Định lí Guldin ứng dụng xác định trọng tâm VR

Định lý Guldin* Xác định khối tâm của vật rắnTạ Đức Trọng sưu tầm và biên soạn Định lý 1 Xác định khối tâm của một đường cong phẳng Diện tích S mà một đoạn đường cong phẳng quét được khi

Định lý Guldin* (Xác định khối tâm của vật rắn)

Tạ Đức Trọng sưu tầm và biên soạn

Định lý 1 (Xác định khối tâm của một đường cong phẳng)

Diện tích S mà một đoạn đường cong phẳng quét được khi quay một vòng quanh trục nằm trong cùng một mặt phẳng với nó và không cắt nó bằng tích của chiều dài đường cong L nhân với chu vi đường tròn mà khối tâm của đường cong vẽ ra:

Chứng minh:

Đường cong C nằm trong mặt phẳng (O, x,z) và không cắt trục Oz

Mật độ khối lượng trên một đơn vị chiều dài của C là λ Theo định nghĩa khối tâm ta có:

1

OG OM dm m OG OM dl

Mà mC = λL nên .

C

L OG  OMdl Chiếu lên trục Ox ta

có: . G

C

L x xdl

Mặt khác diện tích S mà đoạn đường cong quét là:

2 0

.

C S

Sx dl d dxdl→S 2  x L G

Ví dụ: Tìm tọa độ khối tâm của một nửa đường tròn bán kính R

Giải: Diện tích quét bởi nửa đường tròn bán kính R khi quay quanh trục là đường kính đi qua hai đầu mút của nó bằng:

( )(2 G) 4 G R



Định lý 2: (Xác định khối tâm của một diện tích phẳng)

Thể tích V mà mà một diện tích phẳng quét được khi quay một vòng quanh một trục nằm trong cùng một mặt phẳng với nó và không cắt nó bằng tích của diện tích phẳng S nhân với chu vi đường tròn mà khối tâm của diện tích phẳng đã vẽ ra:

(2 G).

Chứng minh:

Gọi diện tích S nằm trong mặt phẳng (O,x,z) không cắt Oz

Mật độ khối lượng diện tích của S là 

Theo định nghĩa khối tâm ta có:

1

.

S

S

OG OM dm

m

m OG OM ds









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mặt khác: m S   S nên: . .

S

S OG  OM ds

Chiếu lên trục Ox: . G .

S

S x x ds

Mặt khác thể tích V mà diện tích S quét được khi quay quanh trục Oz là:

2

0

S V

V x d ds d x ds



   →V  (2  x SG).

Ví dụ: Tìm khối tâm của nửa đĩa tròn đồng chất có bán kính R

Giải: Thể tích tạo bởi nửa đĩa tròn đồng chất bán kính R khi quay quanh trục là đường kính của nó bằng:

2

3 4 ( )(2 )

4

3

G

G

R

R

x





Chú ý: Có thể mở rộng định lý Guldin để tìm khối tâm của thể tích có tính đối xứng

* Paul Guldin nhà toán học Thụy Sĩ