NỘI DUNG BÀI HỌC MÔN TOÁN 9 - TUẦN 29

Sữa bài tập tứ giác nội tiếp_tuần 28.. Bài 2.[r]

Toán 9_ tuần 29

A Phần Đại số

Luyện tập Nhắc lại kiến thức

Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 – 3x – 7 = 0 Không cần giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) S = x1 + x2 b) P = x1 x2 c) L = x12 + x22

d) C = x13 + x23 e) D = x14 + x24 f) E = (3x1 + x2) (3x2 + x1)

HD:

2

(a 1; b 3; c 7 )

a) 1 2

b

a

c

a

c) L x 12x22 x1x22 2x x1 2

2

2

S 2.P

3 2.( 7) 23



d) C x 13x32 x1x23 3x x x1 2 1x2

Nhóm toán 9

Hệ thức Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1 2

b

S x x

a c

P x x

a





  







3

3 3.( 7).3 90



Cách khác:

3 x x x x

3 23 ( 7) 90



e) Gợi ý: 4 4  2 22 2 2

C x x  x x  2.x x

D 3x x 3x x 10x x 3 x x

Bài 2: Cho phương trình x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m

b) Tìm m thỏa:

1 2

2 1

5

x  x  .

HD:

x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 (1) a=1; b= - 2m; c = – m2 – 1 a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m

4  >0 ( luôn đúng)

=> phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m

b) Tìm m thỏa:

1 2

2 1

5

x  x  .

Xét

1 2

2 1

5

x  x 

1 2

2

1 2

5

x x

5

x x



Áp dụng hệ thức Vi-ét: x1x2 2m; x x1 2 m2 Khi đó, 1

2

5



2

Vậy: m 3 là giá trị cần tìm

Bài tập tự luyện

Bài tập 1: (TS10_2018) Cho pt: 3x2 x 1 0  có 2 nghiệm x , x không giải phương trình hãy 1 2

tính giá trị biểu thức A x 12x22

Bài tập 2: ( TS10_2019) Cho pt: 2x2 3x 1 0  có 2 nghiệm x , x không giải phương trình hãy 1 2

tính giá trị biểu thức

A

Bài tập 3: Cho phương trình x2 + (m + 2)x + m + 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm ∀m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x12 + x22 – 3x1 x2 = 1

Bài tập 4: Cho phương trình 32 – 2(m + 1)x + 2m + 5 = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa x1 + x2 = 9(x1 + x2)

(Phần nâng cao)

Bài tập 5*:

Nhóm toán 9

HD câu a: Kết hợp S, P và x 1

= 3x để lập hệ

Cho phương trình x2 + 5x + m = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa x1 = 3x2

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa x1 = x2 + 1

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa 9x1 + 2x2 = 8

Bài tập 6*: Cho phương trình x2 – mx – 1 = 0

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm giá trị của biểu thức:

M

Bài tập 7*: Xác định m để phương trình x2 – 2(m – 2)x + (m + 4) = 0 có hai nghiệm trái dấu

BÀI 6 PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

I KIẾN THỨC:

1 Phương trình trùng phương:

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a) x 4 – 13x 2 + 36 = 0 (1)

Đặt x2 t (t 0)

Pt (1) trở thành t2 13t 36 0  (2)

a 1;b 13;c 36

25 0

Hướng dẫn câu a: Xét a.c = P < 0

Phương pháp giải:

Đặt x 2 = t (t ≥ 0).

Ta được phương trình bậc 2: at 2 + bt + c = 0

=> pt (2) có 2 nghiệm phân biệt t14(n); t2 9 (n)

+ Với t1 khi đó 4 x2  4 x2

+ Với t2  khi đó 9 x2  9 x3

Vậy: pt (1) có nghiệm là: x 2; x 3

b) 4x 4 + x 2 – 5 = 0

HS tự làm

Đs: x1

c) 3x 4 + 4x 2 + 1 = 0 (3)

Đặt x2 t (t 0)

Pt (3) trở thành 3t24t 1 0  (4)

Xét: a –b +c =3- 4 +1 =0

=> pt (4) có nghiệm t1 =-1 và nghiệm còn lại 2

t

Do t 0 nên 1 2

1

t 1, t

3

(loại) Suy ra: pt (3) vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 3(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 1 = 0

HD:

Đặt x2x t , khi đó pt trên trở thành: 3t2 2t 1 0  Giải pt:3t2 2t 1 0  ta được 2 nghiệm: 1 2

1

t 1; t

3

1

  khi đó

t

3



khi đó

3



(vô nghiệm) Vậy: phương trình đã cho có nghiệm là :

Nhóm toán 9

2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

3



 

HD:

Điều kiện: x 5; x 2 

2

3



 



279 0

  

=> pt có 2 nghiệm phân biệt : 1 2

1

x 4; x

4



( nhận) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 1 2

1

x 4; x

4



Phương pháp giải:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (ĐKXĐ)

- Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu

- Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

- Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn

+ Loại các giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ

+ Các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho.

3 Phương trình tích:

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

(3x2 – 5x + 2)(x2 – 4) = 0

HD:

2

2

 



Giải pt : 3x2 5x 2 0  ta được 2 nghiệm

2

3

Giải pt: x2 4 0  x2

Vậy: phương trình đã cho có nghiệm là:

2

3

;x 2

II Bài tập

Bài tập 1 Giải các phương trình sau:

a) x4 – 36 = 5x2 (Đề thi HK2_2016 – 2017)

b) – x4 + 5x2 + 36 = 0 (Đề thi HK2_2015 – 2016).

c) 3x4 – 10x2 – 8 = 0 (Đề thi HK2_2014 – 2015)

d) x4 – 4x2 – 5 = 0 (Đề thi HK2_2013 – 2014)

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

Nhóm toán 9

Phương pháp giải: Phân tích thành dạng:

A(x).B(x) … D(x) = 0 ⟺

A(x) 0 B(x) 0

D(x) 0















a)

2

x 2 x 2   x  4 ; b) 4 2

18 2 4

x 1 x 2 6

x 2 x 1 x x 2

Bài tập 3 Giải các phương trình sau (Đặt ẩn phụ):

a) (4x – 5)2 – 6(4x – 5) + 8 = 0 b) (x2 – 2x + 1)2 + 2(x2 – 2x + 1) – 8 = 0

c) (2x2 + x – 2)2 + 20x2 + 5x – 16 = 0 d) (x2 – 3x + 4) (x2 – 3x + 2) = 3

Bài tập 4*.( nâng cao) Giải các phương trình sau:

c)



2

Bài tập 5* (nâng cao) Cho phương trình: x4 + 2(m – 2)x2 + m2 = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = –3

b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

B Phần Hình học

Luyện tập Sữa bài tập tứ giác nội tiếp_tuần 28

Bài 2 Từ một điểm nằm ngoài đường tròn ( O) vẽ cát tuyến MAB không qua tâm O và các tiếp

tuyến MC, MD tới (O) ( trong đó A, B, C, D thuộc ( O) ) Gọi I là trung điểm của AB CMR: 5

điểm M, C, I, O, D cùng nằm trên đường tròn

Gợi ý: 5 điểm M, C, I, O, D cùng nằm trên đường tròn ta chứng minh 2 tứ giác MCOD, MDOI nội tiếp

+ Chứng minh: Tứ giác MCOD nội tiếp

Xét tứ giác MCOD:

 900

=> MDO MCO  900900 1800

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác MCOD nội tiếp đtron, đường kính MO ( dấu hiệu nhận biết)

=> M,C, O, D thuộc đường tròn, đkinh MO (1)

+ Chứng minh: tứ giác MDOI nội tiếp

Xét (O), ta có : I là trung điểm của AB, AB là dây cung

=> OI AB tại I ( liên hệ đường kính và dây cung)

=> MIO  900

Xét tứ giác MDOI :

  900 900 1800

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Suy ra, tứ giác MDOI nội tiếp đtron, đkinh MO

=> M, D, O, I thuộc đtron, đkinh MO (2)

Từ 1 và 2 suy ra: M, C, I,O, D thuộc đtron

Nhóm toán 9

Bài 3 Cho ABCvuông tại A, M là điểm nằm giữa A và C Đường thẳng BM cắt đường tròn đường

kính MC tại điểm D CMR: tứ giác ABCD nội tiếp.

Bài 4 Cho ABC nhọn, đtròn đkính BC cắt AB , AC lần lượt tại F và E BE cắt CF tại H

CMR: tứ giác AFHE nội tiếp.

Bài 5 Cho ABC nhọn nt đtròn (O) đkính AK Các đường cao BE và CF của ABC cắt nhau tại H

đường thẳng KH cắt (O) tại M ( M khác K) CMR: 5 điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một

đường tròn

Giải

Xét tứ giác BADC :

 90 ( )0

đtron (O)

=> BDC  BAC 900

Mà D, A là 2 đỉnh kề của tứ giác cùng nhìn cạnh BC

với 1 góc bằng nhau Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp ( dấu hiệu nhận biết)

Gợi ý:

 90 ,0  900

BFC BEC là góc nội tiếp chắn nữa

dtron, đkinh BC

=> tứ giác AFHE nội tiếp ( dấu hiệu nhận biết tổng 2 góc đối nhau bằng 180 độ )

Bài 6 Từ một điểm M nằm ngoài (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB tới (O) ( A, B thuộc (O) ) Vẽ

đkính BC của (O) MC cắt (O) tại N ( N khác C) Gọi giao điểm của OM với AB là H

CMR: tứ giác BHNM nội tiếp

Chứng minh:

Xét đtron (O):

+ MA=MB ( MB,MD là 2 tt cắt nhau tại M)

+ OA=OB= bán kính

=> MO là đường trung trực của AB

=> MO  AB hay BHM  900

Mặt khác: BNC 900 ( góc BNC là góc nt chắn nữa đtron, đkinh BC)

Xét tứ giác MNHB:

Ta có: BHM 900(cmt)

 900

=> BNC   BHM 900

Mà N, H là 2 đỉnh kề của tứ giác MNHB cùng nhìn MB với 1 góc bằng nhau

Vậy: tứ giác MNHB nội tiếp đường tròn ( dấu hiệu nhận biết)

Nhóm toán 9

Gợi ý:

+ Chứng minh:Tứ giác AFHE nt ( dấu hiệu

tổng 2 góc đối nhau bằng 180 độ )

=> A, F,H, E thuộc đtron , đkinh AH (1)

+ chứng minh: tứ giác AMHE nt ( dấu hiệu

tổng 2 góc đối nhau bằng 180 độ )

=> A, M, H,E thuộc đtron, đkinh AH (2)

Từ 1 va 2 => 5 điểm A, M, F, H, E cùng nằm

trên một đường tròn

Bài 7 Cho nữa đtròn ( O) đkính AB C là điểm chính giữa cung AB M là điểm nằm trên cung nhỏ

BC ( M khác B và C ) Vẽ CI vuông góc AM tại I CMR: tứ giác AOIC nội tiếp.

Chứng minh:

Xét nữa đtron (O):

Ta có C là điểm chính giữa cung AB => OC vuông góc AB tại O

=> COA  900

Xét tứ giác AOIC:

 900

 900

=>COA  CIA  900

Mà O, I là 2 đỉnh kề của tứ giác AOIC cùng nhìn cạnh AC với 1 góc bằng nhau

Suy ra: tứ giác AOIC nội tiếp

Bài 8 Cho ABCnhọn nt (O) Gọi M, N là các điểm chính giữa các cung nhỏ AB và AC OM cắt

AB tại I, ON cắt AC tại K CMR: tứ giác AIOK nội tiếp.

Chứng minh:

Xét đtron (O):

M là điểm chính giữa cung nhỏ AB=> cung BM= cung MA => BOM MOA => OM là tia phân giác

BOA

Mà BOA cân tại O

Suy ra: OMAB tại I

Chứng minh tương tự: ONAC tại K

Xét tứ giác AIOK:

 900

=> AIO AKO 900900 1800

Mà AIO AKO ở vị trí đối nhau.,

Suy ra: tứ giác AIOK nội tiếp

Bài 9 Cho ABC nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi I, K lần lượt là trung điểm

của BC và AH CMR: Góc IEK vuông và 5 điểm E,K,F,D, I thuộc đường tròn.

Chứng minh

Góc IEK vuông

+ AKEcân tai K có: KAE AEK

+ EICcân tai I có: ICE IEC 

=> AEK CED 900

=> KED 900

5 điểm E,K,F,D, I thuộc đường tròn

+ Chứng minh: tứ giác EKDI nội tiếp ( tổng 2 góc đối nhau bằng 180 độ)

=> E,K,D,I thuộc đường tròn (1)

+ Chứng minh: EKFI nội tiếp ( tổng 2 góc đối nhau bằng 180 độ)

=> E, K,D, I thuộc đường tròn (2)

Từ 1 và 2 suy ra: 5 điểm E,K,F,D, I thuộc đường tròn.

Nhóm toán 9