NỘI DUNG BÀI HỌC MÔN TOÁN 9 - TUẦN 27

b) BCNM là tứ giác nội tiếp.. Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Chứng minh rằng: Tứ giác OEKD nội tiếp.. Chứng minh AB AC. Chứng minh DB DC.. Tâm đường [r]

Toán 9_ tuần 27

A Phần Đại Số

Bài 4 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

I Kiến Thức.

1 Công thức nghiệm:

2 Áp dụng:

Ví dụ 1: Xác định các hệ số a, b, c; tính biệt thức ∆, rồi tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) 5x2 – x + 2 = 0 b) 4x2 – 4x + 1 = 0 c) –3x2 + x + 5 = 0

Nhóm Toán 9

Cho phương trình bậc 2 có dạng : ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Biệt thức ∆ = b 2 – 4ac

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình (1) có 2 phân biệt: 1 2

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm ( nghiệm kép) : 1 2

b

x x

2a



+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

a) 5x 2 – x + 2 = 0

a = 5; b= -1; c= 2

∆ = b 2 – 4ac = -39<0

=> phương trình đã cho vô

nghiệm

b) 4x 2 – 4x + 1 = 0

a = 4; b= -4; c= 1

∆ = b 2 – 4ac = 0

=> phương trình đã cho có 1 nghiệm ( nghiệm kép)

1 2

b

x x

2a



= ½ Vậy: phương trình có nghiệm là : x = 1/2

c) –3x 2 + x + 5 = 0

a = -3; b= 1; c= 5

∆ = b 2 – 4ac = 61 >0

=> phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

1

2

x



 Vậy : phương trình có 2 nghiệm:

Ví dụ 2 : Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trính sau có bao nhiêu nghiệm:

a) x2 – 4x – 12 = 0 b) 3x2 – 6x + 3 = 0 c) x2 + 4x + 10 = 0

Ở Ví dụ 2a ta thấy a và c trái dấu, khi đó ta xét a.c = -12 <0 Suy ra, phương trình 3x 2 – 4x – 12=0

Luôn có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 3: Tìm điều kiện m để phương trình 3x2 -2x + 4m = 0 có:

a) Hai nghiệm phân biệt b) Một nghiệm ( nghiệm kép) c) Vô nghiệm

3x2 - 2x + 4m = 0 a= 3; b = -2 ; c = 4m

∆ = b 2 – 4ac = 4 – 48m

II Bài tập

Bài 1: (15/45 SGK) Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c; rồi tính biệt thức

∆ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 7x2 – 2x + 3 = 0 b) 5x22 10x 2 0 

b) 3x 2 – 6x + 3 = 0

a = 3 ; b= -6; c= 3

∆ = b 2 – 4ac = 0

=> phương trình đã cho có

1 nghiệm ( nghiệm kép)

c) x 2 + 4x + 10 = 0

a = 1 ; b= 4; c= 10

∆ = b 2 – 4ac = -24 <0

=> phương trình đã cho vô nghiệm

a) 3x 2 – 4x – 12=0

a = 1; b= -4; c= -12

∆ = b 2 – 4ac = 64 >0

=> phương trình đã cho có

2 nghiệm phân biệt

* Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu thì

∆ = b2 – 4ac > 0 Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Một nghiệm ( nghiệm kép) => ∆=0

<= >4 – 48m =0

<=>-48 m = -4

<= > m = 1/12 Vậy: m =1/ 12

a) Hai nghiệm phân biệt

=> ∆ >0

<=> 4 – 48m >0

<=>-48 m > -4

<= > m < 1/12

Vậy: m< 1/ 12

c) Vô nghiệm

=> ∆ < 0

<= > 4 – 48m<0

<=>-48 m < -4

<= > m > 1/12 Vậy: m> 1/ 12

c)

2

x 7x+ 0

2  3 d) 1,7x21,2x 2,1 0 

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 6x2 – x – 7 = 0 b) 6x2 – x + 7 = 0 c) 2x2 2 10x 5 0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) 2x 2  1 2 2 x    2 0 

b) 3x212 145 0 c) 3x25x x 27x 2

Bài 4: Cho phương trình bậc 2: x2 – 2(m + 3)x + (m2 – 5) = 0

a) Giải phương trình với m = 2

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm, nghiệm kép, vô nghiệm?

Bài 5: Cho phương trình 2x2 – 2mx + (m – 4) = 0 Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó

XÉT SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (P): y = ax 2 (a ≠ 0) VÀ ĐƯỜNG THẲNG (d) : y = kx + b

Trong hệ trục tọa độ Oxy, parabol (P) và đường thẳng (d) có 3 vị trí tương đối: (d) cắt (P) , (d)

tiếp xúc (P), (d) và (P) không giao nhau Xét trường hợp a của (P) dương (a>0) (trường hợp a

của (P) âm tương tự) Khi đó ,đường thẳng (d) cắt (P) tai 2 điểm phân biệt ( hình 1); đường

thẳng (d) cắt (P) tai 1 điểm ( hay còn gọi là tiếp xúc ) ( hình 2); đường thẳng (d) không cắt (P) (hay còn gọi không giao nhau) ( hình 3)

(P) y

(d)

y (P) (d)

y

(P)

(d)

Hình 2 Hình 1

Bài toán: Cho hàm số (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = kx + b

Phương pháp giải:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): ax2 = kx + b ⟺ ax2 – kx – b = 0 (1)

- Rồi dùng cách giải phương trình bậc 2 với các hệ số a, k, b đã biết (dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2):

+ ∆ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

⟹ (d) và (P) có hai điểm chung (hoặc (d) cắt (P) tại hai điểm phân

biệt) ở hình 1 Giải phương trình (1) tìm được x, thế vào (d) hoặc (P) để tìm y Từ đó có tọa độ giao điểm (x; y)

+ ∆ = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép

⟹ (d) và (P) có một điểm chung (hoặc (d) tiếp xúc (P)) ở hình 2 Giải

phương trình (1) tìm được x, thế vào (d) hoặc (P) để tìm y Từ đó có tọa

độ giao điểm (x; y)

+ ∆ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

⟹ (d) và (P) không có điểm chung ở hình 3

Ví dụ 4 : Cho hàm số (P):

2

x y 2



và (d): y =

1

2x – 1

Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán

Giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d)

2

2 2

x 1

2 2

x x 2 0 (1) a 1;b 1;c 2

      

=> phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1   1 ; x 2   2

+ Với x =1 thay vào (d) ta được : y = -1/2 A ( 1; -1/2 )

Hình 3

Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán

+ Với x =-2 thay vào (d) ta được: y = -2 B ( -2; - 2)

Vây: Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là : A ( 1; -1/2 ) ; B ( -2; - 2)

Bài 6: Cho hàm số

2

1 3

y x

có đồ thị (P) và hàm số y2x 3 có đồ thị (D) a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ

b) Chứng tỏ (P) và (D) tiếp xúc Tìm tọa độ tiếp điểm

Bài 7:

a) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ hãy vẽ đồ thị của hai hàm số sau :

(P): y =

1

2x2 và (D) : y =

1

2 x + 1 b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính

c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) : y= x+m tiếp xúc với (P)

Bài 8: ( TS10_2019) Cho parabol (P): y =

-1

2x2 và đường thẳng (d) : y = x- 4 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm giữa (P) và (d) bằng phép toán

B Phần Hình Học.

Luyện tập Hướng dẫn sữa bài tập về nhà Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao Kẻ HM ⊥ AB, HN ⊥

AC Gọi I là trung điểm BC MN cắt AH, AI tại O, K Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MANH nội tiếp đường tròn, xác định tâm của đường tròn đó

b) BCNM là tứ giác nội tiếp (Hướng dẫn: Chứng minh góc ngoài bằng góc đối trong:

AMO ACB  )

c) HOKI là tứ giác nội tiếp (Hướng dẫn: Ta có OHI 90  0 nên ta chỉ cần chứng minh

OKI 90  )

HD:

a) Chứng minh: MANH nội tiếp đường tròn

Ta có: HMA 90  0 (HM ⊥ AB ), HNA 90   0 ( HN ⊥ AC)

Xét tứ giác MANH:

   0 0  0

HMA HNA 90 90 180

Mà HMA;HNA  ở vị trí đối nhau

Suy ra: Tứ giác MANH nội tiếp đtron

Xác định tâm của đường tròn

MANH là hcn và O là giao điểm hai đường chéo => O là tâm của đtron ngoại tiếp tứ giác MANH

( cách khác:HS chứng minh MANH là hcn => tứ giác MANH nội tiếp đtron )

b) BCNM là tứ giác nội tiếp (Hướng dẫn: Chứng minh góc ngoài bằng góc đối trong

AMO ACB  )

Ta có : H 1B ( cùng phụ góc C )

Mà H H 1 2 900 =>  

2 3

H H (d0  

1

H B)

Mặt khác

   

2 1 1

2 ( do tứ giác AMHN nội tiếp )

Và C H  3 ( đồng vị)

Suy ra: M 1C

Vậy: Tứ giác AMHN nội tiếp ( góc ngoài bằng góc đối trong )

c) HOKI là tứ giác nội tiếp (Hướng dẫn: Ta có OHI 90  0 nên ta chỉ cần chứng minh

OKI 90  )

Nhận thấy AHC 90  0 ta sẽ chứng minh OKI 90   0 => HOKI nôi tiếp ( tổng 2 góc đối nhau )

Chứng minh: OKI 90  0( nghĩa là chứng minh A 1N 1 900)

 

1

N B ( do tứ giác BMNC nội tiếp )

 

1

=> N 1A 1 B C 90   0

=> OKI 90  0

Xét tứ giác HOKI ta có:

   0 0  0

OKI OHI 90 90 180

Mà OKI; OHI  đối nhau

Suy ra: tứ giác HOKI nội tiếp đtron

Bài 3: (Đề tuyển sinh 10 2017 – 2018)

Cho tam giác ABC nhọn, có BC = 8cm Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh: AH ⊥ BC

b) Gọi K là trung điểm của AH Chứng minh rằng: Tứ giác OEKD nội tiếp

HD:

a) Chứng minh: AH ⊥ BC

Xét (O):

 90 0

BDC  ( góc nt chắn nữa đtron, đkinh BC)

=>BD ⊥ AC ( hay BD là đcao thứ nhất của tam giác ABC) (1)

 90 0

BEC  ( góc nt chắn nữa đtron, đkinh BC)

=>EC ⊥ AB ( hay EC là đcao thứ hai của tam giác ABC) (2)

Mà H là giao điểm BD và EC

Từ (1), (2)=> H là trực tâm của tam giác ABC

=> AH là đcao thứ 3 của tam giác ABC

=> AH ⊥ BC

b) Chứng minh rằng: Tứ giác OEKD nội tiếp

+ AEK ta có: EKH KEA EAK  2.EAK ( góc ngoài của tam giác )

+AKD ta có: DKH KDA DAK   2.DAK ( góc ngoài của tam giác )

=> EKH DKH   2.EAK  2.DAK  2.DAE

 2 

EKD DAE

Mặt khác: EOD 2.ECD

Mà EAC ECA  900

=> EKD EOD  1800 mà EKD EOD; hai vị trí đối nhau

Suy ra: Tứ giác OEKD nội tiếp

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) tại M, N, P Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CEHD nội tiếp

b) Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

d) H và M đối xứng nhau qua BC

c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

b) Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một

đường tròn

( tứ giác BCEF có 2 điểnh kề cùng nhìn 1

cạnh với một góc bằng nhau) a) Tứ giác CEHD nội tiếp

( tổng 2 góc đối diện bằng 180 độ)

Chứng minh: AE.AC = AH.AD

Chứng minh: AEH đồng dạng  ADH ( g- g)

=> AH AE AH AD AE AC .

AC AD   ( đpcm)

( ghi chú: đây là hệ thức thường hay gặp trong Ts10 Tương tự :

Chứng minh: + AF.AB= AH.AD

+ BD.BC=BH.BE

+ BF.BA= BH BE…)

Chứng minh: AD.BC = BE.AC

( nhắc lại: diện tích tam giác = ½ đường cao x cạnh dáy )

ABC

AD BC BE AC

d) H và M đối xứng nhau qua BC

HD: Chứng minh BD là tia phân giác của góc HBM

***NHỮNG BÀI TOÁN MẪU CƠ BẢN HÌNH HỌC 9 THƯỜNG GẶP

TRONG HK2 VÀ TS 10***

Bài 1 Phương tích 1: “Tích cát tuyến bằng tích cát tuyến”.

HDG: DABE DADC (g.g)

Đề: ABC và ADE là hai cát tuyến của (O)

Chứng minh AB AC. =AD AE.

.

AB AC AD AE

Bài 2 Phương tích 2: “Bình phương tiếp tuyến bằng tích cát tuyến”.

HDG: Chứng minh DABD DADC (g.g)

1

BCD =D (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

µA là góc chung.

ABD

D DADC

(g.g)

AD AB AC

Lưu ý: AD2=OA2- OD2=OA2- R2 và AB AC =OA2- R2=AD2

Bài 3 Phương tích 3: “Tích dây bằng tích dây”.

HDG: DACE DADB (g.g)

AC AB AD AE

Bài 4 “Tích bằng tích xuất phát từ chân đường cao đến 3 đỉnh của tam giác và trực tâm”.

Đề: ABC là cát tuyến của (O), AD là tiếp tuyến

của (O) Chứng minh AD2=AB AC.

Đề: BC, DE là hai dây của ( )O cắt nhau tại A

Chứng minh AB AC. =AD AE.

Đề: : DABC nhọn, AD, BE, CF là các đường cao cắt nhau tại H Chứng minh DB DC. =DH DA.

HDG: DDBH DDAC (g.g)

DB DH DB DC DA DH

Tương tự: * Xuất phát từ chân đường cao E:

EA EC =EH EB

* Xuất phát từ chân đường cao F:

FA FB =FH FC

Bài 5 “6 tứ giác nội tiếp trong tam giác nhọn”.

HDG

a) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp

· · 90 0

AEH =AFH = (BE, CF là 2 đường cao)

AEH AFH

⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp

* Xác định tâm"

·AEH

Þ là góc nội tiếp và AEH =· 90 °

⇒ AH là đường kính Tâm đường tròn này là trung điểm của AH

b) Chứng minh tứ giác BCFE nội tiếp

Đề: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H

a) Chứng minh AEHF là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tứ giác BCFE nội tiếp

· · 90 0

BEC =BFC =

⇒ BC là đường kính Tâm đường tròn này là trung điểm của

BC

1) Tứ giác loại 1:

- BDHF nội tiếp Tâm là trung điểm của BH.

- CDHE nội tiếp Tâm là trung điểm của CH.

2) Tứ giác loại 2:

- ABDE nội tiếp Tâm là trung điểm của AB.

- ACDF nội tiếp Tâm là trung điểm của AC.

Bài 6 “Trực tâm tam giác nhọn là tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 chân đường cao”

HDG:

Tứ giác BCEF nội tiếp

1 1

Þ = ( hai góc nội tiếp cùng chắn EC¼ )

Tức giác BDHF nội tiếp

Þ = (hai góc nội tiếp cùng chắn HD¼ )

1 2

FH

Þ là đường phân giác của ·DFE

Tương tự DH là phân giác của ·EDF

Vậy H là giao điểm các đường phân giác trong

DEF

D nên H là tâm đường tròn nội tiếp

DEF

Bài 7 Đường tròn Euler: “3 chân đường cao và trung điểm của cạnh tam giác cùng thuộc một đường tròn”

Đề: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H

Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp D DEF

Từ bài tập 6 ta có EF· D = 2B¶1

Tam giác OBE cân tại O có EOC· = 2B¶1(góc ngoài tam

giác)

· ·EF

EFD+EOD=EOD+EOC = 180 °

Vậy tứ giác FEOD nội tiếp hay 4 điểm E, F, D, O cùng

thuộc một đường tròn

Bài 8 “2 đỉnh của tam giác, điểm đối xứng với đỉnh còn lại qua tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tạo thành hình bình hành”

HDG

Chỉ ra BE/ /KC Þ BH K C/ /

Chỉ ra CF/ /KB Þ CH/ / K B

Từ đó suy ra BHCK là hình bình hành

Mở rộng: Gọi M là trung điểm BC CMR:

a) M, H, K thẳng hàng Suy ra M là trung điểm HK

b) OM là đường trung bình của AHK Suy ra AH = 2OM

c) Nếu O đối xứng với O qua BC thì AHOO là hbh  OH=OA=R

ĐB: Khi BC R 3 A 60     0 thì AHOO là hình thoi

Bài 9 “Giao điểm của đường cao với đường tròn đối xứng với trực tâm qua một cạnh của tam giác”

HDG

Đề: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H O là trung

điểm của BC Chứng minh F, E, O, D cùng thuộc một đường tròn

Đề: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H Vẽ đường kính AK

Chứng minh rằng BHCK là hình bình hành

Đề: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; là ba đường cao cắt nhau tại H AH cắt ( )O tại D'

Chứng minh D' và H đối xứng nhau qua BC

¶ µ

1 1

B =A (cùng phụ với ·ACB )

2 1

B =A (cùng chắn D C¼' )

BD vừa là đường cao, vừa là tia phân giác trong tam

giác BHD tại đỉnh B nên DBHD' là tam giác cân và

BD là đường trung trực của HD'

Vậy D' và H đối xứng nhau qua BC

Mở rộng:

'

F đối xứng với H qua F

'

E đối xứng với H qua E

EF là đường trung bình của DHF E' '

Bài 10 “Bài toán liên quan đến trung điểm đường cao”

HDG

C1: IH DB/ /

2

DB = AB = R

Chỉ ra OD AC/ / (cùng vuông góc với BC)

( )

CHA DBO gg

Þ D # D

Từ đó suy ra

1 2

IH = CH

C2: Kéo dài AC cắt BD tại E.

Chỉ ra DE =DB =DC

Talet chỉ ra

AI IH IC

AD =BD =DE

Từ đó suy ra CI =IH

Đề: Cho (O; R) đường kính A B, tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại D; kẻ

CH ^AB Chứng minh AD đi qua trung điểm I của CH

Chú ý: 1) I là trung điểm của CH CMR: 3 điểm A, I, D thẳng hàng

2) AI cắt tiếp tuyến tại B ở D CMR: DC là tiếp tuyến của (O)

Bài 11 “Đường tròn qua 5 điểm”

HDG

OF ^DE (quan hệ giữa đường kính và dây)

· 90 o

OFA

Mà OBA =· 90o và OCA =· 90o

Suy ra F, B, C, cùng thuộc đường tròn đường kính

OA

Vậy A, B, O, C, F cùng thuộc đường tròn

Chú ý: 1) FA là tia phân giác của ·BFC

2) hai tia OF, BC cắt nhau tại I

CMR: IE, ID là hai tiếp tuyến của (O)

3) Tiếp tuyến tại E và D cắt nhau tại I

CMR: 3 điểm O, F, I thẳng hàng

Bài 12 “Bán kính vuông góc với đoạn nối hai chân đường cao”

HDG

Vẽ xy là tiếp tuyến tại A của (O)

Đề: AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A ADE là cát tuyến F là trung

điểm dây DE CMR: A, B, O, C, F  đường tròn

Đề: Cho DABC nhọn nội tiếp ( )O ; AD BE CF; ; là ba đường cao Chứng minh

OA^EF

µ ·

1

Þ = (cùng chắn AC¼ )

· ·

AEF =ABC (BCEF nội tiếp)

µ ·

1

A AEF

Þ = mà hai góc này ở vị trí so le trong

AKC A

AKC =ABC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn AC¼ )

·

1

ˆ

ABC =E (BCEF nội tiếp)

AKC AEF

· ¶

AEF +A = ° Gọi M là giao điểm của OA và EF Þ DAME vuông tại M

Chú ý: OB ^DF và OC ^DE

Bài 13 “Bình phương khoảng cách đến cạnh đáy bằng tích 2 khoảng cách đến cạnh bên”.

HDG

HMI +HBI = (MIBH nội tiếp)

KMI +KCI = (MICK nội tiếp)

Mà HBI· =KCI· (DABC cân tại A)

· · ( )1

HMI KMI

µ ¶

I =B (MIBH nội tiếp)

K =C (MICK nội tiếp)

Đề: AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A M Î BC¼ nhỏ Gọi H, I, K là hình chiếu

của M trên AB, BC, CA Cm: MI2 =MH MK.