- HS tiếp tục được củng cố các hằng đẳng thức đáng nhớ. - Biến đổi thành thạo các biểu thức hữu tỉ. - Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập. Tính tổng của tất cả[r]
Trang 1Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số- Phần 2
A Mục tiêu:
- HS tiếp tục được củng cố các hằng đẳng thức đáng nhớ
- Biến đổi thành thạo các biểu thức hữu tỉ
- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập
B Phương tiện:
- GV: giáo án, tài liệu Casio
- HS: Máy tính Casio
C Nội dung bài giảng:
B – biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 5
a) Chứng minh rằng phân số 3n 1
5n 2
+ + là phân số tối giản ∀n∈N ; b) Cho phân số
2
n 4 A
n 5
+
= + (n∈N) Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân
số A chưa tối giản Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó
Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) ⋮ d hay 1 ⋮ d ⇒ d = 1
Vậy phân số 3n 1
5n 2
+ + là phân số tối giản
b) Ta có A n 5 29
n 5
= − +
+ Để A chưa tối giản thì phân số
29
n + 5 phải chưa tối giản Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ước dương lớn hơn 1 của 29
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 ⋮ 29 ⇒ n + 5 = 29k (k ∈ N) hay n = 29k – 5
Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 ⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng của các số này là :
29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690
Ví dụ 6 Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1
a + + = b c a b c
+ + Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau Từ đó suy ra rằng :
Trang 22009 2009 2009 2009 2009 2009
Lời giải
Ta có : 1 1 1 1
a + + = b c a b c
a + b + − c a b c =
+ +
⇔ a b a b 0
+ +
⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔
+ =
+ =
+ =
⇔
= −
= −
= −
⇒ đpcm
Từ đó suy ra : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091
a + b + c = a + ( c) + c = a
−
2009 20091 2009 2009 12009 2009 20091
⇒ 20091 20091 20091 2009 20091 2009
Ví dụ 7 Đơn giản biểu thức :
A
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2− 2P
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3− 3SP
Do đó : 1 1 a b S ;
+
;
.
Trang 3Ta có : A =
=
Hay A = 13 31 3.
Ví dụ 8 Cho a, b, c là ba số phân biệt Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x :
S(x)
Lời giải
Cách 1
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
2 – Bx + C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
B a b b c c a
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
Ta có : A b a c b a c 0
(a b)(b c)(c a)
− + − + −
(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
=
0 (a b)(b c)(c a)
Trang 4
ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) 1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
Vậy S(x) = 1∀x (đpcm)
Cách 2
Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vượt quá 2 Do đó, P(x) chỉ có tối
đa hai nghiệm
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ⇒ a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x)
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 ∀x
Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ đpcm
Ví dụ 9 Cho x 1 3
x + = Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) A x2 12
x
= + ; b) B x3 13
x
= + ; c) C x4 14
x
= + ; d) D x5 15
x
= + Lời giải
a)
2 2
2
= + = + − = − =
b)
3 3
3
= + = + − + = − =
c)
2
= + = + − = − =
d) A.B x2 12 x3 13 x5 1 x 15 D 3
= + + = + + + = +
Ví dụ 10 Xác định các số a, b, c sao cho : 2 2 ax2 b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
Trang 5Lời giải
Ta có :
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
Đồng nhất phân thức trên với phân thức 2 2
(x + 1)(x − 1), ta được :
+ = = −
− = ⇔ = −
− = =
Vậy 2 2 2x 1 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1
− −
Bài tập
1 Cho phân thức
n 2n 1 P
n 2n 2n 1
= + + + a) Rút gọn P ;
b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm được trong câu a) tại
n luôn là một phân số tối giản
2 a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n :
12n 1
; 30n 2
+ +
3
n 2n
;
n 3n 1
+ + + 2
2n 1 2n 1
+
− b) Chứng minh rằng phân số
8
n n 1
+ + không tối giản với mọi số nguyên dương n c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho
2
n 5
n 1
+ + là phân số chưa tối giản
3 Tính các tổng sau :
a) A 3 2 5 2 2n 1 2
(1.2) (2.3) [n(n 1)]
+
+ ;
Trang 6c) C 1 1 1 1
1.4 4.7 7.10 (3n 1)(3n 4)
d) D 1 1 1
1.3 2.4 n.(n 2)
+ ;
1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1)
− + ; f) F 1.2! 2.3!2 n.(n n 1)!
+
= + + + (k! = 1.2.3…k)
4 Rút gọn :
2
(a b c )(a b c) (bc ca ab) A
(a b c) (ab bc ca)
=
5 Rút gọn :
(a 2b) (a 2b) 3a 7a b 3b
(2a b) (2a b) 4a 7a b 3b
=
6 Thực hiện các phép tính :
a)
;
a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
;
7 a) Biết a – 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức : P 3a 2b 3b a
b) Biết 2a – b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức : Q 5a b 3b 3a
c) Biết 10a2 –3b2 + 5ab = 0 và 9a2 – b2 ≠ 0, hãy tính : R 2a b 5b a
8 Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) A 2 12 2 2 12 2 2 12 2
Trang 7b)
B
9 Rút gọn biểu thức :
=
+ + + +
−
+ + + Chứng minh rằng
0
11 Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và a b c 0
x + y + = z Chứng minh rằng
ax2 + by2 + cz2 = 0
12 Cho x2 – 4x + 1 = 0 Tính giá trị của các biểu thức A = x5 + 15
x và B = x
7 + 17
x
13 Cho 2 x 2008.
2
x M
=
2
x N
=
14 Cho dãy số a1, a2, a3, … sao cho : 1
2 1
a
−
= + ;
2 3 2
a
−
= + ; … ;
n 1 n
n 1
a
−
−
−
=
+
a) Chứng minh rằng a1 = a5
b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019
Trang 8Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
Email: sach.toan.online@gmail.com