viên đồng thời An, Bình đều cĩ mặt Ta xét các trường hợp:
● Nếu An hoặc Bình làm tổ trưởng, khi đĩ
Cĩ 2 cách chọn tổ trưởng
Cĩ C124 cách chọn thêm 4 người làm tổ viên.
Do đĩ trường hợp này cĩ 2.C =124 990 cách chọn.
● Nếu An và Bình khơng làm tổ trưởng, khi đĩ
Cĩ 1 cách chọn An và Bình làm tổ viên
Cĩ C121 cách chọn 1 tổ trưởng.
Cĩ C113 cách chọn 3 người nữa làm tổ viên.
Do đĩ trường hợp này cĩ 1.C C =121 113 1980 cách chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 990 1980 2970.+ =
Suy ra số phần tử của biến cố A là W = W- W =A A 18018 2970 15048- = .
Vậy xác suất cần tính ( ) 15048 76
18018 91
A
P A =W = =
W
B – BẢNG ĐẤU
Bài 1 Giải bĩng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bĩng tham dự, trong đĩ cĩ 6 đội nước ngồi và 3 đội của Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A B C, , và mỗi bảng cĩ 3đội Tính xác suất để 3 đội bĩng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chia tùy ý 9 đội thành 3 bảng
Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W=C C C93 .63 33.
Gọi X là biến cố '' 3 đội bĩng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau''
● Bước 1 Xếp 3 đội Việt Nam ở 3 bảng khác nhau nên cĩ 3! cách
● Bước 2 Xếp 6 đội cịn lại vào 3 bảng A B C, , này cĩ 2 2 2
6 .4 2
C C C cách.
Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 3! .C C C62 42 22.
Vậy xác suất cần tính ( ) 62 42 22
3 3 3
9 6 3
1680 28
P X
C C C
W
Trang 3Bài 2 Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh sinh viên có 8 người tham
gia trong đó có hai bạn Việt và Nam Các vận động viên được chia làm hai bảng A và B, mỗi bảng gồm 4 người Giả sử việc chia bảng thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để cả 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 người thành 2 bảng
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C84 44.
Gọi X là biến cố '' 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu''
● Bước 1 Xếp 2 bạn Việt và Nam nằm chung 1 bảng đấu nên có 1
2
C cách.
● Bước 2 Xếp 6 bạn còn lại vào 2 bảng A B, cho đủ mỗi bảng là 4 bạn thì có
2 4
6 4
C C cách.
Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C C21 .62 44.
Vậy xác suất cần tính ( ) 21 62 44
4 4
8 4
7
X C C C
P X
C C
W
Bài 3 Trong một trò chơi ''Rung chuông vàng'', đội của trường có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A B C D, , , và mỗi nhóm có 5 bạn Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 20 bạn thành 4 nhóm
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C C C205 155 105 .55
Gọi X là biến cố '' 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm''
● Bước 1 Xếp 5 bạn nữ vào 1 nhóm nên có 1
4
C cách.
● Bước 2 Xếp 15 bạn nam còn lại vào 3 nhóm còn lại nên có C C C155 105 55 cách. Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X C C C C41 155 105 .55
Vậy xác suất cần tính ( ) 41 155 105 55 41
5 5 5 5 5
20 15 10 5 20
3876
P X
W
Bài 4 Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp 12, tổ 1 có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Nam Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ Tính xác suất để Hoa và Nam cùng một nhóm
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm và phải đảm bảo mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ Giả sử
● Nhóm thứ nhất có 2 nữ và 2 nam, có C C42 82 cách.
● Nhóm thứ hai có 1 nữ và 3 nam, có 1 3
2 6
C C .
● Sau khi chia nhóm thứ nhất và thứ hai xong thì còn lại 1 nữ và 3 nam nên nhóm thứ ba có duy nhất 1 cách
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=C C C C42 .82 12 63=6720.
Gọi A là biến cố ''Hoa và Nam cùng một nhóm'' Ta mô tả các khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau:
● Trường hợp thứ nhất Hoa và Nam cùng với 1 bạn nam và 1 bạn nữ thành một nhóm nên có C C71 13 cách Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên
có C C63 12 Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba Do đó trong trường hợp này có C C C C =1 .1 3 1 840 cách.
Trang 4● Trường hợp thứ hai Hoa và Nam cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên
có C72 cách Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có C C52 32 Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ
ba Do đó trong trường hợp này có C C C =72 .52 32 630 cách.
● Trường hợp thứ ba Hoa và Nam cùng với 2 bạn nam thành một nhóm Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ Suy ra nhóm thứ ba có 2 bạn nam
và 2 bạn nữ Trường hợp trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính Suy ra số phần tử của biến cố A là W =A 840 630 1470+ = .
Vậy xác suất cần tính ( ) 1470 7
6720 32
A
P A =W = =
W
Bài 5 Giải bóng đá vô định Đông Nam Á có 11 đội tham gia, trong đó có 2 đội loại một
là Việt Nam và Thái Lan; 3 đội loại hai là Singapore, Malaysia, Indonesia; còn lại là các đội loại ba Ban tổ chức giải chia làm hai bảng đấu gồm: bảng A có 6 đội, bảng B có 5 đội sao cho mỗi bảng đấu có 1 đội loại một, ít nhất 1 đội loại hai Tính xác suất để bảng
B có đội tuyển Việt Nam và chỉ có 1 đội loại hai là Singapore
Lời giải
Không gian mẫu là chia 11 đội thành 2 bảng đấu thỏa mãn: bảng A có 6 đội, bảng
B có 5 đội sao cho mỗi bảng đấu có 1 đội loại một, ít nhất 1 đội loại hai Ta xét các khả năng sau:
● Bảng B gồm 1 đội loại một, 1 đội loại hai, 3 đội loại ba
Do đó có C C C =21 .31 63 120 cách.
● Bảng B gồm11 đội loại một, 2 đội loại hai, 2 đội loại ba
Do đó có C C C =21 .32 62 90 cách.
● Khi chọn đội cho bảng B thì bảng A chỉ có 1 cách chọn
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=120 90 210+ = .
Gọi X là biến cố ''Bảng B có đội tuyển Việt Nam và chỉ có 1 đội loại hai là Singapore'' Vì bắt buộc bảng B có 5 đội nên 3 đội còn lại được chọn từ 6 đội loại 3 nên có C =63 20 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố X là W =X 20.
Vậy xác suất cần tính ( ) 20 2
210 21
X
W
Bài 6 Giải bóng đá Đông Nam Á có 8 đội bóng của 8 quốc gia tham gia dự, trong số đó
có 4 đội: Việt Nam, Lào, Thái Lan và Myanma Ban tổ chức bốc thăm ngẫu nhiên chia 8 đội thành hai bảng A B, và mỗi bảng có 4 đội để thi đấu vòng loại Tính xác suất để hai đội Lào và Myanma phải gặp nhau ở vòng loại, biết rằng Việt Nam và Thái Lan là hai đội hạt giống nên không cùng thuộc một bảng
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chia tùy ý 8 đội thành 2 bảng đồng thời thỏa mãn Việt Nam và Thái Lan nằm ở 2 bảng khác nhau
● Bước 1 Xếp 2 đội Việt Nam và Thái Lan ở 2 bảng khác nhau, có 2! cách.
● Bước 2 Xếp 6 đội còn lại vào 2 bảng A B, nên có 3 3
6 3
C C cách.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W=2! .C C63 33
Gọi X là biến cố '' 2 đội Lào và Myanma phải gặp nhau ở vòng loại'' Do đó 2 đội Lào và Myanma phải cùng 1 bảng
● Bước 1 Xếp 2 đội Việt Nam và Thái Lan ở 2 bảng khác nhau, có 2! cách.
● Bước 2 Xếp 2 đội Lào và Myanma ở cùng 1 bảng nên có C1 cách.
Trang 5● Bước 3 Xếp 4 đội còn lại vào 2 bảng A B, cho đủ mỗi bảng 4 đội nên có
1 3
4 3
C C cách.
Suy ra số phần tử của biến cố X là 1 1 3
2 4 3 2!
X C C C
W = Vậy xác suất cần tính ( ) 12 41 33
3 3
6 3
2! 2.
5 2!
X C C C
P X
C C
W
W