TỰ học TOÁN lớp 8 HAY

58 3 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.. 181 C Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.. 209 A Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức.. 209 B Tìm giá trị

Trang 1

TOÁN 8

TỰ HỌC TOÁN 8

Trang 2

MỤC LỤC

1 Nhân đa thức 3

A Lý thuyết 3

B Bài tập 3

2 Các hằng đẳng thức đáng nhớ 10

A Lý thuyết 10

3 Phân tích đa thức thành nhân tử 25

A Tóm tắt lý thuyết 25

B Phân loại các dạng toán và phương pháp giải 25

C Bài tập tự luyện 28

4 Chia đa thức 38

B Phân loại các dạng toán và phương pháp giải 38

CHƯƠNG 2 Phân thức đại số 47 1 Tính chất cơ bản của phân thức, rút gọn phân thức 47

B Ví dụ 47

2 Các phép tính về phân thức 56

A Tóm tắt lí thuyết 56

B Các dạng toán 56

C Bài tập tự luện 58

3 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 82

A Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 82

B Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử 85

C Phương pháp hệ số bất định 86

D Phương pháp xét giá trị riêng 87

E Bài tập 87

4 Tính chia hết của số nguyên 92

A Chứng minh quan hệ chia hết 92

B Tìm số dư 96

C Tìm điều kiện để chia hết 97

D Bài tập 99

Trang 3

5 Tính chia hết đối với đa thức 110

A Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia 110

B Sơ đồ Hoóc-ne 111

C Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác 114

D Bài tập 116

CHƯƠNG 3 Phương trình bậc nhất một ẩn 121 1 Khái niệm về phương trình Phương trình bậc nhất 121

2 Phương trình tích 127

3 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức 136

B Các ví dụ 136

4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 145

CHƯƠNG 4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 155 1 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân 155

B Một số ví dụ 155

2 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 161

3 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 168

4 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối 173

5 Bất phương trình tích Bất phương trình thương 177

6 Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức 180

A Các tính chất của bất đẳng thức 180

B Các hằng bất đẳng thức 181

C Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 181

D Bất đẳng thức với số tự nhiên 186

E Vài điểm chú ý khi chứng minh bất đẳng thức 187

D Áp dụng chứng minh bất đẳng thức vào giải phương trình 189

7 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức 209

A Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức 209

B Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa một biến 210

C Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến 212

D Các chú ý khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức 214

E Bài toán cực trị với số tự nhiên 219

Trang 4

PHẦN II Hình học 235

1 Tứ giác 237

2 Hình thang 241

3 Dựng hình bằng thước và compa 248

A Bài tập 250

4 Đối xứng trục 257

5 Hình bình hành 263

C Bài tập tự luận 264

6 Đối xứng tâm 269

A Lý thuyết 269

B Bài tập 270

7 Hình chữ nhật 273

A Lý thuyết 273

B Bài tập 274

8 Hình thoi 280

9 Hình vuông 285

CHƯƠNG 2 Đa giác Diện tích đa giác 295 1 Đa giác 295

B Bài tập 295

2 Diện tích của đa giác 300

B Bài tập 302

Trang 5

CHƯƠNG 3 Chuyên đề 321

1 Tìm tập hợp điểm 321

A Hai tập hợp bằng nhau 321

B Các tập hợp điểm đã học 321

C Ví dụ 322

D Thứ tự nghiên cứu và trình bày lời giải bài toán tìm tập hợp điểm 324

E Phân chia các trường hợp trong bài toán tìm tập hợp điểm 325

F Bài tập 327

2 Sử dụng công thức diện tích để thiết lập quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng 338

A Các ví dụ 338

B Bài tập 339

CHƯƠNG 4 Tam giác đồng dạng 347 1 Định lý Ta-lét 347

A Lí thuyết 347

B Bài tập 350

2 Định lý Ta-lét đảo 374

B Bài tập tự luyện 375

3 Tính chất đường phân giác của tam giác 381

B Bài tập tự luyện 382

4 Các trường hợp đồng dạng của tam giác 386

Dạng 1 Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh 386

Dạng 2 Trường hợp cạnh - góc - cạnh 387

Dạng 3 Trường hợp góc - góc 389

Dạng 4 Phối hợp các trường hợp cạnh - góc - cạnh và góc - góc 396

Dạng 5 Dựng hình 399

5 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG 403

A Các dạng toán 403

Dạng 1 Hai tam giác vuông đồng dạng 403

B Tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng 409

C Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng 416

Trang 6

1 Hình hộp chữ nhật 419

Dạng 1 Hình hộp chữ nhật 420

Dạng 2 Diện tích 421

Dạng 3 Thể tích 426

Dạng 4 Các dạng khác 427

CHƯƠNG 6 Đường thẳng và mặt phẳng trongkhông gian Quan hệ song song 431 1 Hình lăng trụ đứng 431

B Bài tập 432

2 Hình chóp đều Hình chóp cụt đều 434

B Bài tập 437

C Tính các đại lượng hình học bằng cách lập phương trình 443

3 Toán cực trị hình học 450

A Bài toán cực trị 450

B Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị 452

C Các chú ý khi giải toán cực trị 455

Trang 7

I

ĐẠI SỐ

Trang 9

BÀI 1 NHÂN ĐA THỨC

Trang 10

x = 6.

2

5(3x + 5) − 4(2x − 3) = 5x + 3(2x + 12) + 115x + 25 − 8x + 12 = 5x + 6x + 36 + 1

7x + 37 = 11x + 374x = 0

x = 0

3

2(5x − 8) − 3(4x − 5) = 4(3x − 4) + 1110x − 16 − 12x + 15 = 12x − 16 + 11

−2x − 1 = 12x − 5

5 − 1 = 12x + 2x14x = 4

x = 2

7.

Trang 11

5x − 3[4x − 2(4x − 3(5x − 2))] = 1825x − 3[4x − 2(4x − 15x + 6)] = 1825x − 3[4x − 2(−11x + 6)] = 1825x − 3[4x + 22x − 12] = 182

5x − 78x + 36 = 182

−73x = 182 − 36

x = −2

BÀI 3 Tính giá trị của các biểu thức

- LỜI GIẢI

Trang 12

2x + 16 = 62x = −10

x = −5

Trang 13

(3x + 2)(2x + 9) − (x + 2)(6x + 1) = (x + 1) − (x − 6)(6x2+ 31x + 18) − (6x2+ 13x + 2) = 7

18x + 16 = 718x = −9

x = −1

2.

3

3(2x − 1)(3x − 1) − (2x − 3)(9x − 1) = 03(6x2− 5x + 1) − (18x2− 29x − 3) = 0(18x2 − 15x + 3) − (18x2− 29x − 3) = 0

14x = 0

x = 0

BÀI 7 Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng M = N = P với M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a);

Trang 14

Ta xét hai số ab và ac thỏa mãn b + c = 10 Khi đó

(10a + b)(10a + c) = 100a2+ 10ac + 10ab + bc

= 4x2 − 2x(a + b + c) + (ab + bc + ac) (1)

Theo giả thiết x = 1

Do đó thay vào (1) ta được M = 4x2− 4x2+ ab + bc + ac = ab + bc + ac

BÀI 12 cho dãy số 1, 3, 6, 10, 15, · · · ,n(n + 1)

2 , · · · Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp củadãy bao giờ cũng là số chính phương

- LỜI GIẢI

Xét dãy số có số hạng tổng quát un= n(n + 1)

2Theo giả thiết un−1+ un= (n − 1)n

- LỜI GIẢI

Vì a gồm 31 số 1 nên số a chia cho 3 dư 1

vì b gồm 38 số 1 nên số b chia cho 3 dư 2

Trang 15

- LỜI GIẢI.

Vì tích của hai số tự nhiên liên tiếp là một số chẵn và có số tận cùng là 0, 2, 6

Do đó phần dư của tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 là 0 hoặc 2 (1)

Từ (1) và (2) suy ra số 350+ 1 không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp BÀI 15

Trang 16

Tổng quát của các công thức 3 và 7, ta có hằng đẳng thức

an− bn = (a − b)(an−1+ an−2b + an−3b2 − · · · − abn−2+ bn−1) với mọi số lẻ n

Tổng quát của các hằng đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta có công thức newton (xem chuyên đề Tính chia hếtđối với số nguyên)

VÍ DỤ 1 Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

Trang 18

a3− b3 =m + n

2

3

−m − n2

3

= (m + n)

3 − (m − n)3

8Rút gọn biểu thức trên, ta được 3m

2n + n3

4 .Cách 2 Ta có

- LỜI GIẢI

A = (26 − 24)(26 + 24) và B = (27 − 25)(27 + 25) = (26 − 24)(26 + 24 + 2) > A BÀI 18 Tìm x, biết

Trang 19

Biểu thức đã cho trở thành b2− 2ba + a2 = (a − b)2 = 42 = 16.

4 Nhân biểu thức đã cho với 3 − 1, ta được 364− 1

Giá trị của biểu thức là 1

A = x2+ 2xy + y2− 4x − 4y + 1

- LỜI GIẢI

Ta có A = (x + y)2− 4(x + y) + 1 = 32− 4 · 3 + 1 = −2 BÀI 21 Cho a2+ b2+ c2 = m Tính giá trị của biểu thức sau theo m

Trang 20

BÀI 22 Hãy viết các số sau đây dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1.

77782− 22232

- LỜI GIẢI

Ta có 7 7782− 2 2232 = (7 778 − 2 223)(7 778 + 2 223) = 5 555 · 10 001 = 55 555 555 BÀI 24 Chứng minh các hằng đẳng thức:

(5a − 3b + 8c)(5a − 3b − 8c) = (3a − 5b)2

Trang 21

BÀI 27 Chứng minh rằng nếu (a2+ b2+ c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x, y, z khác 0 thìa

⇔ (a2y2− 2abxy + b2x2) + (a2z2− 2acxz + c2x2) + (b2z2 − 2bcyz + c2y2) = 0

⇔ (ay − bx)2+ (az − cx)2+ (bz − cy)2 = 0

⇔ ab + bc + ca = a2+ b2+ c2 theo câu a) suy ra a = b = c

3 theo câu b) (a + b + c)2 = 3(a2+ b2+ c2) = 3(ab + bc + ca)

Suy ra a2+ b2+ c2 = ab + bc + ca, theo câu a) a = b = c

Trang 22

BÀI 30 Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương:

BÀI 32 Cho a + b + c = 0 Chứng minh a4+ b4+ c4 bằng mỗi biểu thức:

1 Bình phương hai vế của a + b + c = 0, được

a2+ b2+ c2+ 2(ab + bc + ca) = 0 ⇔ a2+ b2 + c2 = −2(ab + bc + ca) (1)Bình phương hai vế của (1), được

a4+ b4+ c4+ 2(a2b2+ b2c2+ c2a2)

= 4 [a2b2+ b2c2+ c2a2+ 2abc(a + b + c)]

= 4(a2b2+ b2c2+ c2a2)

Suy ra a4 + b4+ c4 = 2(a2b2+ b2c2+ c2a2)

2 Bình phương hai vế của (1), được

a4+ b4+ c4+ 2(a2b2+ b2c2+ c2a2) = 4(ab + bc + ca)2 (2)

Từ (2) suy ra 2(ab + bc + ca)2 = a

4+ b4+ c4+ 2(a2b2 + b2c2+ c2a2)

Từ (3) và câu a) suy ra a4+ b4+ c4 = 2(ab + bc + ca)2

3 Bình phương hai vế của (1), chia cho 2, được

(a2+ b2+ c2)2

2 = 2(ab + bc + ca)

2 = a4+ b4+ c4

BÀI 33 Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến:

Trang 23

+11

4 > 11

4 .Giá trị nhỏ nhất của là A = 11

1 Nếu p và p2+ 8 là các số nguyên tố thì p2+ 2 cũng là số nguyên tố

2 Nếu p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố

Trang 24

1 (a + b + c)3− (b + c − a)3− (a + c − b)3− (a + b − c)3.

2 (a + b)3+ (b + c)3+ (c + a)3− 3(a + b)(b + c)(c + a)

- LỜI GIẢI

Trang 25

- LỜI GIẢI.

Từ giả thiết a + b + c = 0 ⇒ c = −(a + b), thay vào đẳng thức cần chứng minh ta được

a3+ b3− (a + b)3 = −3ab(a + b)

⇔ −3ab2− 3a2b = −3ab2− 3a2b

BÀI 43 Cho x + y = a và xy = b tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b

x2+ y2

a) b)x3+ y3 c)x4+ y4 d) x5+ y5

- LỜI GIẢI

Trang 26

2 Cho x − y = 1 Tính giá trị của biểu thức x3− y3 − 3xy.

- LỜI GIẢI

1 Ta có x3 + y3+ 3xy = (x + y)3− 3xy(x + y) + 3xy = 1 − 3xy + 3xy = 1

2 Ta có x3 − y3− 3xy = (x − y)3+ 3xy(x − y) − 3xy = 1 + 3xy − 3xy = 1

BÀI 45 Cho a + b = 1 Tính giá trị của biểu thức M = a3+ b3+ 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b)

1 Cho x + y = 2 và x2+ y2 = 10 Tính giá trị của biểu thức x3+ y3

2 Cho x + y = a và x2+ y2 = b Tính giá trị của biểu thức x3+ y3 theo a, b

3

2 .

BÀI 47

1 Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương

2 Nếu số 2n là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương

3 Nếu n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính phương

4 Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phương thì tích mn cũng là tổng của hai sốchính phương

- LỜI GIẢI

Trang 27

1 Giả sử n = a2+ b2 (a, b ∈ N) Khi đó

ã2

+Å a − b2

Trang 28

4 Đặt a = 11 1

| {z }

n

ta có 10n = 9a + 1 Do đó,

D = a · 10n+2+ 20(10a + 1) + 5 = a(900a + 100) + 200a + 25

= 900a2+ 300a + 25 = (30a + 5)2 = (33 3

| {z }

n

5)2

BÀI 49 Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương:

2 Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số

15 vào chính giữa số hạng liền trước:

Trang 29

BÀI 53 Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6 Chứng minh

Trang 30

BÀI 58 Chia 18 quả cân có khối lượng 12, 22, 32, , 182 gam thành ba nhóm có khối lượng bằngnhau.

Lần thứ hai, chia sáu quả cân 72, 82, , 122 thành ba phần: B, B + 12, B + 4

Lần thứ ba, chia chín quả cân 132, 142, , 182 thành ba phần: C + 4, C, C + 12

Nhóm thứ nhất gồm các phần: A + 12, B, C + 4 Nhóm thứ hai gồm các phần: A + 4, B + 12, C.Nhóm thứ ba gồm các phần: A, B + 4, C + 12 Khối lượng mỗi nhóm đều bằng A + B + C + 16 BÀI 59 Chia 27 quả cân có khối lượng 12, 22, 32, , 272 gam thành ba nhóm có khối lượng bằngnhau

Trang 31

BÀI 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Phương pháp

Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp

Đặt nhân tử chung: AB + AC = A(B + C)

Phối hợp nhiều phương pháp

Trong phạm vi bài viết này sẽ trình bày ba phương pháp đầu Bốn phương pháp còn lại sẽ trình bày

ở nội dung sau

B PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VÍ DỤ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Trang 33

(n + 1)3 = 13+ 3(12+ 22+ 32+ · · · + n2) + 3(1 + 2 + 3 + · · · + n) + n.

Trang 34

Do đó

3(12+ 22+ 32+ · · · + n2) = (n + 1)3− 3n(n + 1)

2 − (n + 1)3S = (n + 1)[(n + 1)2− 3n

2 − 1]

3S = (n + 1)(n2+n

2)3S = 1

Trang 35

- LỜI GIẢI.

Ta có 1993− 199 = 199 · (1992− 1) = 199 · (199 + 1) · (199 − 1) = 198 · 199 · 200 200.

Trang 36

BÀI 4 Tính giá trị của biểu thức sau, biết x3− x = 6

A = x6− 2x4+ x3+ x2− x

- LỜI GIẢI

Ta có A = x6− 2x4+ x3+ x2− x = (x6− 2x4+ x2) + (x3− x) = (x3− x)2+ (x3− x) = 62

+ 6 = 42 BÀI 5 Phân tích thành nhân tử

1 a(b2+ c2+ bc) + b(c2+ a2+ ac) + c(a2+ b2+ ab);

2 (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc;

c*) a(a + 2b)3− b(2a + b)3

- LỜI GIẢI

1

a(b2+ c2+ bc) + b(c2+ a2+ ac) + c(a2+ b2+ ab)

= ab2 + ac2+ abc + bc2+ ba2+ abc + ca2+ cb2+ abc

= (ab2+ abc + ba2) + (ac2+ abc + ca2) + (bc2+ abc + cb2)

= ab(b + c + a) + ac(c + b + a) + bc(c + a + b)

= (a + b + c)(ab + bc + ca)

2

(a + b + c)(ab + bc + ca) − abc = (a + b)(ab + bc + ca) + c(ab + bc + ca) − abc

= (a + b)(ab + bc + ca) + abc + c(bc + ca) − abc

a(a + 2b)3− b(2a + b)3 = a[(a + b) + b]3− b[a + (a + b)]3

= a[(a + b)3 + 3b(a + b)2+ 3b2(a + b) + b3] − b[a3+ 3a2(a + b) + 3a(a + b)2+ (a + b)3]

= a(a + b)3+ 3ab(a + b)2+ 3ab2(a + b) + ab3− ba3− 3ba2(a + b) − 3ab(a + b)2− b(a + b)3

= (a − b)(a + b)3+ 3ab(a + b)(b − a) + ab(b − a)(b + a)

= (a − b)(a + b)[(a + b)2 − 3ab − ab]

= (a − b)(a + b)(a2− 2ab + b2)

= (a − b)(a + b)(a − b)2

= (a + b)(a − b)3

Trang 37

BÀI 6 Phân tích thành nhân tử

a(b2 + c2) + b(c2+ a2) + c(a2+ b2) + 2abc = ab2+ ac2+ bc2 + ba2+ c(a2+ b2+ 2ab)

= (ab2+ a2b) + (ac2+ bc2) + c(a + b)2

= (a + b)(a2− b2) − (b + c)[(a2− b2) + (c2− a2)] + (c + a)(c2 − a2)

= (a + b)(a2− b2) − (b + c)(a2− b2) − (b + c)(c2− a2) + (c + a)(c2− a2)

= (a − c)(a2− b2) + (a − b)(c2 − a2)

= (a − c)(a − b)(a + b) + (a − b)(c − a)(c + a)

= (a − b)[(a − c)(a + b) − (a − c)(c + a)]

= (a − b)(a − c)(b − c)

4 Nhận thấy c − a = −[(b − c) + (a − b)] nên

a3(b − c) + b3(c − a) + c3(a − b)

= a3(b − c) − b3[(b − c) + (a − b)] + c3(a − b)

Trang 38

= a3(b − c) − b3(b − c) − b3(a − b) + c3(a − b)

= (b − c)(a3− b3) − (a − b)(b3− c3)

= (b − c)(a − b)(a2+ ab + b2) − (a − b)(b − c)(b2+ bc + c2)

= (b − c)(a − b)(a2+ ab + b2− b2− bc − c2)

= (b − c)(a − b)[(a2− c2) + (ab − bc)]

= (b − c)(a − b)[(a − c)(a + c) + b(a − c)]

= (b − c)(a − b)(a − c)(a + b + c)

BÀI 7 Phân tích thành nhân tử

Trang 39

BÀI 10 Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì

(am + bc)(bm + ca)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2

- LỜI GIẢI

Ta có am + bc = a(a + b + c) + bc = a(a + b) + ac + bc = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c)

Tương tự bm + ca = (b + c)(b + a) và cm + ab = (c + a)(c + b) Khi đó

(am + bc)(bm + ca)(cm + ab) = (a + b)(a + c)(b + c)(b + a)(c + a)(c + b) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2

BÀI 11 Cho a2+ b2 = 1, c2+ d2 = 1, ac + bd = 0 Chứng minh rằng ab + cd = 0

- LỜI GIẢI

Do a2+ b2 = 1 và c2+ d2 = 1 nên

ab + cd = ab · 1 + cd · 1

= ab(c2+ d2) + cd(a2+ b2)

= abc2+ abd2+ cda2+ cdb2

= (abc2+ cdb2) + (abd2+ cda2)

= bc(ac + bd) + ad(bd + ac)

= (ac + bd)(bc + ad)

= 0 (do ac + bd = 0)

BÀI 12 Xét hằng đẳng thức (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 Lần lượt cho x = 1,n rồi cộng từng vế n đẳngthức trên để tính giá trị của biểu thức

S = 1 + 2 + 3 + · · · + n

Trang 40

Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được

Định dạng
Số trang	483
Dung lượng	3,64 MB