ĐỀ_HD TOÁN 2010 SỐ 40

Biết MN cắt BC tại T.. Chứng minh rằng tam giỏc AMN vuụng và AT tiếp xỳc với mặt cầu đường kớnh AB.. Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A4;5;6.. Biết D và D’ là hai đường

ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009-2010

http://ductam_tp.violet.vn/

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: ( 7 điểm)

Cõu 1: ( 2điểm)

Cho hàm số y = 4x 3 + mx 2 – 3x

1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.

2 Tỡm m để hàm số cú hai cực trị tại x 1 và x 2 thỏa x 1 = - 4x 2

Cõu 2: (2điểm)

1 Giải hệ phương trỡnh: 2 0

1 4 1 2

x y xy







2.Giải các phơng trình sau:

4sin 2 6sin 3cos 2 9

0 cos

x

Cõu 3: (2điểm)

1 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa:

a ab b +b bc c +c ca a =

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c

2 Tớnh tớch phõn A =

2

ln ln ex

e

e

dx

x x

∫

Cõu 4: (1 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), tam giỏc ABC

vuụng tại C ; M,N là hỡnh chiếu của A trờn SB, SC Biết MN cắt BC tại T Chứng minh rằng

tam giỏc AMN vuụng và AT tiếp xỳc với mặt cầu đường kớnh AB.

B PHẦN TỰ CHỌN: Thớ sinh chỉ chọn cõu 5a hoặc 5b

Cõu 5a: Theo chương trỡnh chuẩn: ( 3 điểm)

1.Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A( 2; 2) và hai đờng thẳng

( )d1 :x+y−2=0; ( )d2 :x+ y−8=0 Tìm B, C tơng ứng trên (d1) và (d2) sao cho ABC là tam giác vuông cân tại A

2 Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6) Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) qua A; cắt cỏc trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tõm của tam giỏc IJK

3 Biết (D) và (D’) là hai đường thẳng song song Lấy trờn (D) 5 điểm và trờn (D’) n điểm và nối cỏc điểm ta được cỏc tam giỏc Tỡm n để số tam giỏc lập được bằng 45

Cõu 5b: Theo chương trỡnh nõng cao: ( 3 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 3y – 4 = 0 và đường trũn (C): x2 + y2 – 4y = 0 Tỡm M thuộc (D) và N thuộc (C) sao cho chỳng đối xứng qua A(3;1)

2 Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh cỏc đường thẳng AB và CD chộo nhau Viết phương trỡnh đường thẳng (D) vuụng gúc với mặt phẳng Oxy và cắt được cỏc đường thẳngAB; CD

3 Tỡm m để bất phương trỡnh: 52x – 5x+1 – 2m5x + m2 + 5m > 0 thỏa với mọi số thực x.

- Hết -BÀI GIẢI TểM TẮT

A.PHẦN CHUNG:

Cõu 1:

1 m = 0 , y = 4x3 – 3x

- TXĐ: D = R

- Giới hạn: limx→+∞y= +∞, xlim→−∞y= −∞

- y’ = 12x2 – 3 ; y’ = 0 ⇔ x = 1

2

± Bảng biến thiờn:

- y’’ = 24x , y” = ⇔ x = 0 , đồ thị có điểm uốn O(0;0)

- Đồ thị:

2 TXĐ: D = R

- y’ = 12x2 + 2mx – 3

Ta có: ∆’ = m2 + 36 > 0 với mọi m, vậy luôn có cực trị

Ta có:

1 2

4

6 1 4

m

x x

x x



 = −

 + = −





 = −



9

2

m

⇒ = ±

Câu 2:

1 4 1 2 (2)

x y xy





 Điều kiện:

1 1 4

x y

≥





 ≥



Từ (1) x x 2 0

y y

⇒ − − = ⇒ x = 4y

Nghiệm của hệ (2;1

2)

2 cosx = 8sin3

6

x π

 + 

  ⇔cosx = ( )3

3 sinx+cosx ⇔ 3 3 sin3x+9sin2xcosx +3 3 sinxcos2x c+ os3x c− osx = 0 (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) ⇔ 3 2

3 3 tan x+8 t an x + 3 3 t anx = 0 ⇔t anx = 0⇔x = kπ

Câu 3:

1.Theo định lý ba đường vuông góc

BC ⊥ (SAC) ⇒ AN ⊥ BC

và AN ⊥ SC ⇒AN ⊥ (SBC) ⇒ AN ⊥ MN

Ta có: SA2 = SM.SB = SN.SC Vây ∆MSN ∼ ∆CSB

⇒ TM là đường cao của tam giác STB

⇒ BN là đường cao của tam giác STB

Theo định lý ba đường vuông góc, ta có AB ⊥ ST

⇒AB ⊥ (SAT) hay AB⊥ AT (đpcm)

2

(ln )

ln (1 ln ) ln (1 ln )

A

2

(ln )

ln 1 ln

e

e

d x

∫

=

ln(ln )x e ln(1 ln )x e

e − + e = 2ln2 – ln3

Câu 4:

1 +) BAuuur=(4;5;5), CDuuur=(3; 2;0)− , CAuuur=(4;3;6)

uuur uuurBA CD,  = (10;15; 23)− ⇒ BA CD CAuuur uuur uuur,  ≠0⇒ đpcm

+ Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) ⊥ (Oxy) ⇒ có VTPT n1 = BA k, 

ur uuur r

= (5;- 4; 0) ⇒ (P): 5x – 4y = 0

+ (Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ⊥ (Oxy) có VTPT n1 = CD k, 

ur uuur r

= (-2;- 3; 0) ⇒ (Q): 2x + 3y – 6 = 0

Ta có (D) = (P)∩(Q) ⇒ Phương trình của (D)

2 Ta có:

3

2 3

a ab b

−

≥

⇔ 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2) ⇔ a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ 0

⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0 (h/n)

Tương tự:

3

2 3

b bc c

−

≥ + + (2) ,

3

2 3

c ac a

−

≥

Cộng vế theo vế của ba bđt (1), (2) và (3) ta được:

a ab b b bc c c ca a

+ +

Vậy: S ≤ 3 ⇒ maxS = 3 khi a = b = c = 1

B PHẦN TỰ CHỌN:

Câu 5a: Theo chương trình chuẩn

1 Ta có I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ( ) :P x y z 1

a b c

Ta có (4 ;5;6), (4;5 ;6)

(0; ; ), ( ;0; )

JK b c IK a c

Ta có:

4 5 6

1

5 6 0

4 6 0

a b c

b c

a c

 + + =



− + =



− + =





⇒

77 4 77 5 77 6

a b c

 =





 =





 =



⇒ ptmp(P)

2.Ta có: n 2 2

C + C = 45 ⇒ n2 + 3n – 18 = 0 ⇒ n = 3

Câu 5b:

1.M ∈ (D) ⇒ M(3b+4;b) ⇒ N(2 – 3b;2 – b)

N ∈ (C) ⇒ (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 ⇒ b = 0;b = 6/5

Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) , M’(38/5;6/5) và N’(-8/5; 4/5)

2 Đặt X = 5x ⇒ X > 0

Bất phương trình đã cho trở thành: X2 + (5 + 2m)X + m2 + 5m > 0 (*)

Bpt đã cho có nghiệm với mọi x khi và chỉ khi (*) có nghiệm với mọi X > 0

⇔∆ < 0 hoặc (*) có hai nghiệm X1 ≤ X2 ≤ 0

Từ đó suy ra m