Chuyên đề: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Thứ hai, mà tôi nghĩ điều này khá quan trọng, các bài toán hình học giải tích mà các bạn học sinh được giải là những bài toán cơ bản nhất, ở mức độ đơn giản nhất (như tính góc, tính di[r]

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

ĐƯỜNG THẲNG

Lời nói đầu

Làm một cuộc điều tra bất kỳ đối với một nhóm học sinh phổ thông, có thể thấy trước kết quả là hầu hết các em sợ hình học và thích đại số Cho dù là hình học phẳng hay hình học không gian đều là nỗi khiếp sợ đối với đại đa số các em, kể cả đối với một số em chuyên toán Thế nhưng, hầu như tất cả các học sinh lại không cảm thấy sợ môn hình học giải tích mà trái lại, coi đây là một trong những môn dễ chịu nhất

Vì sao như vậy? Có hai lý do mà tôi muốn kể đến Thứ nhất, các bài toán hình học giải tích thường có một

sơ đồ lời giải rất rõ ràng, có thể nói là “rập khuôn”, cứ thế mà làm, cứ áp công thức vào mà làm Thứ hai,

mà tôi nghĩ điều này khá quan trọng, các bài toán hình học giải tích mà các bạn học sinh được giải là những bài toán cơ bản nhất, ở mức độ đơn giản nhất (như tính góc, tính diện tích, viết phương trình đường thẳng, tìm điểm cố định) nên mới cảm thấy dễ Cái gì ở mức cơ bản cũng đẹp và … dễ

Có lẽ vì những lí do trên nên tôi viết chuyên đề hình học giải tích trong mp Oxy (chuyên đề chỉ xoáy sâu về đường thẳng và đường tròn liên quan các dạng hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình thang , hình thoi )

Kiến thức chuẩn bị

Mặt phẳng toạ độ là mặt phẳng mà trong đó có chọn hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau tại O và trên mỗi trục, chọn các véc-tơ đơn vị   i, j

Với mỗi điểm M, véc-tơ OM có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng OM x.i y.j     

(4) trong đó x, y là các số thực Ta thay khai triển (4) bằng một ký hiệu đơn giản OM (x; y)  

và nói véc-tơ

OM có toạ độ là (x ; y) Ta cũng nói điểm M có toạ độ là (x ; y) và ký hiệu là M (x ; y)

Công thức tính toạ độ véc tơ theo các đầu mút

A(xA, yA), B(xB, yB) => AB OBOA(xB xA,yB yA)

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm AB|AB| (xB xA)2 (yB yA)2

Công thức toạ độ điểm chia

*Cho hai điểm A, B là một số thực k  1 M được gọi là điểm chia đoạn A, B theo tỷ số k nếu

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy

ĐỖ TUẤN KIỆT THPT CHUYÊN NGUYỄN THIỆN THÀNH

+Nếu A,B,C không thẳng hàng aIA bIB cIC 0       

thì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (BC=a;AC=b;AB=c)

Tích vô hướng giữa hai véc-tơ

Theo định nghĩa, tích vô hướng của hai véc-tơ u, v 

là một số thực có độ lớn bằng tích các độ dài của hai véc-tơ đó nhân với cosin của góc giữa chúng

u.v | u | | v | cos(u,v)     

Tích vô hướng có các tính chất cơ bản sau

1) u.v vu 2) cu.v c.u.v 3) u.(v w) u.v u.w

Công thức tính diện tích tam giác Điều kiện thẳng hàng của ba điểm

Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh (xA, yA), (xB, yB), (xC, yC) Khi đó ta có

|))(

())(

())(

((

))(

))((

)(

)((

2

1

).(

2

1

|

|

|

|

.1

.2

1cos

1.2

1sin

2

1

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

A B A C A C A

B

A C A B A

C A B A

C A

C A

B A

B

ABC

yyxxy

yx

x

yyyyx

xxxy

yx

xy

yx

x

ACABAC

AB

ACAB

ACABAC

ABA

ACABA

ACAB

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Phương trình đường thẳng qua (x0, y0) và có hệ số góc k là y – y0 = k(x-x0)

Phương trình đường thẳng qua (x0, y0) và song song với véc-tơ d (a, b)

(véc-tơ chỉ phương) là

b

yya

y

atx

x

0

0

(dạng tham số) Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giả sử có đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm M(x0, y0) Ta cần tính khoảng cách từ M đến d Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d

H nằm trên đường thẳng qua M và song song với d, có dạng tham số là

2 2 2

0

2 0

|

|)(

)(

)(

BA

CByAxt

BAy

yx

|),

(

BA

CByAxd

(

BA

CByAxd

2 2

2 0 0

2

,

BA

BCABxy

AB

A

ACAByx

B

H

Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình Ax+By+C=0 và A’x+B’y+C’=0 (A2+B2>0 ; A’2+B’2>0) nếu d và d’ cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác trong và ngoài của góc tạo bởi hai đường d và d’

Lưu ý :+ Nếu A.A’+B.B’>0 thì phân giác góc nhọn là Ax By C2 2 A ' x B' y C'2 2

tRxx

Phương trình toạ độ giao điểm, điều kiện tiếp xúc

Để xác định toạ độ giao điểm của đường tròn (C): x2 + y2 + Ax + By + C = 0 và đường thẳng d: y =

kx + m , ta thiết lập phương trình hoành độ giao điểm

x2 + (kx+m)2 + Ax + B(kx+m) + C = 0

 (k2+1)x2 + (2km+kB+A)x + m2 + Bm + C = 0

(Tương tự với giao điểm của một đường thẳng và một đường cong bất kỳ)

Đường thẳng d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép

Ngoài ra, điều kiện tiếp xúc của đường tròn tâm I(x0,y0) bán kính R với đường thẳng d: Ax + By + C còn

có thể được cho dưới dạng

d tiếp xúc (I, R)  d(I, d) = R

Trục đẳng phương của hai đường tròn

Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn (C1): x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 và

(C2): x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 là (A1-A2)x + (B1-B2)y + C1-C2 = 0

Trục đẳng phương là đường thẳng đi qua hai giao điểm của hai đường tròn nếu chúng cắt nhau, do đó từ phương trình trục đẳng phương, có thể tìm được toạ độ giao điểm của hai đường tròn

Điều kiện tiếp xúc của hai đường tròn

Vị trí tương đối của hai đường (I1, R1) và (I2, R2) phụ thuộc vào tương quan giữa d = I1I2 và R1, R2, cụ thể

Nếu d < |R1 – R2| thì đường tròn lớn chứa đường tròn nhỏ

Nếu d = |R1 – R2| > 0 thì chúng tiếp xúc trong với nhau

Nếu |R1 – R2| < d < R1 + R2 thì chúng cắt nhau

Nếu d = R1 + R2 thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau

Nếu d > R1 + R2 thì hai đường tròn rời nhau

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

B

1) Dựng điểm thứ ba theo điều kiện ràng buộc với hai điểm theo tỉ lệ nào đó (đặc biệt là trung điểm hoặc trọng tâm thuộc trung tuyến…)

2) Dựng được đường thẳng qua hai điểm đó

* Cho hai đường thẳng:

3) Dựng được giao điểm (nếu có) của chúng.(tính góc giữa chúng)

* Cho một điểm và một đường thẳng:

4) Dựng được hình chiếu của điểm lên đường thẳng

5) Dựng được điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng ( đặc biệt nếu nó nằm trên tia cuả một góc nào đó và đường thẳng là phân giác của góc đó, khi đó ta sẽ tìm được điểm nằm trên tia thứ hai)

6) Dựng được đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng còn lại

2) Phương pháp đặt ẩn:

Đây là phương pháp tư duy thực dụng, chỉ cần biết tìm điểm nào, đường thẳng nào ta chỉ cần đặt ẩn cho điểm đó , đường thẳng đó Rồi dựa vào đề bài, tìm đủ các điều kiện ràng buộc dữ kiện tương ứng với số ẩn

để giải hệ

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC

Bài 1:(A 2006 dự bị) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d:x-4y-2=0, cạnh BC song song d Đường cao BH: x+y+3=0 và trung điểm của cạnh AC là M(1;1).Tìm tọa độ các điểm A,B,C

Phân tích: Dựng hình ta thấy AC vuông góc BH và AC qua M nên viết pt AC suy ra tìm giao điểm A của

AC và d, sau đó dựa vào M tìm C

Viết pt BC qua C và BC//d, sau đó tìm giao điểm B của BH và BC

Bài 2: (Toán học tuổi trẻ) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có AB: 5x+2y+7=0, BC: x-2y-1=0

Phương trình đường phân giác trong của góc A là x+y-1=0 Tìm tọa độ điểm C

Ta thấy: Sử dụng phương pháp dựng hình kết hợp với pp đặt ẩn

+ Viết PT AB qua M và Vuông góc IM

+ Tham số hóa điểm A và Điểm B theo ẩn a

+ Ràng buộc AH vuông góc BH tìm a

+ Tìm C theo ràng buộc thuộc AC và IA=IC

Bài tập 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, AC lần lượt 4x-3y-20=0 và 2x+y+10=0 Đường tròn (C) đi qua trung điểm của các đoạn HA, HB, HC có phương trinh là (x-1)2+(y-2)2=25 , trong đó H là trực tâm của tam giác ABC Tìm tọa độ H biết C có hoành độ lớn hơn –4

Phân tích:

Gọi D,E,F ,N lần lượt là trung điểm HA,HB,HC,AC và B’ là chân đường cao hạ từ B lên AC

+EF//BC,NF//AH suy ra NF vuông góc EF Tương tự B’ thuộc đường tròn( đường tròn trong bài toán này

là đường tròn Euler đường kính là EN)

+Tham số hóa N điều kiện ràng buộc C ó hoành độ lớn hơn -4 suy ra N và B’

+Tìm C và H với điều kiện ràng buộc H là trực tâm tam giác ABC

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG M

Bài giải: * Tọa độ điểm A là nghi

* Gọi D,E,F ,N lần lượt là trung đi

Ta có :EF//BC,NF//AH suy ra NF vuông góc EF Tương t

này là đường tròn Euler đường kính là EN)

HC qua C và vuông góc AB nên HC: 3x+4y+25=0

Vậy tọa độ điểm H là nghiệm của h

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC

Ta sẽ nghiên cứu và thảo luận các bài toán liên quan đ

thường sử dụng nó đến hai lần trong bài toán

BT1:Trong mp Oxy lập phương tr

BC là D(2;2)

BT 2: Trong mp Oxy cho tam giác ABC cân t

Điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ

Bài 6:Trong mặt phẳng Oxy, cho đư

các đường cao hạ từ B, C lần lư

t là trung điểm HA,HB,HC,AC và B’ là chân đườ

Ta có :EF//BC,NF//AH suy ra NF vuông góc EF Tương tự B’ thuộc đường tròn(

n (1;-2) nên BH: x-2y=0

HC qua C và vuông góc AB nên HC: 3x+4y+25=0

a hệ

5 y 2

ác bài toán liên quan đến trực tâm H của tam giác:Lưu

n trong bài toán

p phương trình ba cạnh của tam giác ABC, biết A(2;1), trự

BT 2: Trong mp Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC :x+y+1=0; đường cao h

ẻ từ C Viết pt các cạnh bên của tam giác

ng Oxy, cho đường tròn (C) 𝑥2 + 𝑦2 = 25 ngoại tiếp tam giác nh

n lượt là E(-1;-3); F(2;-3) Tìm tọa độ các đỉnh c

ờng cao hạ từ B lên AC

ng tròn( đường tròn trong bài toán

a tam giác:Lưu ý yếu tố trực tâm ta

ực tâm H(-6;-3), trung điểm

ng cao hạ từ B là d:x-2y-2=0

p tam giác nhọn ABC có chân

nh của tam giác ABC biết yA

Ta chúng minh IA  EF gọi Ax là tiếp tuyến tại A với đường tròn tâm O

C1: EFBC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên  ACBAFE(cùng bù góc BFE) Mặt khác ABC nội tiếp

O nên   xAB C AFE nên xA//EF mà xA  IA nên EF  IA.

+ viết pt IA vuông góc EF và tìm tọa độ điểm A với điều kiện ràng buộc yA<0

+tham số hóa B và C từ pt AC, AB kết hợp điều kiện ràng buộc ta xác định tọa độ B và C

ĐS C (4;1);C ( -1;6) Bài 3 (ĐH D2013-NC)

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :(x-1)2 +(y-1)2=4 và đường thẳng 3=0 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C) , các đỉnh N và P thuộc , đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P

2;1) Đường

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F Cho

D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3= 0 Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương

ĐS :A (3;13

3 )

Bài 8 (ĐH D2011-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(- 4; 1), trọng tâm G(1;

1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x - y – 1=0 Tìm tọa độ các đỉnh A và

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x y 0;d2: 3x y 0Gọi (T) là đường tròn

tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 và điểm A có hoành độ dương

ĐS : /

Bài 11 (ĐH A2010-NC)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung

điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y -4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm

E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho

ĐS : B (0;- 4); C ( -4;0) hoặc B(- 6;2); C(2; -6)

Bài 12 (ĐH B2010-CB)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác trong góc A có

phương trình x + y – 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và

đỉnh A có hoành độ dương

ĐS : BC :3x-4y+16=0

Bài 13 (ĐH D2010-CB)Trong mặt phẳng toa đô ̣ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trưc tâm là

H(3;-1), tâm đườ ng tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành đô dương ̣

Kết hợp hai phương pháp dựng hình và tham số hóa

+Dể dàng tìm hình chiếu I lên AB là H và 2IH

+ Tham số hóa điểm A thuộc AB và AI2=AD2+IH2 và điều kiện

Ràng buộc hoành độ A âm tìm tọa độ A và các điểm B,C,D

I

H

Giải:Gọi H là hình chiếu của I lên AB Ta có IH=d(I,AB)=

2 2

1

| 2.0 2 | 5 2

 Tìm tọa độ các đỉnh Hình chữ nhật trên

Phân Tích:

Ta sử dụng được hai phương pháp : dựng hình và tham số

Theo phương pháp dựng hình thì

+ Dựng MN //AD qua M tìm tọa độ N từ AC và MN

+ Tìm trung điểm K của MN suy ra hình chiếu H của K lên AD

+Từ AD và AC xác định A suy ra D và các điểm khác

Phương pháp tham số hóa :

+ Tìm tọa độ A từ AC và AD suy ra tọa độ C và D theo c và d

+ Xác định B theo c và d theo hai đường chéo

+Dùng điều kiện ràng buộc AD vuông góc CD và M ,B, D thẳng hàng ta xác định c và d suy ra kết quả

Bài 3: (A 2013) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x+y+5=0 và A(-4;8) Gọi

M là điểm đối xứng của B qua C N là hình chiếu vuông góc của B lên DM Tìm tọa độ B,C biết 4)

N(5;-Phân tích: Sử dụng kết hợp pp dựng hình và tham số hóa

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

+ Ta thấy A và N nhìn BD dưới một góc vuông nên IA=IB=IC=ID=IN( Với I là trung điểm BD)

+Tham số hóa C thuộc d, sử dụng điều kiện ràng buộc I là trung điểm AC và IA=IN tìm tọa độ C và I + B thuộc d’ qua N và vuông góc AC Áp dụng tham số hóa B và điều kiện ràng buộc IB=IA tìm B

Bài 4: ( Quốc học Huế) Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C nằm trên  : x-2y-1=0, đường BD có phương trình 7x-y-9=0 Điểm E(-1;2) thuộc cạnh AB sao cho EB=3EA Biết B có hoành độ dương Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Phân tích: E

+Khoảng cách từ A đến BD bằng khoảng cách từ C đến BD, sử dụng gt EB=3EA tính Kc từ E đến BD + Tham số hóa điểm C tìm C suy ra B theo CB vuông EB và DC vuông CD

+sử dụng giả thiết suy ra tọa độ A

Bài 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(7; –3) và cạnh BC = 2AB Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC Tìm tọa độ đỉnh C biết phương trình MN là x + 3y –

Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48, điểm 3;2), đường phân giác trong góc BAD  có phương trình:x+y-7=0 Tìm tọa độ điểm B , biết điểm A có hoành độ dương

D(-Đs:A(5;2),B(5;8)

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đỉnh A,B thuộc đường tròn (C1): x2+y2+2x+5y+1=0, các đỉnh C,D thuộc (C2):

x2+y2-2x-3y-3=0 Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật, biết đình A có hoành độ âm

Đs: AB:x+1=0, AD:y=0, CD:x-3=0, BC:y+5=0

Hoặc AB: 4x+3y+4=0, AD: 3x-4y+3=0, CD: 4x+3y-21=0, BC: 3x-4y-17=0

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Hai đỉnh B,C thuộc trục tung, AC:3x+4y-16=0 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết tam giác ACD có diện tích bằng 1 Đs: A(-4;7), B(0;-7), C(0;4), D(-4;4)

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, biết M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA viết phương trình đường thẳng AB biết SABCD=16

Đs: AB:x-y+1=0; AB:x-3y+11=0

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(0;2) , H là hình chiếu vuông góc

B lên AC Trên tia đối BH lấy điểm E sao cho BE=AC, biết BE: x-y=0 Tìm tọa độ B,C,D biết

+ lấy đối xứng N qua I tìm L thuộc AB suy ra pt AB

+Tính khoảng cách từ I đến AB, đặt IB=a suy ra IA=2a

+ B là giao của AB và đường tròn tâm I bán kính IB

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

B là giao của AB và đường tròn tâm I bán kính R= 5 nên tọa độ B là nghiệm của hệ

Bài 2:Cho hình thoi ABCD , cạnh AC có phương trình x+7y-31=0, hai đỉnh B và D lần lượt thuộc

d1:x+y-8=0 và d2: x-2y+3=0 Tìm tọa độ các đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 75 và C có hoành độ dương

Bài 3:Cho hình thoi ABCD biết AC: x+y-1=0 Điểm E(9;4) thuộc AB, điểm F(-2;-5) thuộc AD,AC=2

2 , và C có hoành độ âm Tìm A,B,C,D