đỉnh N, tuy nhiên số tam giác đôi một không có điểm trong chung chỉ tăng thêm 2 vì mất đi một tam giác chứa điểm N.. Khi đó có các trường hợp sau[r]
Trang 1CÂU 5 BỘ ĐỀ HSG 9 HP1516
1.(01BH) Co 13 con t c ke xanh, 15 con tac ke đ va 17 con t c ke vang trên m t honă o ă ô
đ o Khi hai con t c ke khac mau g p nhau, chung đ i sang mau con l i Li u co th đ na ă ă ô a ê ê ê
m t luc nao đo t t c cac con t c ke co cung mau hay không?ô â a ă
DAPAN
M i “tr ng thai” trên đ o g m a con t c ke xanh, b con t c ke đ va cô a a ô ă ă o
con t c ke vang v i a + b + c = 45 Phep bi n đ i sang mau se chuy nă ơ ê ô ê
t tr ng thai (a, b, c) sang m t trong ba tr ng thai (a – 1, b – 1, c + 2),ư a ô a
(a – 1, b + 2, c – 1) ho c (a + 2, b – 1, c – 1) ă
0,25
D th y (a – 1) – (b – 1) ≡ (a – 1) – (b + 2) ≡ (a + 2) – (b – 1) ≡ a – bê â
mod 3 B t bi n X = sai khac gi a s t c ke xanh va s t c ke đâ ê ư ô ă ô ă o
theo modulo 3
0.25
Luc đ u X ≡ 2 mod 3 va khi t t c cac t c ke cung mau thi X ≡ 0 modâ â a ă
Vi v y, trâ ương h p t t c cac con t c ke co cung mau không th x yơ â a ă ê a
2.(02BH). Vi t 11 s +1 va 01 s -1 lên đ nh c a 12 giac đ u Cho phep đ i d u c a cac sê ô ô i u ê ô â u ô trên k đ nh b t ky c a đa giac Co th hay không luôn chuy n s -1 sang đ nh k c a noi â u ê ê ô i ê u
n u ê
a) k = 3
b) k = 4
c) k = 6
DAPAN
Câu tr l i la ph đ nh trong c ba tra ơ u i a ương h p Ch ng minh cho cơ ư a
ba trương h p co th đơ ê ươc th c hi n nh sau: chung ta ch n cacư ê ư o
đ nh cach đ u nhau đung k – 1 đ nh (vi d khi k = 3 ta ch n đi ê i u o ươc 4
đ nh, khi k = 4 ta ch n đi o ươc 3 đi m va k = 6 ta ch n đê o ươc 2 đi m) ê
0,25
B t bi n c a chung ta la tich cac s trên cac đ nh đâ ê u ô i ươc ch no 0.25
Chung ta x p s -1 vao m t trong cac đi m đê ô ô ê ươc ch no 0,25
D ki m tra r ng n u s -1 đê ê ă ê ô ươc chuy n sang đ nh k thi tich cacê i ê
s trên cac đi m đô ê ươc ch n luc đo se la 1o 0,25
3.(03BH). Trên b ng vi t cac s 1, 2, …, 1000 m i ba ê ô Ơ ô ươc cho phep thay m t s b ngô ô ă
t ng cac ch s c a no Qua trinh d ng l i khi co toan cac s co m t ch s H i s s 1ô ư ô u ư a ô ô ư ô o ô ô con l i trên b ng nhi u h n hay s s 2 con l i trên b ng nhi u h n?a a ê ơ ô ô a a ê ơ
DAPAN
Trang 2Đap an Đi mê
N u chung ta vi t t t c cac s trên b ng theo modulo 9 thi cac sê ê â a ô a ô
nay se la b t bi n trong cac phep bi n đ iâ ê ê ô
0,25
N u chung ta vi t t t c cac s trên b ng theo modulo 9 thi cac sê ê â a ô a ô
nay se la b t bi n trong cac phep bi n đ iâ ê ê ô 0.25
Do đo cac s đ ng d 1 mod 9 nhi u h n cac s đ ng d 2 mod 9ô ô ư ê ơ ô ô ư
trong t p {1, …, 1000},â
0,25
s cac s 1 con l i trên b ng se nhi u h n s s 2 con l i trên b ngô ô a a ê ơ ô ô a a 0,25
4(04HB) Cho 2017 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 252 cm và chiều rộng 4 cm Vẽ 2017 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính √ 2
cm Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong
2017 điểm nói trên
DAPAN
Chia hình chữ nhật có chiều dài 252 cm và
chiều rộng 4 cm thành 252.4 = 1008 hình
vuông có độ dài cạnh là 1cm
=> 2017 điểm phân biệt nằm bên trong hình chữ nhật chứa 1008 hình vuông
Có 2017 : 1008 = 2 (dư 1) => Tồn tại it nhất một hình vuông có độ dài cạnh 1
cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2017 điểm đã cho (Theo nguyên lý Đi – rich
Hình vuông có độ dài cạnh là 1 cm => khoảng cách lớn giữa hai điểm thuộc
Không mất tính tổng quát, giả sử 3 điểm đó là A, B, C
=> AB ≤ √ 2 cm , AC ≤ √ 2 cm
=> Ba điểm A, B, C thuộc (A; √ 2 cm) (2) 0,25 đ
Từ (1), (2) suy ra tồn tại ít nhất một hình tròn có tâm là một trong 2017 điểm 0,25 đ
1
2 2
Trang 3Tô đen 09 ô c a hinh vuông 10 × 10 M i l n tô mau đen m t ô ch a tô n u no k v i itu ô â ô ư ê ê ơ
nh t hai ô đen ( k đâ ê ươc hi u la chung c nh) Co th tô mau h t ban c hay không? N uê a ê ê ơ ê
la 10 ô thi sao? N u la hinh vuông n × n thi luc đ u c n tô đen it nh t bao nhiêu ô đ coê â â â ê
th tô đen c ban c ?ê a ơ
DAPAN
Vi d ta co th b t đ u v i 10 ô đen trên đu ê ă â ơ ương cheo chinh c a hinh vuông.u
Xet X la t ng chu vi c a ph n tô đen trên hinh thi luc đ u X ≤ 36 D ki m tra Xô u â â ê ê
la n a b t bi n, c th , X la không tăng N u c ban c đư â ê u ê ê a ơ ươc tô mau thi luc nay
X= 40, mâu thu n.â
0,25
V y, không th tô đen đâ ê ươ ac c ban c n u xu t phat v i 9 ô mau đen.ơ ê â ơ 0,25
6.(06BH). Trên b ng vi t cac s 1, 2, 3, 4, 5 M i ba ê ô ô ươc cho phep ch n hai s a, b va thayo ô
b i a + b, ab H i co thu đơ o ươc 21, 27, 64, 180, 540 hay không?
DAPAN
Trươc h t ta ki m tra r ng s cac s chia h t cho 3 không gi m va s lê ê ă ô ô ê a ô ương
nay tăng khi va ch khi t hai s chia 3 d 1 va chia 3 d 2 chung ta thu đi ư ô ư ư ươc
m t s chia h t cho 3 va m t s chia h t cho 2.ô ô ê ô ô ê
0,5
Vi v y, khi chung ta l n đ u tiên chuy n sang tr ng thai co 4 s chia h t cho 3â â â ê a ô ê
thi s con l i chia 3 d 2, nh ng 64 chia 3 d 1 nên câu tr l i se la ph đ nhô a ư ư ư a ơ u i 0,5
7.(07BH). Bên trong hinh vuông co đ dai c nh b ng 1 đ t m t s đô a ă ă ô ô ương tron co t ngô chu vi b ng 10 Ch ng minh r ng luôn t n t i m t đă ư ă ô a ô ương th ng c t it nh t b n trong să ă â ô ô cac đương tron đã cho
DAPAN
Trang 4Chi u t t c cac đê â a ương tron đã cho lên c nh AB c a hinh vuông ABCD Hinh a u
chi u c a đê u ương tron co chu vi b ng 1 la m t đo n th ng co đ dai ă ô a ă ô
1
0.25
Do đo t ng đ dai cac hinh chi u c a t t c cac đô ô ê u â a ương tron đã cho b ng ă
10
0,25
Vi
10
3 3AB
nên trên đo n th ng AB co m t đi m thu c hinh chi u c a it a ă ô ê ô ê u
nh t 4.â
đương tron Đương vuông goc v i AB t i đi m đo se c t it nh t 4 đơ a ê ă â ương tron
0,25
8.(08BH) Ch ng minh r ng ban c 10x10 ô không th chia ra đư ă ơ ê ươc thanh cac hinh co
d ng ch T g m 4 ô đa ư ô ươc
DAPAN
Gi s ban c 10x10 ô co th chia ra thanh cac hinh ch T nh v ya ư ơ ê ư ư â 0,25
M i hinh ch T co 1 ho c 3 ô đen t c luôn la m t s l T ng s cac hinh chô ư ă ư ô ô ẻ ô ô ư
T b ng ă
100
25
0.25
Do đo chung co t ng c ng la m t s l cac ô đen ô ô ô ô ẻ 0,25
Nh ng t ng s cac ô đen trên ban c 10x10 la 50 ô (mâu thu n).V y ta coư ô ô ơ â â
9.(09BH). Đay h p hinh ch nh t đô ư â ươc x p khit b i nh ng mi ng g kich thê ơ ư ê ô ươc 2x2 va 1x4 Cac mi ng g đê ô ươc đ ra kh i h p va b m t đi m t mi ng kich thô o ô i â ô ê ươc 2x2 Thay vao đo l y m t mi ng g kich thâ ô ê ô ươc 1x4 Ch ng minh r ng bây gi không th x p khitư ă ơ ê ê đay h p b ng nh ng mi ng g nay đô ă ư ê ô ươc n a.ư
Trang 5Tô đay h p b ng hai mau nh hinh ve:ô ă ư
0,25
Khi đo m i mi ng g kich thô ê ô ươc 2x2 ph đung m t ô đen, con mi ng gu ô ê ô
Do đo s ô đen c a đay h p la ch n hay l tuy thu c vao s mi ng g 2x2ô u ô ẵ ẻ ô ô ê ô
dung đ ghep la ch n hay lê ẵ ẻ
0,25
Khi thay m t mi ng g 2x2 b ng m t mi ng g 1x4 tinh ch n l c a sô ê ô ă ô ê ô ẵ ẻ u ô
mi ng g 2x2 b thay đ i nên không th x p khit đay h p đê ô i ô ê ê ô ươc n a.ư 0,25
10.(10BH). Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100
DAPAN
m Bài 5b
(1
điểm)
Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra hai
số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100
Giải:Tất cả các số dư trong phép chia cho 100 được chia thành 51
nhóm như sau: {0} ;{1;99},{ 2;98}, … ,{49;51}; {50 }
0,25
Có 52 số nên theo nguyên tắc Dirichlet có hai số mà các số dư khi chia
cho 100 thuộc cùng một nhóm trên
0,5
Hai số này có hiệu chia hết cho 100 (Nếu số dư của chúng bằng nhau )
hoặc có tổng chia hết cho 100 (nếu số dư của chúng khác nhau)
0,25
Trang 6Vậy luôn chọn được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài
11(11BH). Trên một đường tròn ta viết theo chiều kim đồng hồ 2 số 1 và 48 số 0 theo thứ tự 1,
0, 1, 0, …, 0 Ta thực hiện phép biến đổi các số trên đường tròn như sau: tại mỗi bước chọn hai
số bất kì nằm liền kề nhau, giả sử là x và y rồi thay x bởi x và thay y bởi 1 y Chứng1 minh rằng không thể thu được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn các phép biến đổi như trên
DAP AN
Câu
( 1,0
điểm)
( 1,0 điểm)
Kí hiệu các số trên đường tròn lần lượt theo chiều kim đồng hồ là
1, , ,2 50
x x x với x11,x2 0,x3 1,x4 0, ,x50 0
Xét tổng I x1 x2 x3 x4 x5 x6 x49 x50
Ta có I = 2
0,25
Giá trị của I không thay đổi khi thay thế cặp số liền kề nhau x y , bởi
cặp số x 1, y 1
0,25
Giả sử thu được dãy 50 số bằng nhau thì khi đó ta có I = 0, mâu thuẫn
với I = 2
0,25
Vậy không thể nhận được một dãy 50 số bằng nhau sau một số hữu hạn
các phép biến đổi
0,25
12(12BH). Lấy 2013 điểm ở bêntrongcủamộttứgiácđểcùngvới 4đỉnh ta được 2017 điểm, trongđókhôngcó 3 điểmnàothẳnghàng Biếtdiệntíchcủatứgiác ban đầulà 1cm2 Chứng minh rằngtồntại 1 tam giáccó 3 đỉnhlấytừ 2017 điểmđãchocódiệntíchkhôngvượtquá4028
1
cm2
DAPAN
Xét tứ giác ABCD có diện tích bằng 1 cm2 Với điểm thứ nhất M ta
có 4 tam giác chung đỉnh M đôi một không có điểm trong chung 0,25
Trang 7(1,0 điểm)
đỉnh N, tuy nhiên số tam giác đôi một không có điểm trong chung chỉ tăng thêm 2 vì mất đi một tam giác chứa điểm N
Số tam giác không có điểm trong chung lúc này là 4+2.h( h là số điểm còn lại sau điểm thứ nhất)
Tương tự với 2011 điểm còn lại,cuối cùng số tam giác không có điểm trong chung là:4+2+2011.2=4028 Tổng diện tích của 4028 tam giác đó bằng 1cm2 nên tồn tại ít nhất một tam giác có diện tích không vượt quá
2
4028
1
cm
0,25
0,25
13(13BH).Cho2015
điểmtrênmặtphẳng.Biếtrằngtrongbađiểmbấtkìtrongsốcácđiểmđóluônluôntồntạihaiđiểmcáchnha unhỏhơn 1.Khiđótồntạihìnhtròncóbánkínhbằng 1 chứakhôngíthơn 1008 điểmđãcho
DAPAN
7
(1,0 điểm)
Lấy M là mộttrong 2015 điểmđãcho
Xét hình tròn O1(M;R=1) Khi đó có các trường hợp sau 0,25 TH1 Nếu 2015 điểm đã cho nằm trong O1 thì kết luận của bài toán
TH2 Tồn tại điểm N không trùng điểm M(N thuộc trong số 2015 điểm đã cho) sao cho N không thuộc O1 Vì B khôngthuộc O1nên
AB > 1
0,25
Xét hình tròn O2 (N;R=1) P là một điểm bất kì trong số 2015 điểm
đã cho sao cho điểm P không trùng điểm M; P không trùng N Nên
PM hoặc PN đều nhỏ hơn 1
Suy ra đường tròn O1 và O2 chứa 2015 điểm đã cho
Vì vậy theo nguyên lí Đirichlet, ít nhất một trong hai hình tròn O1
và O2 nói trên chứa không ít hơn 1008 điểm đã cho (đpcm)
0,25
14(114BH) Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,… (Số đứng sau được
viết 48 vào giữa sốđứngtrước)
Chứng minh rằngtấtcảcácsốviếttheoquyluậttrênđềulàsốchínhphương
DAPAN
7
(1,0 điểm) Ta có:
A =
4 44 4
⏟88 8⏟9
= 9 + 8.10 + 8.102 +…+ 8.10n + 4.10n+1 + +10n+2… +4.102n+1
Ta viết 9 = 1+4+4 và 8 = 4+4 ta được:
0,25
Trang 8A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).102+…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+…
+4.102n+1
= 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1) = 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1)
= 1+4
10n+1−1
102 n+2−1
9+4 10n+1−4 +4 102 n+2− 4
9 =
4 102n+2+ 4 10n+1+ 1
9 = ( 2.10 3n+1+1 )2
Ta có: 2.10n+1+1 ⋮ 3 (Cótổngcácchữsố chia hếtcho 3) Nênsốtrongngoặctạothànhmộtsốchínhphương Suyra A làsốchínhphương
0,5
0,25
15(15BH) Có mộtngườingàynàocũngchơicờ nhưngmộttuầnchơikhông quá 13 ván Chứng
minh rằng có mộtsố ngàyliêntục mà tổngsố váncờ củangườichơiđúngbằng 20
DAPAN
7
(1,0 điểm)
Xétsố váncờ củabatuầnliêntiếp
Giả sử ngàythứ k có số váncờ chơiđược là a k (1≤k ≤21)
Vì số váncờ chơiđượcmỗituầnkhông quá 13 nên
a1+a2+a3+ +a21≤3⋅13=39 Xétdãytổng:
S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
S21=a1+ +a21
Theo Đirichletrongcácsố S1;S2; S3; ; S21 nóitrênthì tồntại 2 số
chia cho 20 có cùngsố dư =>hiệucủahaisố đó chia hếtcho 21
Vì cácsố S1;S2; S3; ; S21 đềukhácnhauvà khôngvượt quá 39
nêntồntại 2 số có hiệubằng 20 Vậybàitoánđượcchứng minh
0,25
0,25
0,25 0,25
Vinh quang không đến với kẻ lười biếng !