ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành.. tạo nên một khối tròn xoay[r]

1

Bài 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) : y  f(x), trục hoành (y 0), hai đường thẳng xa x, b là

b a

S  f (x dx

Bước 1 Lập công thức tính diện tích

Bước 2 Lập bảng xét dấu f(x) trên đoạn [a; b]

Chú ý: Nếu có đồ thị (C) thì ta dựa vào đồ thị mà không cần lập bảng xét dấu

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a f(x) dx

VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C):y x 1, x 0, x 1, Ox

x 1



Giải:

Diện tích hình phẳng là 1

0

1 1

x

x







Do trên 0;1 , 1 0

1

x x





0

1 (2 ln 1 ) 2 ln 2 1.

x

VD2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = 1, x = e, Ox, ( C) : y ln x

2 x

Giải:

Diện tích hình phẳng là

1

ln 2

e x

x

 













 



( ) ( )

y f x

y 0 H

x a

x b

a c 1 c2

 ( )

y f x

y

( )

b

a

S f x dx

2

Trên 1; e , ln 0

2

x

x  nên

1

ln 2

e x

x

Đặt

1 ln

1

2

x

x









1

1

x

VD3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = -1, Ox, Oy, ( C): 3

yx 3x 2 có

đồ thị như hình vẽ

Giải:

Diện tích hình phẳng là

0 3 1



Dựa vào đồ thị ta có:  

3 1

0

1







Chú ý: Nếu bài toán cho thiếu đường xa hoặc đường xb thì ta giải phương trình:

f x  để tìm

VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C) : y 3x 1

x 1

 



 và hai trục tọa độ

Giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành : 3 1 0 1 1

x

x

1

3

4

1 4

3

Bài toán 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên a; b Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x), xa x, b là:

b

a

S f (x)g(x) dx

Bước 1 Giải phương trình f(x)  g(x) tìm nghiệm thuộc khoảng (a;b) (nếu có)

Bước 2 Lập bảng xét dấu f(x)  g(x) trên đoạn  a; b 

 

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b a

f (x)g(x) dx

Chú ý:

1) Nếu trong đoạn a; b  phương trình f(x)g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có

thể dùng công thức

f(x)g(x) dx  f(x)g(x) dx

2) Nếu bài toán không cho hoặc cho thiếu đường xa x, b thì ta tìm bằng cách giải phương trình f(x)  g(x)

VD1:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x 3  11x  6, y  6x 2, x  0, x  2

Hướng dẫn giải:

Diện tích hình phẳng là: 2 3 2

S  x  x  x dx

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:

1

3

x

x









 



5

2

S  x  x  x dx  x  x  x dx   x  x  x dx 

1

(C )

2

(C )

a c 1

y

4

VD2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 –x + 3 và y = 2x + 1

Hướng dẫn giải:

Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là nghiệm hệ phương trình

2

x

x







Diện tích hình phẳng là 2 2 2 2

1

6

S  x  x dx  x  x 

BÀI TẬP:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

4) và trục hoành

5) trục Ox và

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi , tiếp tuyến của (P) tại

và trục tung

 3 2

 4  2

 2

y x 2 y 3x

y 4x x





y ln x y 1

 3 2

y x 3x 4 2x y 4 0  

 4 2 

y x 2x 2 y 2 0







2 x

y

2x 1 x y 2 0  



2 x 

y x(x 1)(x 2)

 2  (P) : y x 2x 2

M 3;5

5

II TÍNH THỂ TÍCH

1 Thể tích vật thể

Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại

của phần vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức:

VD1: Tính thể tích vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x 1, x1 biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc  1;1 là một hình vuông

2 1 x

Hướng dẫn giải:

Diện tích thiết diện:    2

2

S x  2 1  x

Thể tích vật thể là 1  22 1 2

16

3

VD2: Tính thể tích vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x = 0, x =  biết thiết diện của vật thể bị cắt

bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc [0, ] là một tam giác đều cạnh 2 sin x

Hướng dẫn giải:

Diện tích thiết diện:    2 3

S x 2 sin x 3.sin x

4

Thể tích vật thể :

0

V 3.sin xdx 3 cos x 2 3

0

,

 

 

b

a

V  S x dx

6

2 Thể tích của khối tròn xoay

Bài toán 1: Cho hàm số liên tục, không âm trên Hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V của nó được tính theo công thức:

VD1: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = tanx, x = 0, x , y 0

3



  Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi cho D quay quanh Ox

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối tròn xoay là

2

1

x



Bài toán 2: Cho các hàm số y  f x , y   g x  liên tục và f x g x      0, x a; b Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x), x  a và x  b

quay quanh trục Ox là

b

a

V   f (x)  g (x) dx

VD: Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2,

2

y  x quay quanh Ox

Hướng dẫn giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đề bài cho: 4  3 

x xx x    x  x

Thể tích khối tròn xoay là: 1 4 1 4

3

10

BÀI TẬP

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

 

 

 

2

b

a

V π f x dx















 2

b

x a

a

y

7

4) ; trục hoành và

Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh trục Ox Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên

y 2x x y0

 3 2

y x 3x 4 y 0

  2

y x 4x yx 2







x 3

y



y ln x y0 x2



x 2

y sin x y 0,x 0,x   



y sin x cosx y0,x0,x

2

3

2

x

3