Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.. Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si. Cộng các BĐT vế t[r]
Trang 1Bài 1 Cho a, b, c, d, e ∈ R Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2+b2+c2≥ab bc ca+ + b) a2+b2+ ≥1 ab a b+ +
c) a2+b2+c2+ ≥3 2(a b c+ + ) d) a2+b2+c2≥2(ab bc ca+ − )
e) a4+b4+c2+ ≥1 2 (a ab2− + + a c 1) f) a
b c ab ac bc
2
g) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥6abc h) a2+b2+c2+d2+e2≥a b c d e( + + + ) i)
1+ + ≥1 1 1 + 1 + 1 với a, b, c > 0
k) a b c+ + ≥ ab+ bc+ ca với a, b, c ≥ 0
Cho a, b, c ∈ R Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a3 b3 a b 3
; với a, b ≥ 0 b) a4+b4≥a b ab3 + 3
c) a4+ ≥3 4a d) a3+b3+c3≥3abc , với a, b, c > 0
a b
b a
6 6
4 4
2 2
+ ≤ + ; với a, b ≠ 0 f)
ab
a2 b2
1
+
g) a
a
2
2
3
2 2
+
>
( + )( + )≥( + )( + ); với ab > 0
Cho a, b, c, d ∈ R Chứng minh rằng a b2+ 2≥2ab (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) a4+b4+c4+d4≥4abcd b) a( 2+1)(b2+1)(c2+ ≥1) 8abc
c) a( 2+4)(b2+4)(c2+4)(d2+4)≥256abcd
Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng nếu a
b< thì 1 a a c
b b c
+
<
+ (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a b+b c+c a<2
a b c b c d c d a d a b
a b c b c d c d a d a b
Cho a, b ≥ 0 Chứng minh bất đẳng thức: a b3+ 3≥a b b a2 + 2 =ab a b( + ) (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a)
abc
a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc
b)
a3 b3 b3 c3 c3 a3
1
+ + + + + + ; với a, b, c > 0 và abc = 1
c)
1
+ + + + + + ; với a, b, c > 0 và abc = 1
d) 34(a3+b3)+34(b3+c3)+34(c3+a3)≥2(a b c+ + ; ) với a, b, c ≥ 0
⇔ a( 2−b2)(a b − ≥ ) 0
Trang 2a) Từ (1) ⇒ a b abc ab a b c3 3
ab a b c
a3 b3 abc
≤
+ +
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm
b, c) Sử dụng a)
d) Từ (1) ⇔ a b3( 3+ 3)≥3(a b ab2 + 2) ⇔ a4( 3+b3)≥(a b+ )3 (2)
Từ đó: VT ≥ a b( + + + + +) (b c) (c a)=2(a b c + + )
−
Sử dụng (2) ta được: a b+ ≤34(a3+b3)
⇒ 3sinA 3sinB 34(sinA sin )B 34.2.cosC 2 cos3 C
Tương tự, 3sinB 3sinC 2 cos3 A
2
3sin sin 2 cos3
2
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm
Bài 2 Cho a, b, x, y ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):
a2+x2+ b2+y2 ≥ (a b+ )2+ +(x y)2 (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) Cho a, b ≥ 0 thoả a b 1+ = Chứng minh: 1+a2+ 1+b2 ≥ 5
b) Tìm GTNN của biểu thức P = a b
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1+ + = Chứng minh:
82
d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z+ + = 3 Tìm GTNN của biểu thức:
P = 223+x2+ 223+y2+ 223+z2
HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) ⇔ a( 2+b2)(x2+y2)≥ab xy+ (*)
• Nếu ab xy+ <0 thì (*) hiển nhiên đúng
• Nếu ab xy+ ≥0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) ⇔ bx ay 2
( − ) ≥ 0 (đúng)
a) Sử dụng (1) Ta có: 1+a2 + 1+b2 ≥ (1 1)+ 2+ +(a b)2 = 5
b) Sử dụng (1) P ≥ a b a b
+
Chú ý:
a b a b
1+ ≥1 4
+ (với a, b > 0)
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:
x y z
2
≥ x y z
x y z
2
+ +
Trang 3Chú ý:
x+ + ≥y z x y z
+ + (với x, y, z > 0)
d) T ương tự câu c) Ta có: P ≥ ( )2 x y z
2
3 223 + + +( ) = 2010
Bài 3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh:
a) ab bc ca+ + ≤a2+b2+c2<2(ab bc ca+ + )
b) abc≥(a b c b c a a c b+ − )( + − )( + − )
c) a b2 2 2+2b c2 2+2c a2 2−a4−b4−c4> 0
d) a b c( − )2+b c a( − )2+c a b( + )2>a3+b3+ c3
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c> − ⇒a2>b2−2bc c + 2
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm
b) Ta có: a2>a2− −(b c)2⇒a2>(a b c a b c+ − )( − + )
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm
c) ⇔ a b c a b c b c a c a b( + + )( + − )( + − )( + − )> 0
d) ⇔ a b c b c a c a b( + − )( + − )( + − )> 0
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1 Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b ≥ 0, ta có: a b ab
2
+
≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b
+ Với a, b, c ≥ 0, ta có: a b c 3abc
3
+ + ≥
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c
2 Hệ quả: + a b ab
2
2
+ ≥
a b c
abc
3
3
+ + ≥
3 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y
+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y
Bài 1 Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a b b c c a+ )( + )( + )≥8abc b) a b c a( + + )( 2+b2+c2)≥9abc
3 3 (1+ )(1+ )(1+ ≥ +) 1 d) bc ca ab
a b c
a + b + c ≥ + + ; với a, b, c > 0 e) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥6abc
f) ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + + ; với a, b, c > 0
b c c a a b
3 2
+ + + ; với a, b, c > 0
HD: a) a b+ ≥2 ab b c; + ≥2 bc c a; + ≥2 ca ⇒ đpcm
b) a b c+ + ≥33abc a; 2+b2+c2≥33a b c2 2 2 ⇒ đpcm
c) • (1+a)(1+b)(1+ = + + + +c) 1 a b c ab bc ca abc+ + +
• a b c+ + ≥33abc • ab bc ca+ + ≥33a b c2 2 2
Trang 4⇒ a b c abc a b c abc ( abc)
3
3 2 2 2
(1+ )(1+ )(1+ ≥ +) 1 3 +3 + = +1
d) bc ca abc
c
2
a
2
b
2
e) VT ≥ a b b c c a2 2 2
2( + + )≥ 63a b c3 3 3 =6abc
f) Vì a b+ ≥2 ab nên ab ab ab
a b≤ 2 ab = 2
b c≤ 2 ; c a≤ 2
⇒ ab bc ca ab bc ca a b c
(vì ab+ bc+ ca≤ + +a b c )
b c 1 c a 1 a b 1 3
= [ a b b c c a ]
b c c a a b
2
2− = 2
• Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b
Khi đó, VT = x y z x z y
1
3 2
2 + + − = 2
Bài 2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a b c
b) 3(a3+b3+c3)≥(a b c a+ + )( 2+b2+c2) c) 9(a3+b3+c3)≥(a b c+ + )3
Chú ý: a b
a b ab
b a
3 3
2 2
+ ≥ = Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm
b) ⇔ 2(a3+b3+c3)≥(a b b a2 + 2 ) (+ b c bc2 + 2) (+ c a ca2 + 2)
Chú ý: a3+b3≥ab a b( + ) Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm
c) Áp dụng b) ta có: a b c9( 3+ 3+ 3)≥3(a b c a+ + )( 2+b2+c2)
Dễ chứng minh được: a3( 2+b2+c2)≥(a b c+ + )2 ⇒ đpcm
Bài 3 Cho a, b > 0 Chứng minh
a b a b
1+ ≥1 4
+ (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a)
a b c a b b c c a
; với a, b, c > 0
b)
a b b c c a a b c a b c a b c
2
c) Cho a, b, c > 0 thoả
a b c
4 + + = Chứng minh:
a b c a b c a b c
1
d) ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + + ; với a, b, c > 0
e) Cho x, y, z > 0 thoả x+2y+4z=12 Chứng minh: 2xy + 8yz + 4xz ≤6
Trang 5p a p b p c a b c
HD: (1) ⇔ a b
a b
1 1
+ + ≥
Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si
a) Áp dụng (1) ba lần ta được:
a b a b b c b c c a c a
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm
b) Tương tự câu a)
c) Áp dụng a) và b) ta được:
a b c a b c a b c a b c
4
d) Theo (1):
4
≤ +
ab
a b
a b
1
4
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12+ + = ⇒ đpcm
f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c
Áp dụng (1) ta được:
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm
Bài 4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh
a b c a b c
1+ + ≥1 1 9
+ + (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a b b c c a
2
b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1+ + = Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z
x 1+y 1+z 1
c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + ≤ Tìm GTNN của biểu thức:
P =
a2 bc b2 ac c2 ab
d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + = Chứng minh:
ab bc ca
a2 b2 c2
30
e*) Cho tam giác ABC Chứng minh:
2 cos2 +2 cos2 +2 cos2 ≥ 5
HD: Ta có: (1) ⇔ a b c
a b c
+ + + + ≥
Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si
a) Áp dụng (1) ta được:
Chú ý: a b c( + + )2≤3(a2+b2+c2)
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
3
Trang 6Ta có:
− = Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 + + = và k là hằng số dương cho trước Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z
kx 1+ky 1+kz 1
c) Ta có: P ≥
a2 bc b2 ca c2 ab a b c 2
9
d) VT ≥
ab bc ca
a2 b2 c2
=
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
a2 b2 c2
≥
ab bc ca
a b c 2
30 1 1
3
+ +
Chú ý: ab bc ca 1(a b c)2 1
e) Áp dụng (1):
2 cos2 +2 cos2 +2 cos2 ≥6 cos2 cos2 cos2
6 2
= +
Chú ý: cos2A cos2B cos2C 3
2
Bài 5 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) x
x
18
2
x
2
x
x
x
;
−
x x
5
1
= + < <
x
x
3 2
1
+
x
2
x
2 3
2
= + >
HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3
2 khi x = 3
c) Miny = 3
6 2
− khi x = 6 1
3 − d) Miny = 30 1
3
+
khi x = 30 1
2 +
e) Miny = 2 5 5+ khi x 5 5
4
−
= f) Miny =
3
3 4
khi x = 32
g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny =
5
5 27
khi x = 53
Bài 6 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
Trang 7c) y (x 3)(5 2 );x 3 x
2
2
e) y (6x 3)(5 2 );x 1 x 5
x2
2
+ g)
x y
x
2 3
2 2
=
+
HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3
c) Maxy = 121
8 khi x =
1 4
− d) Maxy = 625
8 khi x =
5 4
e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 1
2 2
khi x = 2 (2+x2≥2 2x )
g) Ta có: x2+ =2 x2+ + ≥1 1 33x2 ⇔ x( 2+2)3≥27x2 ⇔ x
x
2
2 3
1 27 ( 2) ≤ +
⇒ Maxy = 1
27 khi x = ±1
Bài 7
a)
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki
1 Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)
• Với a, b, x, y ∈ R, ta có: ax by( + )2≤(a2+b2)(x2+y2) Dấu "=" xảy ra ⇔ ay = bx
• Với a, b, c, x, y, z ∈ R, ta có: ax by cz( + + )2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)
Hệ quả:
• a b( + )2≤2(a2+b2) • a b c( + + )2≤3(a2+b2+c2)
Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 3a2+4b2≥7, với 3a+4b=7 b) a3 2 5b2 735
47 + ≥ , với 2a−3b=7
c) a7 2 11b2 2464
137
+ ≥ , với 3a−5b=8 d) a2 b2 4
5 + ≥ , với a+ b=2
e) 2a2+3b2≥5, với 2a+3b=5 f) x( 2y 1)2 (2x 4y 5)2 9
5
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 3, 4, 3 , 4 a b
b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2 , 3 , 3 , 5a b
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 3 , 5 , 7 , 11a b
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,2, , a b
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2, 3, 2 , 3a b
f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT ⇔ a2 b2 9
5 + ≥
Trang 8Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm
Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2 b2 1
2
+ ≥ , với a b 1+ ≥ b) a3 b3 1
4 + ≥ , với a b 1+ ≥
c) a4 b4 1
8 + ≥ , với a b 1+ ≥ d) a4+b4≥2, với a b 2+ =
HD: a) 1 (1≤ a+1 )b 2≤(12+1 )(2 a2+b2) ⇒ đpcm
b) a b+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒1 b 1 a b3≥ −(1 a)3= −1 3a+3a2− a3
⇒ b a a
2
3
+ ≥ − + ≥
c) (12 1 )(2 a4 b4) (a2 b2 2) 1
4
d) (12+1 )(2 a2+b2)≥(a b+ )2= ⇒ a4 2+b2≥ 2
(12+1 )(2 a4+b4)≥(a2+b2 2) ≥ ⇒ a4 4+b4≥ 2
Bài 3 Cho x, y, z là ba số dương và x+ + =y z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P= 1 − +x 1 − +y 1 −z
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P ≤ 1 1 1 (1+ + − + − + − ≤ 6 x) (1 y) (1 z)
Dấu "=" xảy ra ⇔ 1− = − = − ⇔ x y z x 1 y 1 z 1
3
= = =
Vậy Max P = 6 khi x y z 1
3
= = =
Bài 4 Cho x, y, z là ba số dương và x+ + ≤y z 1 Chứng minh rằng:
82
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:
x x
2
2
(1 9 )
x x
2 2
82
Tương tự ta có: y y
y y
2 2
82
2 2
82
Từ (1), (2), (3) suy ra:
P ≥ x y z
82
82
≥ x y z
82
+ +
Dấu "=" xảy ra ⇔ x y z 1
3
= = =
Bài 5 Cho a, b, c ≥ 1
4
− thoả a b c 1+ + = Chứng minh:
7< 4 + +1 4 + +1 4 + ≤1 21
HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: 1;1;1; 4a+1; 4b+1; 4c + ⇒ (2) 1
Trang 9a) A
x y
4
= + , với x + y = 1 b) B= +x y, với
x y
2 3
6 + =
HD: a) Chú ý: A =
2
+
Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y
2 ta được:
x y
2
Dấu "=" xảy ra ⇔ x 4;y 1
= = Vậy minA = 25
4 khi x y
;
b) Chú ý:
2 3 2 3 + = +
Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y
; ; ; ta được:
2
2
x y
2
6
+
Dấu "=" xảy ra ⇔ x 2 3 3 2; y 2 3 3 2
6
+
Bài 7 Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A=x 1+ +y y 1+x , với mọi x, y thoả x2+y2= 1
HD: a) Chú ý: x+ ≤y 2(x2+y2)= 2
A ≤ x( 2+y2)(1+ + +y 1 x)= x y+ +2≤ 2+ 2
Dấu "=" xảy ra ⇔ x y 2
2
= =
Bài 8 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a) A= 7− +x 2+x , với –2 ≤ x ≤ 7 b) B=6 x− +1 8 3−x , với 1 ≤ x ≤ 3
c) C= −y 2x+5, với x36 2+16y2= d) D9 =2x y− −2, với x2 y2 1
4 + 9 =
HD: a) • A ≤ (12+1 )(72 − + +x x 2)=3 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x 5
2
=
• A ≥ (7− + +x) (x 2)=3 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = –2 hoặc x = 7
⇒ maxA = 3 2khi x 5
2
= ; minA = 3 khi x = – 2 hoặc x = 7
b) • B ≤ (62+8 )(2 x− + −1 3 x)=10 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 43
25
• B ≥ 6 (x− + −1) (3 x)+2 3− x ≥ 6 2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 3
Trang 10⇒ maxB = 10 2 khi x = 43
25; minB = 6 2 khi x = 3
c) Chú ý: 36x2+16y2=(6 )x 2+(4 )y 2 Từ đó: y 2x 1.4y 1.6x
⇒ y 2x 1.4y 1.6x 1 1 (16y2 36x2) 5
⇒ 5 y 2x 5
− ≤ − ≤ ⇒ 15 C y 2x 5 25
4 ≤ = − + ≤ 4 ⇒ minC = 15
4 khi x y
,
= = − ; maxC = 25
4 khi x y
,
2 2
1 (3 ) (2 )
4 + 9 =36 + Từ đó: x y2 2.3x 1.2y
⇒ 2x y 2.3x 1.2y 4 1 (9x2 4y2) 5
⇒ − ≤5 2x y − ≤ ⇒ 5 − ≤7 D=2x y − − ≤ 2 3
⇒ minD = –7 khi x 8, y 9
= − = ; maxD = 3 khi x 8, y 9
= = −
Bài 9
a)