Cho hàm số fx liên tục trên đoạn [a;b].. Dạng tích phân..[r]
Trang 1Chương III
Trang 3Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Giả sử hàm số x=(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [;] sao cho:()=a; ()=b và a≤(t)≤a, với t thuộc [;]
b
a
f x dx f t t dt
0
a
a x dx
Dạng tích phân Đặt Điều kiện
sin
x a t
2 2
0
a
dx
x a
;
2 2
t
2
0
a
dx
a x
tan
x a t t 2 2;
Trang 42 2 0
a
a x dx
sin
x a t
0
a
dx
;
2 2
t
2
0
a
dx
tan
x a t t 2 2;
Ví dụ 1 Tính các tích phân:
2
2 0
1) 4 x dx
1 2
2 0
2)
1
dx x
1
2 0
3)
1
dx
x
Hướng dẫn:
2sin
Đặt: Đặt: x sin t Đặt: x tan t
Trang 5Ví dụ 2 Tính các tích phân:
1
2 2
0
1)
4
xdx
x
2
2 0
sin 2)
1 cos
xdx x
1
3)
x
Hướng dẫn:
Đặt: t x 2 4 Đặt: t 1 cos x Đặt: t ln x 1
Giải câu 2.1
1
2 2
0
4
xdx
x
2 4
t x
2
2
Đổi cận:
t
x
5
0 4
1
5
2
4
x
Trang 6Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:
b a
udv uv vdu
Bài toán Tính: ( ) ( )
b
a
P x Q x dx
Dạng 1 Dạng 2
Nếu P(x) là hàm đa thức theo biến x Nếu P(x) là hàm đa thức theo biến x Q(x) là một trong các hàm số:
; ; ; ; ; ; …
Q(x) là một trong các hàm số:
; ; …
Thay vào công thức (1)
x
cos x sin ax cos ax ln x
Trang 7Dạng 1 Dạng 2
Nếu P(x) là hàm đa thức theo biến x Nếu P(x) là hàm đa thức theo biến x Q(x) là một trong các hàm số:
; ; ; ; ; ; …
Q(x) là một trong các hàm số:
; ; …
Thay vào công thức (1)
x
cos x sin ax cos ax ln x
Ví dụ 3 Tính các tích phân:
1
0
1) xe dx x
2 0
2) xsin xdx
1
e
x xdx
Hướng dẫn:
x
v
dv e dx
ln
Trang 8Giải câu 3.1
1
0
I xe dx
1 0
I xe dx xe e dx
1 1
0 0 1 0.1 1 1
Giải câu 3.1
Đặt:
2
ln
1 2
dx du
dv xdx
2
1
e
J x xdx x x xdx
1 1
1
ln
e
J x xdx