Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên... Chứng minh đẳng thức sau[r]
Trang 1CHƯƠNG II:
BÀI 3: NHỊ THỨC NIUTƠN PHÂN 1 – LÝ THUYẾT
1 Nhị thức Newton
Định lí:
n
n
k 0
(a b) C a b
C a0 nn C a1 n 1n b C a 2 n 2 2n b C n 1n abn 1 C bn nn
2 Nhận xét
Trong khai triển Newton (a b) n có các tính chất sau
* Gồm có n 1 số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
* Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
* Các hệ số có tính đối xứng: Ckn Cn kn
* Số hạng tổng quát : T k 1 C ak n k kn b
VD: Số hạng thứ nhất T 1 T 0 1 C a0 nn , số hạng thứ k:
k (k 1) 1 n
3 Một số hệ quả
Hệ qủa: Ta có : (1 x) n C0n xC1n x C2 2n x C n nn
Từ khai triển này ta có các kết quả sau
* C0n C1n C nn 2n
* C0n C1n C2n ( 1) C n nn 0
PHẦN 2 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển
p qn
ax bx
với x 0 (p,q là các hằng số khác nhau)
Phương pháp giải: Ta có:
p qn n k p n k qk n k n k k np pk qk
Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa: np pk qk m
Từ đó tìm
m np k
p q
Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: C ak n kn .bk với giá trị k đã tìm được ở trên
Nếu k không nguyên hoặc k n thì trong khai triển không chứa x m, hệ số phải tìm bằng 0
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển
p qn
P x a bx cx
được viết dưới dạnga 0 a x a x 1 2n 2n
Ta làm như sau:
* Viết p qn n k n k p qk
n
k 0
P x a bx cx C a bx cx
;
* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng p qk
bx cx
thành một đa thức theo luỹ thừa của x
* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm
Trang 2Ví dụ điển hình
Ví dụ 1 Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x 1 2x 5 x 21 3x 10
Lời giải.
Đặt f(x) x 1 2x 5 x 1 3x 2 10
Ta có : 5 k k k 210 i i
f(x) x C 2 x x C 3x
5 k k k 1 10 i i i 2
C 2 x C 3 x
Vậy hệ số của x5 trong khai triển đa thức của f(x) ứng với k 4 và i 3 là:
4
C 2 C 3 3320
Ví dụ 2.Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức 2 8
f(x) 1 x 1 x
Lời giải.
Cách 1:
1 x 1 x C C x 1 x C x 1 x C x 1 x
4 8 4 5 10 5 8 16 8
C x 1 x C x 1 x C x 1 x
Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8 Do đó x 8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:
C C , C C
Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức 1 x 1 x 2 8
a C C C C 238
Cách 2: Ta có:
với 0 k n 8
Số hạng chứa x8 ứng với 2n k 8 k 8 2n là một số chẵn
Thử trực tiếp ta được k 0; n 4 và k2,n3
Vậy hệ số của x8 là C C 83 23 C C48 04 238
P x 1 3x 2x a a x a x
Tìm a 15
Lời giải.
Ta có: 210 10 k 2k
10
k 0
C C (3x) .(2x ) C C 3 .2 x
với 0 i k 10 Do đó k i 15 với các trường hợp
k 10,i 5 hoặc k 9,i 6 hoặc k 8,i 7
Vậy a 15 C C 3 21010 510 5 5 C C 3 2910 69 3 6 C C 3.2810 78 7
Trang 3Ví dụ 4 Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau
3 2 n
(x ) x
, biết rằng Cn 1n Cn 2n 78
với x 0
Lời giải.
Ta có:
n 1 n 2
(n 1)!1! (n 2)!2!
2
n(n 1)
2
Khi đó:
12 12
12
k 0
2
x
Số hạng không chứa x ứng với k : 36 4k 0 k 9
Số hạng không chứa x là: ( 2) C 9 912 112640
Ví dụ 5 Với n là số nguyên dương, gọi a 3n 3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của (x21) (x 2)n n Tìm n để a 3n 3 26n
Lời giải.
Cách 1:Ta có :
n
x 2 C x 2C x 2 C x 2 C
Dễ dàng kiểm tra n 1 , n 2 không thoả mãn điều kiện bài toán
Với n 3 thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích
x x x x .x
Do đó hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của
2 n n
x 1 x 2
là : a 3n 3 2 C C3 0n 3n 2.C C1n 1n
Suy ra
3n 3
hoặcn 5
Vậy n 5 là giá trị cần tìm
Cách 2:
Ta có:
2
x x
x x
Trong khai triển trên , luỹ thừa của x là 3n 3 khi
Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i 0,k 3 hoặc
i 1,k 1 (vì i, k nguyên)
Hệ số của x 3n 3 trong khai triển thành đa thức của 2 n n
x 1 x 2
Là :a 3n 3 C C 20n 3n 3 C C 21n 1n
Do đó
3n 3
hoặcn 5
Vậy n 5 là giá trị cần tìm
Trang 4Ví dụ 6 Tìm hệ số của số hạng chứa x26trong khai triển nhị thức Newton của
n 7 4
1 x
C C C 2 1
Lời giải.
Do Ck2n 1 C2n 1 k2n 1 k 0,1, 2, ,2n 1
Mặt khác: C12n 1 C22n 1 C 2n 12n 1 22n 1
C C C 2 C 2 1
Khi đó: 7 10 4 710 10 k 4 10 k 7k
10 4
k 0
1
x
10
k 11k 40 10
k 0
C x
Hệ số chứa x 26 ứng với giá trị k : 11k 40 26 k 6
Vậy hệ số chứa x26 là: C610 210
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển
10 1
x x
Bài 2 Tìm hệ số của x31 trong khai triển:
40 2
1
x x
Bài 3 Tìm hạng tử chứa x2 trong khai triển: 3 x 2 x 7
Bài 4 Cho khai triển
12
3
Tìm xem hạng tử thứ mấy chứa a7
Bài 5 (A - 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển
n 5 3
1 x x
Bài 6 Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển
15
x x
12 28
x x x
12
3 3
x x
Bài 7 Tìm hệ số của x y trong các khai triển 12 13 x y 25
; 2x 3y25
Bài 8 Tìm hạng tử của các khai triển 3 156
; 33 29
là số nguyên
Bài 9 Trong khai triển nhị thức
21 3
3
tìm hệ số của số hạng có số mũ của a và b bằng nhau
Trang 5Bài 10* P x 1 x2 1 x23 1 x3 20 1 x20 a0a x a x1 2 2 a x20 20
Tìm a ?15
P x x x x A A x A x Tìm A ?9
Bài 12 P x 1 x2 1 x23 1 x3 15 1 x15 a0a x a x1 2 2 a x15 15
Tìm a ?7
Bài 13* Tìm hệ số của hạng tử chứa x4 trong khai triển: 1 2 x3x210
Bài 14 (A - 2004) Tìm hệ số của hạng tử chứa x8 trong khai triển: 1x21 x8
Bài 15 (D - 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành
đa thức của x21nx 2 n
Tìm n để a3n-3 = 26n
Tính a , 10 A a 0a1 a15, B a 0 a1a2 a15
Bài 17 (D - 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển x1 2 x5x21 3 x10
Bài 18 Tìm hệ số của x2 trong khai triển 2 x 3x25
Dạng 2: Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Phương pháp giải: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
* Tính hệ số a k theo k và n;
* Giải bất phương trình ak 1 ak ak 1 ak là hệ số lớn nhất cần tìm
Ví dụ điển hình
Ví dụ 1 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của: 2 3x8
Lời giải.
f(x) 2 3x C 2 3x C 2 3 x a x a C 2 3
Giả sử aklà hệ số lớn nhất ak 1 ak ak 1
6 k 1
6 k 1
6 k !.k ! 6 k 1 ! k 1 !
6 k !.k ! 7 k ! k 1 !
16 k
k 4 21
3 7 k 2k
k 5
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là a 4 C 2 34 26 4 4860
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1* Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: 1 2x 10
Trang 6Bài 2 Giả sử 1 2 n 0 1 2 2 n
n
Biết a0a1a2 a n 729, Tìm n và
hệ số lớn nhất trong các số a a a0, , , ,1 2 a n
n
trong đó n N * Biết
1
n n
a a
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 1 2 xn
3x 2 a a x a x a x Tìm max a ,a ,a , ,a 0 1 2 9
Bài 5 Xét khai triển :1 2x n a0a x a x1 2 2 a x n n
Tìm n để max a ,a ,a , ,a 0 1 2 n a8
Bài 6 Xét khai triển
n
k 0
Tìm n để
0 1 2 n 10
max a ,a ,a , ,a a
Dạng 3: Bài toán liên quan đến tổng
n
k k
k n
k 0
a C b
.
Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
(a b) C a a bC a b C b C
Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
* Ckn Cn kn
* C0n C1n C nn 2n
*
n
k k n
k 0
( 1) C 0
*
1
2
*
n
n
k 0
C a (1 a)
Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng
- Mấu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng
- Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn
Ví dụ điển hình
Ví dụ 1 Tìm số nguyên dương n sao cho: C0n 2C1n 4C2n 2 C n nn 243
Lời giải.
Xét khai triển: (1 x) n C0n xC1n x C2 2n x C n nn
Cho x 2 ta có: C0n 2C1n 4C2n 2 C n nn 3n
Do vậy ta suy ra 3n 243 35 n 5
Ví dụ 2 Tính tổng sau:
n
Lời giải.
Trang 7Ta có:
n
Vì
( 1) ( 1)
n
k k 1
n 1
k 0
1
2(n 1)
n 1
n 1 n 1
k 0
Ví dụ 3 Tính tổng sau: S C 31 n 1n 2C 32 n 2n 3C 33 n 3n nC nn
Lời giải.
Ta có:
k n
n
k 1
1
S 3 kC
3
Vì
k 1nên
3 n(1 ) n.4
3
Ví dụ 4 Chứng minh đẳng thức sau
1 C C0m kn C C1m k 1n C C km 0n Ckm n với m,n ¥ ,0 k min m,n
2 C02nC22n C 2n2n C12nC32n C 2n 12n
3 C C0n kn C C1n k 1n 1 C C kn 0n k 2 Ck kn với 0 k n
Lời giải.
1 Xét khai triển:
m n m n km n k
i 0
(1)
Ta có thể khai triển f(x) theo cách khác như sau
j j
(2)
Hệ số của x k trong khai triển (1) là:
k
m n C
Hệ số của x k trong khai triển (2) là:
k j
i 0
i 0,n
j 0,m
i j k
Từ đó ta suy ra:
k in k im km n
i 0
2 Xét khai triển: (1 x) 2nC02n C x C x12n 22n 2 C x 2n 2n2n
Cho x 1 ta có được:
02n 12n 22n 32n 2n 12n 2n2n
Hay C12nC 2n3 C 2n 12n C02n C22n C 2n2n
3 Ta có:
i k i
n n i
i!(n i)! (n k)!(k i)! i!(n k)!(k i)!
k i
n k
(n k)!k! (k i)!i!
Trang 8Suy ra:
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:
1 C02n C22n C 2n2n C12n C32n C 2n 12n
2 C C0m kn C C1m k 1n C C km 0n Ckm n
3
2011
2
Bài 2 Tính các tổng sau:
1
2 S 2 C1n 2C2n nC nn
3 S 3 2.1.C2n 3.2C3n 4.3C4n n(n 1)C nn
Bài 3: Tính tổng
Bài 4:
1 Tính tổng
2 Tìm số nguyên dương n sao cho :
C 2.2C 3.2 C (2n 1)2 C 2005
3 Chứng minh: 1.3 50 n 1 Cn 1n 2.3 51 n 2 Cn 2n n.3 n 1 0 5 C0n n.8n 1
4 Tính tổng S 2.1C 2n 3.2C3n 4.3C4n n(n 1)C nn
5 Chứng minh 0 2 1 2 2 2 n 2 n
C C C C C
Bài 5: Tính các tổng sau
1 S 15 Cn 0n5n 1 .3.Cn 1n 3 52 n 2 Cn 2n 3 C n 0n
2 S 2C020112 C2 22011 2 2010C 20112010
3 S 3C1n2C2n nC nn
4 S 42.1.C2n3.2C3n4.3C4n n(n 1)C nn
5
Bài 6
1 Cho n ¢, n 2 Chứng minh rằng:
n
1
2 Chứng minh rằng xlà số tự nhiên chia hết cho 2002 với
x 1001 1001 1 1001 1
.
3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì tổng
n 2k 1 3k 2n 1
k 0
không chia hết cho 5
Trang 94 Chứng minh rằng với mọi m, n ¥ luôn tồn tại k ¥ sao cho :
m m 1 n k k 1
5 Chứng minh rằng
n
(2 3)
là một số tự nhiên lẻ (trong đó x là kí hiệu phần nguyên của
x, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá x)
6 Cho m, n là hai số tự nhiên, p là số nguyên tố Giả sử
k k k 1 k 1 1 0
n n p n p n p n
Chứng minh rằng:
k n
i 0
C C (mod p)
(Quy ước Cba 0,a b )
Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau
1 C C06 kn C C16 k 1n C C 66 k 6n Ckn 6
2 C0n 2 C1n 2 1n Cnn 2 1nCn2n
4
5 2 Cn 0n2n 1 1 1 .7 C n 2.7 n 1 Cn 1n 7 Cn nn9n
6 3 Cn 0n 3n 1 1 1 1 5 6 C n3n 2 2 2 5 6 C2n 5 6 C n n nn 33n
7
n
1
8
n 1
9
n
n 1 2 1
Bài 8
1 Cho f(x)là một đa thức bậc n thỏa mãn f(x) 2 x với x 1,2, 3, , n 1 Tính f(n 2)
2 Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa Cn2n 2nk, trong đó k là số các ước nguyên dương của Cn2n