CHUYÊN ĐỀ: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY

Phép biến hình là một phần khó trong chương trình hình học phổ thông thuộc chương trình lớp 11, nó thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi Quốc Gia và kì thi olimpic toán Quốc tế. Song với chuyên đề này chỉ khai thác phép biến hình ở góc độ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, dùng các kiến thức cơ bản nhất của phép biến hình và ứng dụng nó vào các bài toán thi THPTQG trong phần tọa độ phẳng để giúp học sinh có thêm một phương pháp giải toán về một trong những phần khó của đề thi THPTQG, giúp học sinh tránh được những biến đổi đại số cồng kềnh và lập ra những hệ đại số rất khó giải được.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT ………

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA

TẾN CHUYÊN ĐỀ:

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY

Giáo viên thực hiện: ………

Tổ: Toán-Tin-Công nghệ

…………

Lời Nói Đầu

Phép biến hình là một phần khó trong chương trình hình học phổ thông thuộc chương trình lớp 11, nó thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi Quốc Gia

và kì thi olimpic toán Quốc tế Song với chuyên đề này chỉ khai thác phép biến hình ở góc độ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, dùng các kiến thức cơ bản nhất của phép biến hình và ứng dụng nó vào các bài toán thi THPTQG trong phần tọa độ phẳng để giúp học sinh có thêm một phương pháp giải toán về một trong những phần khó của đề thi THPTQG, giúp học sinh tránh được những biến đổi đại số cồng kềnh và lập ra những hệ đại số rất khó giải được

Xuất phát từ mục đích đó, tôi đã viết chuyên đề phép biến hình và ứng dụng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, yêu cầu học sinh chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản nhất của phép biến hình và biết vận dụng lý thuyết đó vào các bài tập hình học tọa

độ trong mặt phẳng

Từ thực tế dạy học phần phép biến hình ở phổ thông không phải lớp chuyên Toán học sinh vẫn quan niệm phần này khó và ít tính khả dụng trong thi Nên tôi viết chuyên này để dạy cho học sinh lớp 11 dành cho học sinh đam mê hình nói chung phép biến hình nói riêng và có tính khả dụng trong ôn thi THPTQG Tôi thần tượng Thầy Lê Bá Khánh Trình Người góp mặt trong kì thi Olimpic toán quốc tế ở Luân Đôn Thầy đạt điểm tuyệt đối và được giải đặc biệt với lời giải bài hình sử dụng phép biến hình rất sáng tạo Chuyên đề này được dùng dạy trong thờilượng 4 buổi chuyên đề (mỗi buổi 3 tiết học)

Chuyên đề gồm có ba phần chính

I) Tóm tắt lý thuyết sách giáo khoa

II) Các ví dụ vận dụng lý thuyết đã học

III) Bài tập tự luyện

Do thời gian có hạn và trong quá trình viết chuyên đề không thể tránh khỏi những sai sót rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng chí để chuyên đề được hoàn thiện hơn nữa

Người viết chuyên đề

Hà Trọng Hậu

NỘI DUNG

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY

90 thì M’(y;-x)+) Nếu tâm quay là gốc tọa độ và góc quay ϕ thì tọa độ của M’ thỏa mãn:

Tìm ảnh của điểm M(2;3) qua

a) Phép tịnh tiến theo vecto vr =(2; 5 − )

b) Phép đối xứng tâm I(1;8)

c) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆:x+y-2=0

d) Phép quay tâm O, góc quay 45 0

e) Phép vị tự tâm J(1;2), tỷ số k=-2

Giảia) Ta có Tv 2; 5r= −( ) : M(2;3)→M'(x'; y')

Vậy cặp điểm C(4;-3); D(1;0) hoặc C(1;-6); D(-2;-3)

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A, B, C nằm trên đồ thị hàm số y 2x 1

Đường cao AH: ( )

⊕Trở lại bài toán ban đầu:

Đồ thị có tâm đối xứng I(1;2)⇒ OI (1; 2)uur=

Xét phép tịnh tiến T : ABC OI uur ∆ → ∆ A 'B'C'

⇒  = + ⇒ + = + − ⇒ = (T’) nên tam giác A’B’C’ có 3 đỉnh

thuộc (T’) nên H’ thuộc (T’)

3) Các ví dụ về phép đối xứng tâm.

Ví dụ 1: Tìm tọa độ của các đỉnh của hình vuông ABCD biết tâm I(1;1), điểm

J(-2;2) thuộc đường thẳng AB và điểm K(2;-2) thuộc đường thẳng CD

Ví dụ 2: (KA09):

Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm hai đường chéo AC và

BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộcđường thẳng ∆ : x y 5 0 + − = Viết phương trình đường thẳng AB.

Từ đó tìm được đường thẳng AB

Ví dụ 3: Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết có tâm I 1; 2

Theo đề AC=2BD⇒ IA 2IB =

Nhận xột : Cỏc hỡnh bỡnh hành, hỡnh thoi, hỡnh chữ nhật, hỡnh vuụng nếu giả thiết

cho biết tọa độ giao điểm của hai đường chộo thỡ biết tọa độ tõm đối xứng nờn ta sửdụng phộp đối xứng tõm

4)Cỏc bài toỏn về phộp đối xứng trục

Cỏc bài toỏn cú giả thiết là đường phõn giỏc ta cú thể dung phộp đối xứng trục

mà trục đối xứng là đường phõn giỏc ấy.

Vớ dụ 1: (KB2008)

Xỏc định tọa độ đỉnh C của tam giỏc ABC biết rằng hỡnh chiếu vuụng gúc của Ctrờn đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phõn giỏc trong của gúc A cúphương trỡnh: x-y+2=0 và đường cao qua B là : 4x+3y-1=0

GiảiXột phộp đối xứng trục AD:

Kẻ HK vuông góc với đờng phân giác góc A cắt phân giácgóc A tại I, K thuộc BC⇒ ∆AKH cân tại A

GiảiGọi M là trung điểm của AC, ta có:

GiảiTrên AB lấy D sao cho CD vuông góc với phân giác trong góc

A cắt phân giác đó tại E⇒ ∆DAC cân tại A;

5)Cỏc bài toỏn về phộp quay

Cỏc kết quả quan trọng:

1) Cho ∆ABC với

a) Điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông cân tại A là

;

3 3

b b

Hoành độ M N; là nghiệm của phơng trình: 2 2 ( )

2 1 2 3

Toạ độ của M là nghiệm của hệ: ( )2 2

2 2

3

3 3

Cho 2 đờng thẳng d : x y 0; d : 2x y 1 0 1 − = 2 + − = Tìm toạ độ các

đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng A;C lần lợt thuộc

Hạ IM vuông góc với AB suy ra điểm M(0; 1)

Gọi điểm A(2a – 2; a)

Suy ra AM = (2 – 2a; 1- a)

Xét phép quay Q(A,900) AM → AD

_ TH 1 : AD = ( a – 1; 2 – 2a) suy ra tọa độ điểm D(3a – 3; 2- a)

do đó tọa độ B(4 – 3a; a – 2) thuộc AB suy ra A(2; 2) loại

_TH 2: AD=(1- a; 2a -2) suy ra D(a – 1; 3a – 2) do đó B(2 – a; 2 – 3a) thuộcAB

Suy ra a = 0

Do vậy A(-2; 0); B(2; 2); C(3; 0); D(-1; -2)

Ví dụ 7: Cho hình thoi ABCD có tâm I(1; 0) và AC = 2BD Hai điểm A, B lần lượt

thuộc hai đường thẳng d1: x – 2y – 3 = 0; d1: x + y + 3 = 0 Tìm tọa độ các điểm A,

B, C, D

GiảiGọi E là trung điểm của AI khi đó tam giác BEI vuông cân tại I

Giả sử B(xo; yo) suy ra xo + yo + 3 = 0 (1)

Ta có IB(xo – 1; yo) suy ra ta có vecto IE(- yo; xo – 1) hoặc IE( yo; 1- xo)

* Với IE(- yo; xo – 1) thì IA( -2yo; 2xo – 2) suy ra A(1 – 2yo; 2xo – 2) do A thuộc

d1 nên ta có

-2xo - yo + 1 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta tìm được xo = 4 và yo = -7 do đó A(15; 6); B(4; -7); C(- 13; - 6);D(-2; 7)

*Với IE( yo; 1- xo) thì IA( 2yo; -2xo + 2) suy ra A(1 + 2yo; -2xo + 2) Do A thuộc

Ví dụ 8: Cho đường tròn (C) x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0 và đường thẳng d: x – y =

0 Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc d và hai điểm C, D thuộc (C) sao cho tứ giácABCD là hình vuông

Giải

Ta có (C): (x – 3)2 + ( y – 1)2 = 4

Do A, B thuộc d nên A(a; a), B(b; b) a ≠ b

Suy ra AB(b – a; b – a) Do vai trò của A và B là như nhau nên giả sử

Q(A,900) AB → AD

Từ đó suy ra D(2a – b; b); C(a; 2b – a)

Mà D, C thuộc đường tròn (C) nên ta có hệ

−

=

− +

−

−

4 ) 1 2

( )

3

(

4 ) 1 ( ) 2 2

(

2 2

2 2

a b a

b b

11); C(

5

13

; 5

9); D(

5

11

; 5

7)

7)Các bài toán về phép vị tự

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2) Phương trình đường tròn đi qua

các trung điểm ba cạnh là (C1) x2 + y2 – 2x + 4y + 4 = 0 Viết phương trình đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC

GiảiGọi I; R là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Goi I’; R’ là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

Suy ra I’(1; -2); R’ = 1

Do GI =−2GI' nên ta dễ dàng tìm được I(1; 10) Do R = 2R’ suy ra R’ = 2

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (x – 1)2 + (y – 10)2 = 4

Ví dụ 2: Cho đường tròn ( C) x2 + y2 = 4 và điêm I( 11 ; 5) Giả sử điểm M thuộcđường tròn (C): phân giác góc IOM cắt IM tại M’ Tìm tọa độ điểm M’ thuộcđường tròn ( T): (x -

2

11 )2 + ( y -

2

1)2 = 4

Giải

Vì M thuộc ( C) nên M’ thuộc ( C’) là ảnh của ( C) qua phép vị tự V(I;

4

3)

9.Vậy tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình giữa đường tròn ( T) và ( C’)

Giải hệ phương trình ta được hai nghiệm là

2

11 ; y =

3

10

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C :

⇒ tọa độ N là nghiệm của hệ:

TH2: M và N cùng nằm về một phía của A ⇒uuurAN = 2uuuurAM hay tồn tại phép vị tự tâm

⇒ tọa độ N là nghiệm của hệ:

ĐS: có hai đường: x y− + = 1 0 hoặc 3x y+ − = 5 0

Cách 2:

Đường thẳng ∆ qua A với véc tơ pháp tuyến n a br( );

(điều kiện a, b không đồng thờibằng 0) có phương trình dạng: a x( − + 1) (b y− = ⇔ 2) 0 ax by a+ − − 2b= 0 (∆)

Gọi H1 và H2 lần lượt là trung điểm của AM và AN

⇔ =a a= −3b b.

Với a= -b ⇒ (∆):x y− + = 1 0

Với a= 3b ⇒ (∆):3x y+ − = 5 0

ĐS: có hai đường: x y− + = 1 0 hoặc 3x y+ − = 5 0

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng

tâm G( )1; 2 Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC vàchân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC của tam giác ABC là (C)

x− + y+ = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

Đường tròn (C) có tâm I(3; -2) và bán kính R = 5

Gọi H, J lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp

∆ABC

Ta có:

232

R

JB

C

Theo tính chất trên thì tồn tại phép vị tự tâm H tỷ số 2 biến đường tròn (C) thànhđường tròn (C’) ngoại tiếp tam giác ABC:

III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Cho đường tròn (C): = 4 và hai điểm A(-2; 0) và B(2;0) Điểm M thay đổi trên đoạn AB; đường thẳng qua M tọa với AB góc 450 cắt (C) tại C

và D Tìm tọa độ 2 điểm C và D sao cho MC + MD đạt giá trị lớn nhất.

cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt B và C Điểm A thay đổi trên (C) (A khác B và C) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC biết H thuộc đường tròn (C):

3 Viết phương trình bốn cạnh của hình vuông ABCD biết các đường thẳng AB; BC; CD; DA lần lượt đi qua các điểm M(

4 Cho A(4;3) Tìm điểm B thuộc đường tròn ( ): và C thuộc

đường tròn ( ): sao cho tam giác ABC là tam

giác đều

Tìm tọa độ điểm B thuộc ( ) và C thuộc ( ) saocho tam giác ABC có chu

vi nhỏ nhất

6 Tìm tọa độ 4 đỉnh của một hình bình hành ABCD, biết: M(0;2); N( );

lần lượt là trung điểm 3 cạnh AB; BC; CD của hình bình hành.

7 Cho 2 đường thẳng ; cắt nhau

tại A và M(1;2) Viết phương trình đường thẳng qua M; cắt lần

lượt tại B và C sao cho nhỏ nhất

thuộc ; C thuộc ; và B; D thuộc (d) sao cho ABCD là hình vuông.

tia Ox sao cho nếu vẽ tiếp tuyến MB đến đường tròn (C) (B là tiếp điểm) thì

cắt nhau tại A và B; trong đó A là điểm có hoành độ dương Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt 2 đường tròn tại C và D thỏa mãn A nằm giữa C và D và AD – AC =16

Tài liệu tham khảo

[1] Sách giáo khoa hình học lớp 11 cơ bản

[2] Sách bài tập hình học cơ bản lớp 11

[3] Sách hướng dẫn giáo viên môn toán lớp 11

[4] Báo toán học và tuổi trẻ ra hàng tháng.

Phép đối xứng trục………

Phép quay………

79

Phép vị tự………

15

Bài tập tự luyện……… 18