Các dạng bài tập và phương pháp Dạng 1: Tìm điều kiện xác định có nghĩa, tồn tại của biểu thức.. Tìm điều kiện xác định của biểu thức A... 3 Lời bình: Nhìn chung đây là dạng toán dễ c
Trang 11
CHUYÊN ĐỀ 1:
CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Phần I Kiến thức cơ bản:
1 Căn bậc hai:
1) A xác định khi A 0
2) 2
3) AB A B (A 0; B 0)
4) A A
B B (A 0; B 0)
A B A B (B 0)
6) A B = A B2 (A 0; B 0)
A B = - 2
A B (A 0; B 0)
7) A 1 AB
B B (AB 0 và B 0)
8) A A B
B
B (B 0)
A B
A 0,A B )
A B
A B (A 0,B 0,A B)
Chú ý:
) a b a 2 b 2 ( a b)( a b) (với a,b 0)
) a a b b a 3 b 3 a b a ab b (với a,b 0)
) a a b b a 3 b 3 a b a ab b (với a,b 0)
2 Căn bậc ba:
1) A B 3 A 3 B
2) 3 A B 3 3 A.B
Trang 22
3) 3 3
3
B B (B 0)
Phần II Các dạng bài tập và phương pháp
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định (có nghĩa, tồn tại) của biểu thức
A) Phương pháp: Dựa vào định nghĩa căn thức bậc hai
A xác định khi A 0
1
A xác định khi A 0
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức 3x 12
Phân tích: Ta xét điều kiện 3x 2 0 (Chú ý không được xét 3x 12 0)
Lời giải:
Ta có: 3x 12 xác định khi 3x 2 0 x 2
3
Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: 32
x
Phân tích: Đây vẫn là bài toán tìm điều kiện của biểu thức chứa căn, tuy nhiên
ta thêm điều kiện của biến nằm dưới mẫu
Lời giải:
Ta có: 32
x có nghĩa khi 2
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
2 2x 3
x 5
Phân tích: Đây là bài tập kết hợp nhiều điều kiện Ta đi tìm từng điều kiện đơn
lẻ rồi kết hợp lại
Lời giải:
Điều kiện:
3
x 5 2
2
x 5 0
x 5
Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2
x x 1
Phân tích: Trong nhiều biểu thức thông qua biến đổi ta có thể nhận xét được
dấu của biểu thức đó
Lời giải:
Trang 33
2
Vậy biểu thức được xác định với mọi x R
B) Vận dụng:
Bài tập: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
5
4)
2
3
x 1
5 2x 6) 2
x 3x 2
x 3
2x 4x 5
Hướng dẫn:
6)
2
x 1 0
x 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0
x 1
x 1 0
x 2 0
7) 3 x 5
8) 2 2 2
2x 4x 5 2(x 2x 1) 3 2(x 1) 3 0 (với x)
C) Bài tập tự luyện
I Trắc nghiệm:
Câu 1 (Cần Thơ năm 18-19) Điều kiện của x để 4 x có nghĩa là
A x 4. B x 1.
4 C x 1.
4 D x 4.
- Đáp án: D
Câu 2 (Cần Thơ năm 18-19) Giá trị của x thỏa mãn 8 4x 2 là
A x 3.
2 B x 1. C x 1. D x 3.
2
- Đáp án: C
Câu 3 (Bắc Giang năm 19-20) Tất cả các giá trị của x để biểu thức x 3 có
nghĩa là
- Đáp án: A
Trang 44
Câu 4 (Bắc Giang năm 19-20) Với x 2 thì biểu thức 2
(2 x) x 3 có giá
trị bằng
A 1. B 2x 5. C 5 2x D 1.
- Đáp án: A
Câu 5 (Cần Thơ Năm 19-20) Điều kiện của x đề biểu thức 2x 4 có nghĩa là
A x 1.
2 B x 2. C x 2. D x 1.
2
- Đáp án: B
Câu 6 Tất cả các giá trị của xđể biểu thức 2
x 6x 9 xác định là
A x 6 B x 3 C x 3 D x 3
- Đáp án: D
Câu 7 Tất cả các giá trị của xđể biểu thức
3 2
x 3 P
x 3x 2 xác định là:
A x 1;x 2 B x 2 C x 1;x 3 D x 3
- Đáp án: A
II) Tự luận
Bài 1 (Lai Châu năm 19-20) Cho biểu thức
M
4 x
các giá trị thực của x để biểu thức có nghĩa?
Bài 2 (Thanh Hóa 12-13) Cho biểu thức
2 2
A
1 a
2 2 a 2 2 a Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
Bài 3 (Nghệ An 12-13) Cho biểu thức
kiện xác định của biểu thức A
Bài 4 (Đồng Nai 19-20) Tìm các số thực x để biểu thức
3 2
1
M 3x 5
x 4
xác định
Hướng dẫn
Bài 1: Điều kiện:
x 0
(*)
x 4
x 2 0
4 x 0
Trang 55
Bài 2: Điều kiện:
a 0
2 2 a 0
1 a 0
a 0
2 2 a
aa01 Bài 3: Điều kiện: x > 0 và x 4
Bài 4: Biểu thức M xác định
.
Vậy biểu thức M xác định khi và chỉ khi x 5,x 2.
3
Lời bình: Nhìn chung đây là dạng toán dễ của chuyên đề vì vậy trong các đề thi thường được đưa vào trong các câu hỏi trắc nghiệm mang tính nhận biết, thông hiểu Tuy nhiên dạng toán này lại đóng vai trò gián tiếp trong các bài toán phức tạp như: rút gọn căn thức, giải phương trình vô tỉ, …
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Dạng 2.1 Rút gọn biểu thức chứa số (không chứa biến)
A) Phương pháp:
- Dùng hằng đẳng thức 2
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tạo bình phương, khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu (Nhân biểu thức liên hợp)
Ví dụ 1: (Vũng Tàu 18-19) Rút gọn biểu thức: 3 12
3
Phân tích: Nhìn vào biểu thức chúng ta thấy đây là bài áp dụng công thức trực
tiếp
Lời giải:
3
Ví dụ 2: (Lạng Sơn 18-19) Tính giá trị các biểu thức sau: B 11 52 5
Phân tích: Dễ thấy biểu thức dưới dấu căn là một bình phương nên ta sử dụng
hằng đẳng thức 2
A A để rút gọn
Lời giải:
Ta có: B 11 52 5=11 5 5 11
Trang 66
Ví dụ 3: (Bình Dương 18-19) Rút gọn biểu thức A 5 22 40
Phân tích: Chỉ cần chúng ta khai triển được hằng đẳng thức:
5 2 2 5 2 2 5 2 2 2 7 2 10 là giải quyết được bài toán
Lời giải:
Ta có: A 5 22 40 7 2 10 2 10 7
Ví dụ 4: (Nam Định 19-20) Rút gọn biểu thức A 2 3 2 3
Phân tích: Đây là bài toán có dạng tổng quát A 2 B
Ta viết biểu thức dưới dấu căn thành bình phương:
A 2 B a b a b a b (chú ý a b)
Trong đó:
a b A a.b B
Lời giải:
Cách 1:
4 2 3 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1 3 1 2 3
Suy ra A = 6
Cách 2: Ta có: A2
=2 3 2 4 3 2 3 6
Do A > 0 nên A = 6
Ví dụ 5: Rút gọn các biểu thức:
M
1 2 1 2 Phân tích: Ta đi phân tích tử, mẫu thành nhân tử rồi rút gọn
Chú ý khi làm bài chúng ta không nên đi quy đồng hoặc trục căn ở mẫu luôn
Lời giải:
Ví dụ 6: (Bà Rịa–Vũng Tàu 19-20) Rút gọn biểu thức:
2
Phân tích: Ta có mẫu số của biểu thức là 3 7 và số 2 Nếu ta đi quy đồng
Trang 77
thì vẫn có thể rút gọn được nhưng phức tạp Vì vậy thay cho việc quy đồng trực tiếp ta đi trục căn ở mẫu bằng cách nhân với biểu thức liên hợp của nó để đưa mẫu về 1 số nguyên đơn giản
Chú ý: a b và a b là 2 biểu thức liên hợp
a b và 2 2
a ab b là 2 biểu thức liên hợp
a b và 2 2
a ab b là 2 biểu thức liên hợp
Lời giải:
2 3 7
3 7 7 2 1
Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức:
C
Phân tích: Nếu bài này ta quy đồng các mẫu thì sẽ thấy sự phức tạp của bài
toán Còn nến chúng ta sử dụng trục căn thức tương tự ví dụ 6 thì bài toán trở nên đơn giản
Lời giải:
Ta có:
B) Vận dụng
Bài 1 Rút gọn biểu thức
a) A 32 6 3 22
11 (Đắc Lắk 19-20)
b) B = 3 3 – 3 1 2 2 27 (Hải Phòng 1819)
c) C 12 18 82 3 (Đà nẵng 19-20)
1
5 2 (Cần Thơ 18-19)
Hướng dẫn C) Bài tập tự luyện
Bài 1 (Lai Châu 19-20) Rút gọn các biểu thức sau:
a) 3 4 2 25 4 9
b) 3 3 5 12 2 27
Bài 2 (Lâm Đồng 19-20)
Trang 88
a) Tính 27 4 12 3
b) Rút gọn biểu thức
B
7 2 8 3 7
Bài 3 Rút gọn biểu thức sau:
a) A 3 2 2 3 2 2 (Nam Định 19-20)
3 2 (Quảng Nam 19-20)
Bài 4 (Thái Nguyên 19-20) Chứng minh 2
A 2 5 6 ( 5 1) 2018 là một
số nguyên
Bài 5 (Vĩnh Long 19-20) Tính giá trị biểu thức:
a) A 2 48 3 75 2 108
b) B 19 8 3 19 8 3
Hướng dẫn
Dạng 2.2 Rút gọn biểu thức chứa chữ (chứa biến)
A) Phương pháp: Làm theo các bước sau:
- Tìm điều kiện xác định của biểu thức
- Quy đồng mẫu thức
- Rút gọn biểu thức
Ví dụ 1: (Hà Nội 19-20) Rút gọn biểu thức
x 25 x 5 x 5
Phân tích: Trong bước tìm điều kiện của x chúng ta không cần trình bày bước
tìm khi đề bài không yêu cầu mà chỉ cần ghi kết quả của điều kiện là đủ
Trong bước quy đồng chúng ta phải chú ý mẫu thức:x 25 x 5 x 5
Lời giải:
Với x 0, x 25, ta có:
Trang 99
Ví dụ 2 (Hải Dương 18-19) Rút gọn biểu thức:
x x x 1 x 2 x 1 với x 0; x 1
Phân tích: Với những bài toán có sẵn điều kiện của x thì chúng ta chỉ thực hiện
bước rút gọn và không phải tìm lại điều kiện Với bài này ta thực hiện quy đồng biểu thức trong ngoặc và chú ý mẫu x 2 x 1 x 12
Lời giải:
Với x 0; x 1, ta có:
2
Ví dụ 3: (Hải Phòng 18-19) Rút gọn các biểu thức:
M =
Phân tích: Đối với nhiều bài tập ở dạng đơn giản thì bước quy đồng có thể
chúng ta không cần phải thực hiện Chú ý tử và mẫu ở các số hạng có thể rút gọn được
Lời giải:
Với x 0; x 1, ta có:
M =
1 x 1 x 1 x.
Trang 1010
Ví dụ 4: (Lai Châu 19-20) Cho biểu thức
M
4 x
a) Tìm các giá trị thực của x để biểu thức có nghĩa?
b) Rút gọn biểu thức
Phân tích: Khi quy đồng chúng ta thường có 1 chú ý là: các mẫu có bậc thấp
hơn thường là một nhân tử của mẫu bậc cao hơn
Cụ thể: 2 mẫu x 2 và x 2 là 2 nhân tử của mẫu 4 x hay x 4
(có thể khác nhau về dấu)
Bài 7:
x 2 x 2 (với x 0và x 4)
x 4
x 2 x 2 x 4
x 4 x 4
x 4
Lời bình: Dạng toán này rất phong phú vì thế học sinh cần rèn luyện nhiều
để nắm được “mạch bài toán” và tìm ra hướng đi đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp Đây là dạng toán thường có trong các đề thi, nếu học sinh không rút gọn được biểu thức sẽ dẫn đến các ý sau cũng không làm được và mất điểm
cả câu
Dạng 3: Các bài toán sau rút gọn – Bài tổng hợp A) Phương pháp:
Ví dụ 1: Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A
b) Tìm a để A = 5
c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2
d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên
e) Tìm a để A < 1
Hướng dẫn:
2
Trang 1111
a) ĐKXĐ: 0
1 0
a a
0 1
a a
a 1
a 1
b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất)
Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình
Ta có: A 5 1 5
1
a a
a 1 5( a 1) a 1 5 a 5 4 a 6
a a
Vậy với a = 9
4 thì A = 5
c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai)
Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực
hiện các phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị a rồi thay vào)
2 2 2 1 ( 2) 2 2.1 1 ( 2 1)
Suy ra a 2 1 2 1
Ta được: A = 2 1 1 2 2 1 2
d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba)
Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú
ý điều kiện xác định
Ta có: A = 1
1
a a
= 1 +
2 1
a
Để A nguyên thì 2
1
a nguyên, suy ra a1 là ước của 2 (vì a )
Ta có các trường hợp:
1 1
0
1 1
4
1 2
9
1 2
a
a a
a a
a a
(TMĐK)
Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên
e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ tư)
Trang 1212
Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng M
N < 0 (hoặc M
N > 0) trong
đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến
1
1
a
a
< 1
1 1
a a
- 1 < 0
1
a a a
< 0
1
a < 0 a1 < 0 a <1
Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra 0 a < 1
Ví dụ 2: Cho biểu thức: A ( x 2 ) : 1
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ x > 0; x1
Rút gọn:
1
1 : ) ) 1 (
2 1
( 1
1 : ) 2 1
(
x x
x x
x x
x x x
x A
2
1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm)
Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức
(BĐT Côsi cho hai số dương)
min
2
x
B) Bài tập vận dụng
Bài 1: (Thanh Hóa 18-19)
x 4 x 4 x 2 x x 2
2 Tìm tất cả các giá trị của x để A 1
3 x
Còn nữa