Ta không thể làm như bài toán 1 vì số lượng ruồi giấm và các thế hệ của quẩn thể là vô số, việc kiểm tra từng cá thể của từng thế hệ là không thể thực hiện được.. Tức là chứng minh rằng[r]
Trang 1Để hiểu hơn về phương pháp quy nạp toán học
•
•
Hoàng Ngọc Thế
Thứ năm, 02 Tháng 5 2013 18:00
Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp hay và rất hữu dụng Tuy nhiên, đối với học sinh khối 11 thì đây là nội dung khó hiểu và khó áp dụng Bài viết này của tôi sẽ giúp các bạn một hướng để hiểu hơn về phương pháp này.
1 Tại sao phải dùng phương pháp quy nạp toán học?
Giả sử có 1mệnh đề chứa biến số tự nhiên Ta cần chứng minh mệnh đề đó Tại sao phải dùng phương pháp quy nạp toán học? Để trả lời câu hỏi này, ta xét các bài toán sau:
Bài toán 1 Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11A4 (có 35 học sinh), thầy gọi theo sổ điểm lần lượt các bạn:
1 Triệu Thị Băng
2 Lê Văn Bách
3 Triệu Thị Điềm
4 Đàm Văn Hanh
5 Dương Thị Hường.
Cả 5 bạn ấy đều chưa học bài Thầy kết luận: “Cả lớp 11A4 chưa học bài” Thầy kết luận như
vậy có hợp lí không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng
Lời giải.Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 đều học bài, tức là đa phần cả lớp học bài Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp
Bài toán 2 Người ta kiểm tra trên một quần thể ruồi giấm thấy thế hệ đầu tiên có tính trạng mắt
đỏ Kết luận: “Tất cả ruồi giấm ở mọi thế hệ của quần thể này đều mắt đỏ” Kết luận như vậy có
Lời giải Kết luận như vậy chưa chắc đúng vì chưa kiểm tra xem các thế hệ khác có mắt đỏ
Trang 2không? Ta không thể làm như bài toán 1 vì số lượng ruồi giấm và các thế hệ của quẩn thể là vô
số, việc kiểm tra từng cá thể của từng thế hệ là không thể thực hiện được Để thu được kết luận đúng, ta làm như sau:
• Kiểm tra với thế hệ thứ nhất (đời F1);
• Chứng minh sự di truyền của tính trạng mắt đỏ Tức là chứng minh rằng nếu đời bố mẹ mắt đỏ thì đời con mắt đỏ Khi đó, chắc chắn tất cả các cá thể ở mọi thế hệ đều mắt đỏ vì thế hệ trước sẽ di truyền lại cho thế hệ sau
Bài toán 3 Với n ∈ N *, chứng minh rằng
1 + 2 + + n = n ( n + 1 )2, ( * )
Phân tích Rõ ràng ta không thể áp dụng cách làm của bài toán 1 cho bài này vì tập các số tự nhiên là vô hạn Việc kiểm tra tính đúng đắn của ( * )với từng số tự nhiên sẽ mất nhiều thời gian
và không thể hoàn thành được
Ta nhận thấy có nét giống nhau giữa tập các số tự nhiên và quần thể ruồi giấm Tập số tự nhiên
có vô hạn phần tử, quần thể ruồi giấm có vô hạn thế hệ Ta sẽ áp dụng cách làm của bài toán 2 đối với bài toán này
Coi mệnh đề ( * )là một "tính trạng" của "quần thể" các số tự nhiên Để chứng minh mọi số tự nhiên đều có "tính trạng ( * )" ta làm như sau:
• Kiểm tra "tính trạng ( * )" với "thế hệ đầu (F1)" n = 1
• Chứng minh sự “di truyền” của ( * )Tức là chứng minh rằng nếu số n = k có "tính
trạng ( * )" thì n = k + 1 cũng có "tính trạng ( * )"
Phương pháp chứng minh như vậy gọi là phương pháp quy nạp toán học Bạn cũng có thể hiểu
phương pháp quy nạp giống như trò chơi Đôminô của người Nhật
2 Phương pháp và ví dụ
Để chứng minh 1 mệnh đề Mộtđúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện 2 bước:
1 (Bước "khởi tạo") Kiểm tra tính đúng đăn của Mộtvới n = 1
2 (Bước "di truyền") Giả sử mệnh đề Mộtđã đúng đến n = k ≥ 1, ta chứng minh Mộtcũng đúng với n = k + 1
Ta sẽ giải Bài toán 3 như sau:
Bước 1 Với n = 1, ta có
CácT( * ) = 1 = 1 ( 1 + 1 )2= VP( * )
Vậy ( * )đúng với n = 1
Bước 2 Giả sử ( * )đã đúng đến n = k ≥ 1, tức là
1 + 2 + + một = một ( một + 1 )2, ( một )
Ta cần chứng minh rằng ( * )cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh
1 + 2 + + ( một + 1 ) = ( một + 1 ) ( a + 2 )2, ( b )
Trang 3Thật vậy:
CácT( b ) = 1 + 2 + + ( k + 1 ) = 1 + 2 + + k + ( k + 1 ) = VT( một ) + ( k + 1 )
= VP( các ) + ( k + 1 ) = k ( k + 1 )2+ ( một + 1 ) = ( một + 1 ) ( a + 2 )2= VP( b )
Ta có điều phải chứng minh
Nhận xét Học sinh lớp 11 thường bị vướng khi chứng minh ( b ) Các em thường không biết bắt đầu từ đâu Quan sát lời giải bài toán 3, ta thấy lời giải được tiến hành theo logic sau:
CácT( b ) →( 1 )CácT( một ) →( 2 )CácP( một ) →( 3 )CácP( b )
Dấu mũi tên ( 1 ), ta sử dụng giả thiết hoặc những phép toán, định nghĩa cơ bản đã học Dấu mũi tên ( 2 ), ta sử dụng giả thiết quy nạp, tức là dùng ( một )
Dấu mũi tên ( 3 ), ta thường phải biến đổi, ước lượng
Xin đưa ra thêm một số ví dụ
Ví dụ 1 Với mọi n ∈ N* ta có: 2n > n , ( 1 )
Bước 1 Với n = 1, ta có: CácT= 2 , VP= 1, Vậy ( 1 )đúng
Bước 2 Giả sử ( 1 ) đúng với n = k ≥ 1, tức là
2đến > k , ( 1 một )
Ta chứng minh rằng ( 1 )cũng đúng với n = k + 1 Tức là phải chứng minh
2một + 1 > k + 1 , ( 1 b )
có CácT( 1 b ) = 2một + 1= 2.2đến = 2 VT( 1 một ) > 2 VP( 1 một ) = 2 k ≥ k + 1 = VP( 1 b )(đpcm) Vậy ( 1 )đúng với mọi nnguyên dương
Ví dụ 2 Cho dãy số ( trong n)xác định bởi
Chứng minh rằng
trongn = n3 n , ∀ n ≥ 1 , ( 2 )
Lời giải
Trang 4* Với n = 1 ta có CácT( 2 ) = u1= 13, VP( 2 ) = 13 Vậy ( 2 )đúng với n = 1.
* Giả sử ( 2 ) đúng với n = k ≥ 1, tức là
trongđến= một3 đến, ( 2 một )
Ta chứng minh rằng ( 2 ) cũng đúng với n = k + 1 Tức là phải chứng minh
trongmột + 1= một + 13 một + 1 , ( 2 b )
Việc làm, sẽ hợp tác:
trongmột + 1 = ( k + 1 ) u đến3 để= ( một + 1 ) để3 để 3 đến= một + 13 một + 1 = VP( 2 b ) ( đ p c m )
es ( 2 ) correctly with the moi nNguyễn Dương
3 Bài tập
Mời các bạn cùng làm thêm các bài tập dưới đây:
Bài tập 1 Chứng minh BĐT Bernoulli:
( 1 + một ) n ≥ 1 + n một , ∀ n ∈ N*
Bài tập 2 Chứng minh rằng
( 11n + 1+ 122 n - 1 ) ⋮ 133 , ∀ n ∈ N*