TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM

Thử chia đoạn 0,2 thành các khoảng rời nhau và chứng minh bất đẳng thức đúng trên từng khoảng.

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH

TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008

  

CHUYÊN ĐỀ :

TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

QUẢNG NAM

Giáo viên thực hiện: Ngô Tỵ

ĐẠI SỐ HOÁ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Bài toán 1:" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B = 

Chứng minh a + b 

4

5

c (# ) "

Trong các sách tham khảo- các tác giả chuyển đổi (#) thành hệ thức lượng giác trên cơ sở hệ thức sin và thực hiện các phép biến đổi lượng giác , đi đến một lời giải gọn gàng

1/ Tìm hiểu lời giải bài toán ( ở một khía cạnh khác )

Ta thử xác lập hệ thức liên hệ giữa độ dài các cạnh từ các dữ kiện của bài toán Ta có :

ac b c

C sin A sin B sin C sin

C sin ) B C sin(

) B C sin(

) B C sin(

C sin ) B C sin(

B C 2 B

3 A 2

C B A

2 2

2 2



















































π π

π

Bài toán ban đầu được phát biểu lại :

" Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac chứng minh : a + b 

4

5

c "

( Giả thiết và kết luận của bài toán đã xích lại gần nhau )

Việc chứng minh bài toán đại số này là không khó

Ta có a + b 

4

5

c  ac + bc 

4

5

c2  c2 - b2 + bc 

4

5

c2  c2 - 4bc + 4b2 0   2 0



 b

c (đúng )

2/ Khai thác lời giải bài toán :

Trên cơ sở đẳng thức c2 - b2 = ac được xác lập ta có thể tạo ra các bất đẳng thức khác - chẳng hạn : Từ phương trình bậc hai c2 - ac - b2 = 0 (c > 0 ) ta có nghiệm dương

c =

2

4 2

a



 2c a+ a 2 b2

b 6 a a b 4 a 3 4 a

c















b a

Một bài toán mới được xác lập :

" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B =  Chứng minh :

10 c  9a + 6b "

Bài toán 2: " Cho tam giác ABC thoả 2A+ 3B =  Tính độ dài các cạnh của tam giác biết

chúng là ba số tự nhiên liên tiếp "

( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh Quảng nam - 1999 - 2000 )

Từ giả thiết : 2A+ 3B =  với ABC là 3 cạnh tam giác ta suy ra :

Bài toán được phát biểu lại :

" a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp “

Từ dữ kiện a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac ta suy ra : c > a , c> b

Trường hợp : c > b > a a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp  a = n , b = n +1 , c= n +2

( n  N*) , kết hợp với c2 - b2 = ac suy ra (n+2) 2 – (n+1)2 = n.(n+2)

 2n + 3 = n2 + 2n  3 = n2 (!)

Trường hợp : c> a > b a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp  b = n , a = n +1 , c= n +2

( n  N*) , kết hợp với c2 - b2 = ac suy ra (n+2) 2 – n2 = (n+1).(n+2)

 4n + 4 = n2 + 3n +2  n2 -n -2 = 0  n = 2 , n = -1 ( loại )

Vậy độ dài các cạnh của tam giác là b = 2 , a = 3 , c = 4

VỀ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH

Bài toán : Chứng minh với mọi x ta có :

sinx + sin2x + sin3x <

2

3 3

( Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tỉnh quảng nam 2001-2002.)

 Các lời giải khác với đáp án

1/ Lời giải thứ nhất :

VT = 2 sin2x cosx + sin2x = 2 sin2x cosx+ 2 cosx sin x (#)

 4sin22x4cos2 xcos2 xsin2 x ( Bu nhia cốp xki )

= 4cos2 4sin2 1



x x

2

1 sin 4 cos





( bđt Cô si )

2

3 3 2

5



 Bất đẳng thức được chứng minh

 Khai thác lời giải thứ nhất :

+ Từ lời giải trên ta có bất đẳng thức chặt hơn :

" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x <

2

5 "

+ Ở dòng (#) nếu thay x bởi 2x ( hoặc -x , ) ta xác lập bất đẳng thức :

" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin3x + sin4x <

2

5 "

+ Ở dòng(#) nếu hoán đổi cosx và sinx cho nhau ta xác lập bất đẳng thức :

" Chứng minh với mọi x ta có : cosx + cos2x - cos3x <

2

1 "

2/ Lời giải thứ hai :

Vế trái bất đẳng thức là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 

Ta chỉ cần chứng minh bđt đúng với mọi x0,2 Thử chia đoạn (0,2 thành các khoảng rời nhau và chứng minh bất đẳng thức đúng trên từng khoảng

* nếu  x2 thì sinx0 khi đó

VT sin2xsin3x2

2

3 3



* nếu  x

2 thì sin2x0 khi đó

VT

2

3 3





* nếu

2 3







x thì sin3x0 khi đó

VT

2

3 3





* nếu

3

0x thì x , 2x ,  -3x 0,

VT = sĩn+sin2x+sin (3-x) 









   



3

3 2

sin

3 x x  x (bất đẳng thức Jen sen )

= 3sin

2

3 3

3 



Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong

 Khai thác lời giải thứ hai :

+ từ lời giải thứ hai bạn có thể xác lập được bất đẳng thức tương tự -chẳng hạn :

" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin4x <

2

3

3 "

BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

Bài tuán : a,b,c (0,1] -chứng minh :

1 a1 b1 c

3

1 c b a

1













 (đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam ) Tìm tòi lời giải : Ta thử làm chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh

Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ :

3

c b a 3 3

c 1 b 1 a 1 c 1 b

1

a

1



















Ta đi chứng minh bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức ban đầu :

c

b

a

1



3

3

c b a 3











   

( ) Bất đẳng thức bây giờ chỉ chứa mỗi một biến ” a + b + c”

Đặt S = a+b+c , 0 < S  3 Bất đẳng thức ( ) viết lại :

3

S 3 S S 3 9 3

S 3 S

S

3



















 





( 3 S )[ 9 S ( 3 S ) 2 ] 0









Vì 3-S  0 , để chứng minh () ta chứng minh : 9 - S(3-S)2  0 với 0 <S  3 Ta có :

3

) S 3 ( ) S 3 ( S 2 ( 2

1 ) S 3 )(

S 3 (

2

2















 9 - S(3-S)2  9 - 4 > 0 .() được chứng minh  bất đẳng thức ( ) được chứng minh  bất đẳng thức ban đầu được chứng minh

Dấu '' = ''xảy ra 1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3  a = b = c =1

        