Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng .Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của tam giác có ba đỉnh là ba trong số 6 điểm đã cho , đồng thời[r]
Trang 1CÂU 5 RỜI RACHSG9318 AH
01.Cho đa giác đều gồm 2017 cạnh Người ta tô các đỉnh của đa giác bằng 2 màu xanh và
đỏ Chứng minh rằng ít nhất phải có 3 đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân
DAPAN
Ta có đa giác 2017 cạnh nên có 2017 đỉnh (là số lẻ) nên phải có hai đỉnh kề
nhau là P và Q được sơn cùng màu (chẳng hạn màu đỏ)
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số lẻ đỉnh nên phải có một đỉnh nào đó nằm
trên đường trung trực của PQ (giả sử là đỉnh A)
- Nếu A tô màu đỏ thì ta có APQ là tam giác cân có 3 đỉnh A, P, Q được tô
cùng màu đỏ
- Nếu A tô màu xanh Lúc đó gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác kề với P
và Q
+ Nếu cả 2 đỉnh B và C được tô màu xanh thì ta có ABC là tam giác cân có 3
đỉnh A, B, C được tô cùng màu xanh;
+ Nếu một trong hai đỉnh B và C mà tô màu đỏ thì BPQ hoặc CPQ là tam
giác cân có 3 đỉnh được tô cùng màu đỏ;
Vậy ít nhất phải có 3 đỉnh được sơn cùng một màu của tứ giác tạo thành một
tam giác cân
0,25
0,25 0,25
0,25
02 Tính số các ô nhỏ nhất phải quét sơn trên một bảng 5x5 để cho bất kỳ vùng 3x3 nào đó trên bảng này cũng chưa ít nhất 4 ô đã quét sơn?
DAPAN + Dọc theo chiều ngang sát cạnh trên của bảng 5x5 có 3 vùng 3x3 ở 3 vị trí
1 1 1 1, 2 2 2 2, 3 3 3 3
A B C D A B C D A B C D Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô, ta có
thêm 3 vùng 3x3 Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô nữa, ta có thêm 3
vùng 3x3 Do đó có 9 vùng con 3x3 của bảng 5x5, mỗi vùng con đều chứa 5 ô
vuông con 1x1 thuộc hình chữ thập đã tô màu
0, 25
0,25
Trang 2+ Nếu chỉ quét sơn như hình mỗi vùng con 3x3 đều chứa 4 hoặc 5 ô 1x1 được vẽ
bên thì quét sơn
Vậy: Để mỗi vùng con 3x3 của bảng 5x5 chứa ít nhất 4 ô 1 1 được quét sơn, thì
chỉ cần quét số ô nhỏ nhất là 7 ô như hình vẽ bên
0,25
0,25
03 ) Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu
DAPAN 5
(1 điểm)
C
B
A
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn
tạo thành một tam giác cân
Do đó khi tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bằng 3 màu xanh, đỏ và tím sẽ xảy ra
0,25
Trang 3hai khả năng sau:
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3
đỉnh có màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân
+) Nếu tô 5 đỉnh A, B, C, D, E bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh
cùng màu và tạo thành một tam giác cân
Vậy, trong mọi trường hợp luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh được tô bởi cùng một màu hoặc đôi một khác màu
0,25 0,25
0,25
04 Trongmộtgiảicờvuacó 8 địchthủthamgia, thiđấuvòngtrònmộtlượt, thắngđược 1 điểm,
hòađược 0,5 điểm, thuađược 0 điểm Biếtrằngsaukhitấtcảcáctrậnđấukếtthúcthìcả 8
kìthủnhậnđượccácsốđiểmkhácnhauvàkìthủxếpthứhaicósốđiểmbằngtổngsốđiểmcủa 4
kìthủxếpcuốicùng.Hỏivánđấugiữakìthủxếpthứtưvàkìthủxếpthứnămkếtthúcvớikếtquảnhưth ếnào?
DAPAN
Sau khi kết thúc giải, số ván cờ đã thi đấu giữa 4 kì thủ xếp cuối cùng là
4.3
6
1.2
Sau mỗi ván tổng số điểm của hai kì thủ nhận được là 1 điểm Vì thế tổng
số điểm s của 4 kì thủ xếp cuối cùng không ít hơn 6 điểm
0,25 điểm
Nếu s 6,5 thì số điểm của kì thủ xếp thứ hai là s 6,5 Do 8 kì thủ được
các số điểm khác nhau nên dễ thấy kì thủ xếp thứ nhất có số điểm không ít
hơn s + 0,5 7
0,25 điểm
Do kì thủ xếp thứ nhất đấu 7 trận nên điều này chỉ xảy ra khi s + 0,5 = 7
s = 6,5 và kì thủ xếp thứ nhất thắng cả 7 ván Suy ra kì thủ xếp thứ hai
không thắng quá 6 ván và có số điểm 6 s
0,25 điểm Vậy ta phải có s =6 Điều này có nghĩa các kì thủ xếp từ thứ năm đến thứ
tám chỉ giành điểm khi thi đấu với nhau mà thôi, ngoài ra thua tất cả các kì
thủ khác Do vậy, kì thủ xếp thứ tư thắng kì thủ xếp thứ năm trong ván đấu
trực tiếp
0,25 điểm
05 Cho tam giác nhọn ABC có BAC 60 ,0 BC2 3cm Bên trong tam giác này cho 13 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm
DAPAN
Trang 4
Bài 5
( 1.0 điểm )
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC
Vì BAC 600 nên MOC 600, suy ra
MC
OA OB OC
Vì O nằm trong tam giác ABC và
OM BC ON AC OP AB
Suy ra tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp các đường tròn có đường kính 2 (đường kính lần lượt là OA, OB, OC).
Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 3 tứ giác này chứa ít nhất 5 điểm trong 13 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác
ANOP.
Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của NA, AP, PO, ON và I
là trung điểm OA, suy ra IA IP IO IN 1
Khi đó tứ giác ANOP được chia thành 4 tứ giác AEIF, FIGP,
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
P
F
N
M
E I
H G
O
C B
A
Trang 5IGOH, IHNE nội tiếp các đường tròn có đường kính 1.
Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 4 tứ giác này chứa ít nhất 2 điểm trong 5 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác
AEIF chứa 2 điểm X, Y trong số 13 điểm đã cho.
Vì X, Y nằm trong tứ giác AEIF nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách giữa X, Y không vượt quá 1. 0,25 đ
06 Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm là các số khác nhau Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của tam giác
có ba đỉnh là ba trong số 6 điểm đã cho , đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác có ba đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho
DAPAN
Bài 5
( 1.0 điểm )
Quy ước : gọi mỗi tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong số các điểm đã cho một cách vắn tắt là tam giác
Với mỗi tam giác, ta tô các cạnh lớn nhất của nó màu xanh, ta tô màu đỏ tất cả các đoạn thẳng không được tô màu xanh
Gọi một trong sáu điểm đã cho là A Do đó theo nguyên lý Đrichlê tại 3 đoạn trong số 5 đoạn nối với 5 điểm còn lại cùng màu Gọi 3 đoạn đó là : AB, AC, AD.Xét :
+ Trường hợp 1 : AB, AC, AD có cùng màu xanh Khi đó vì cạnh lớn nhất của DBC có màu xanh nên một trong các tam giác ABC, ABD, ACD là tam giác có cả ba cạnh cùng được tô bởi màu xanh Từ đó ta có điều phải chứng minh
+ Trường hợp 2 : AB, AC, AD có cùng màu đỏ Khi đó , vì các đoạn thẳng có độ dài khác nhau đôi một nên BC, CD, DB tương ứng là cạnh lớn nhất của tam giác ABC, ACD, ADB
Suy ra BCDcó cả 3 cạnh cùng màu xanh
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Trang 6Từ đó ta có điều phải chứng minh
07 Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10x10 ( 10 dòng, 10 cột) được ghi một số
nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kì hai số nào ghi trong hai ô chung một
cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh
rằng có số được ghi ít nhất 17 lần
5
( 1 điểm)
Trên mỗi hình vuông con, kích thước 2x2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, cũng vậy có không quá 1 số chia hết cho 3
Lát kín bảng bởi 25 hình vuông, kích thước 2x2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 3 Do đó, có ít nhất 50
số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia hết cho 3 Vì vậy, chúng phải là một trong các số 1,5,7
Từ đó theo nguyên tắc Dirichlet, có một số xuất hiện ít nhất 17 lần
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
08 Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 49 ô vuông đơn vị) Đặt 22đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị có không quá một đấu thủ Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột Chứng minh rằng với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi một không tấn công lẫn nhau
DAPAN
(1,0
điểm)
giống nhau là 1 chuồng thỏ ⇒ có 7 chuồng thỏ , mà 22 = 3.7 +1 , theo nguyên tắc đirrichle mỗi cách đặt bất kỳ thỏa mãn yêu cầu bài toán, mỗi chuồng thỏ luôn có ít nhất 4 đấu thủ không tấn công nhau (Hai đấu thủ tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột.còn trên đường chéo thì không tấn công nhau)
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 709 Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5
ĐAPAN
Bài 5
(1,0
điểm)
Gọi các số trên 5 mặt là a1; a2; a3; a4; a5 Xét 5 tổng : s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
s4 = a1 + a2 + a3 + a4
s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
- Nếu có một trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải xong
- Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số
dư khi chia cho 5 ( vì 5 tổng mà chỉ có 4 số dư khác 0 là 1; 2; 3; 4)
Hiệu của hai tổng này chia hết cho 5
Gọi hai tổng đó là sm và sn ( 0 n < m 5), thì sm - sn 5 hay (a1 + a2 + … + am ) - (a1 + a2 + … + an )
= an+1 + an+2 + … + am 5
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
10 Cho 13 điểm phân biệt nằm trong hay trên cạnh một tam giác đều có cạnh bằng 6 cm Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa
chúng không vượt quá 3 cm
DAP AN
Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB ta có 4 tam giác đều
ANK, BMK, CMN và MNK đều có cạnh bằng 3cm
Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của KN, NA và AK Dễ thấy các tứ giác
0,25
Trang 8M
N
K
I
F
AEHF, KFHI, NIHE là các tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH, KH,
NH
Ta có AI = AK Sin600 suy ra AH =
2 3 3
3 3
Từ đó AH = HK = HN = 3
Tương tự với ba tam giác đều còn lại, tam giác ABC được chia thành 12 tứ
giác nội tiếp đường tròn đường kínhđều bằng 3
Vì có 13 điểm thuộc tam giác ABC nên ít nhất có 2 điểmthuộc một trong số
các tứ giác nội tiếp nói trên và đó chính là hai điểm mà khoảng cách giữa
chúng 3
0,25
0,25
0,25
11 Trên mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ ba điểm bất kì trong số chúng đều tìm được hai điểm
có khoảng cách nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm
DAPAN
- Xét điểm A và hình tròn tâm A bán kính bằng 1 Nếu tất cả 24 điểm còn
lại đều nằm trong (A; 1) thì hiển nhiên bài toán được chứng minh
0,25
Trang 9- Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (A; 1) Ta có AB > 1
Xét hình tròn tâm B bán kính bằng 1 Giả sử C là một điểm bất kì khác A
và B Ta chứng minh C phải thuộc một trong hai hình tròn
(A; 1) hoặc (B; 1)
0,25
Thật vậy, giả sử C không thuộc cả hai hình tròn (A; 1) và (B; 1)
=> AC > 1 và BC > 1 Theo trên ta có AB > 1 Như vậy có bộ ba điểm A,
B, C trong đó không có bất kì hai điểm nào có khoảng cách giữa chúng nhỏ
hơn 1 Điều này trái với giả thiết, chứng tỏ C thuộc vào (A; 1) hoặc C thuộc
vào (B; 1)
0,25
Vậy cả 25 điểm đó đều thuộc vào (A; 1) và (B; 1) Theo nguyên lí Dirichlet
phải có ít nhất một hình tròn chứa không ít hơn 13 điểm(đpcm)
0,25
12 Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5
DAPAN
Câu 5
( 1điểm)
Gọi các số trên 5 mặt là a1; a2; a3; a4; a5
Xét 5 tổng : s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
s4 = a1 + a2 + a3 + a4
s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
- Nếu có một trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải xong
- Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư
khi chia cho 5 ( vì 5 tổng mà chỉ có 4 số dư khác 0 là 1; 2; 3; 4) Hiệu
của hai tổng này chia hết cho 5
Gọi hai tổng đó là sm và sn ( 0 n < m 5), thì sm - sn 5
hay (a1 + a2 + … + am ) - (a1 + a2 + … + an )
= an+1 + an+2 + … + am 5
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 1014 Trong hình tròn (C) có diện tích bằng 8 đặt 17 điểm phân biệt, bất kì Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được ít nhất 3 điểm tạo thành một tam giác có diện tích
bé hơn 1
DAPAN
5 Chia hình tròn (C) thành 8 hình quạt bằng nhau , mỗi hình quạt có
diện tích bằng 1
0,25
Theo nguyên lý Dirchlet , tồn tại ít nhất một hình quạt (q) chứa ít
nhất 3 trong số 17 điểm đã cho
0,25
Tam giác có ba đỉnh là ba điểm đó đó nằm trọn trong hình quạt (q)
nên có diện tích nhỏ hơn diện tích hình quạt , tức là bé hơn 1
0,25
Vậy ta tìm được ba điểm nằm trong hình quạt (q) thoả mãn đầu bài 0,25
15 Các đỉnh của một hình 10 cạnh đều được đánh số bởi các số nguyên 0,1,2,3, ,9 một cách tùy ý Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh liên tiếp có tổng các số là lớn hơn 13
DAPAN
5
(1điểm)
Gọi a1, a2, a3,… ,a10 là các số gán cho các đỉnh của thập giác đều Giả
sử ngược lại ta không tìm được liên tiếp nào thỏa mãn khẳng định
trên Khi đó ta có:
k1 = a1 + a2 + a3 ≤ 13
k2 = a2 + a3 + a4 ≤ 13
k3 = a3 + a4 + a5 ≤ 13
k4 = a4 + a5 + a6 ≤ 13
k5 = a5 + a6 + a7 ≤ 13
k6 = a6 + a7 + a8 ≤ 13
k7 = a7 + a8 + a9 ≤ 13
k8 = a8 + a9 + a10 ≤ 13
0,25điểm
Trang 11k9 = a9 + a10 + a1 ≤ 13
k10 = a10 + a1 + a2 ≤ 13
130 ≥ k1 + k2 +…… + k10 = 3(a1 + a2 +a3 +… + a10) = 3(0 + 1 + 2 +…….+ 9)
= 135 ( vô lí vì 130 ≥ 135)
Điều giả sử là sai nên khẳng định được chứng minh
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
17 Trong một giải cờ vua có 8 kì thủ tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt, thắng được 1 điểm, hòa được 0,5 điểm, thua được 0 điểm Biết rằng sau khi tất cả các trận đấu kết thúc thì cả tám kì thủ nhận được các số điểm khác nhau và kì thủ xếp thứ hai có số điểm bằng tổng điểm của 4 kì thủ xếp cuối cùng Hỏi ván đấu giữa kì thủ xếp thứ tư và kì thủ xếp thư năm đã kết thúc và kết quả như thế nào?
DAPAN Sau khi giải đấu kết thúc số ván cờ đã thi đấu giữa 4 kì thủ cuối cùng là
( 4.3) : 2 = 6
0.25
Sau mỗi ván tổng số điểm của hai kì thủ đạt được là 1 Vì thế tổng số điểm s của 4
cầu thủ cuối cùng không ít hơn 6 điểm
Nếu s 6,5 thì số điểm của kì thủ xếp thứ hai là s 6,5
Do 8 kì thủ đước các số điểm khác nhau nên dễ thấy kì thủ xếp thứ nhất có số điểm
không ít hơn s + 0,5 7
0.25
Do kì thủ thứ nhất đấu 7 trận nên điều này chỉ xảy ra khi
s + 0,5 = 7
Suy ra s = 6,5 và kì thủ xếp thứ nhất thắng cả 7 ván Suy ra kì thủ xếp thứ hai
thắng không quá 6 ván và có số điểm 6< s vô lí 0.25 Vậy ta phải có s = 6 Điều này có nghĩa là các kì thủ xếp từ thứ năm đến thứ tám
chỉ giành điểm khi thi đấu với nhau mà thôi, ngoài ra thua tất cả các kì thủ khác
Do vậy kì thủ xếp thứ tư đã thắng kì thủ xếp thứ năm trong trân đối đầu trực tiếp
0.25
Trang 1218 Nền nhà hình chữ nhật được lát kín bằng các viên gạch hình chữ nhật kích thước 1x3 và 3 miếng hình chữ nhật 1x1 Hỏi có thể lát lại nền nhà ấy chỉ bằng một loại gạch 1x3 hay không ?
DAPAN
Ta có nhận xét sau: Nền nhà có ít nhất một kích thước là số nguyên chia hết cho 3
Thật vậy , giả thiết phản chứng không phải như vậy, khi đó hoặc kích thước của
nền nhà có dạng:
a) 3k + 1; 3q + 1, khi đó diện tích S của nền nhà là:
S = ( 3k + 1)(3q + 1) ⇒ S không chia hết cho 3
0.25
b) 3 k + 1; 3q + 2, khi đó diện tích S của nền nhà là:
S = ( 3k + 1)(3q + 2) ⇒ S không chia hết cho 3
c) 3 k + 2; 3q + 2, khi đó diện tích S của nền nhà là:
Như thế ta luôn có S không chia hết cho 3 ( 1)
Mặt khác, vì nền nhà đã cho lát kín được bằng các viên gạch 1x3 và 3 viên 1x1
Do đó S = 3n + 3, ở đây n là số viên gạch 1x3 dùng Như thế lại có S chia hết cho
3 0.25
Từ ( 1) và (2) suy ra vô lý, vậy giả thiết phản chứng là sai Nhận xét được chứng
minh
Quay trở lại bài toán: Lát viên gạch 1x3 theo chiều cạnh của hình chữ nhật có kích
thước chia hết cho 3 Làm như vậy sẽ lát kín được nền nhà đã cho mà chỉ phải
dùng một loại gạch có kích thước 1x3
Vậy có thể lát lại nền nhà ấy chỉ bằng một loại gạch 1x3
0.25