Chuyên đề 02 hàm số và các bài toán liên quan kit1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: 3 2Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện t

Trang 1

TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ðể có thể nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm bậc ba, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

a<0 CT

CD

Trang 2

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Khảo sát hàm bậc ba

ðồ thị có cực ñại, cực tiểu ⇔ y'=0 có 2 nghiệm phân biệt

- ðồ thị không có cực trị ⇔y'=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn

a>0

a<0

Trang 3

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: 3 2

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện

thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,

củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm bậc ba ðể sử dụng hiệu

quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 4

Hàm số ñồng biến trên cả tập xác ñịnh; hàm số không ñạt cực trị

y′′ =6x− =6 0⇔x = ⇒1 y = ðiểm uốn là I(1;1) 1

Giao ñiểm với trục hoành:

Cho y =0⇔x3−3x2 +3x =0⇔x = 0Giao ñiểm với trục tung:

Cho x =0⇒y = 0

ðồ thị hàm số (như hình vẽ bên ñây):

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y= −x3+6x2−9x+ 4

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện

thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,

củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm bậc ba ðể sử dụng hiệu

quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 5

y

1 2

Hàm số ñồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–∞;1), (3;+∞)

Hàm số ñạt cực ñại yCð = 4 tại xCð = 3 ; ñạt cực tiểu yCT = tại 0 xCT = 1

y′′ = −6x+12= ⇔ = ⇒0 x 2 y = ðiểm uốn là I(2;2) 2

Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4

ðồ thị hàm số: nhận ñiểm I làm trục ñối xứng như hình vẽ bên ñây

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: y =2x3 +3x2 − 1

Trang 6

-Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: 1 3 2

Hàm số ñồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–∞;1), (3;+∞)

Hàm số ñạt cực ñại yCð = 0 tạixCD = ; ñạt cực tiểu 3 CT 4

I −

33

Trang 7

Hàm số ñồng biến trên khoảng (–1;1) ; nghịch biến trên các khoảng (–∞;–1), (1;+∞)

Hàm số ñạt cực ñại yCð = 3 tại tại xCD = 1

ñạt cực tiểu yCT = − tại 1 xCT = − 1

y′′ = −6x =0⇔x =0⇒y = 1

ðiểm uốn là I(0;1)

Giao ñiểm với trục tung: cho x =0⇒y = 1

Trang 8

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Khảo sát hàm trùng phương

y= − x +x −4) TK – 2010:

ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ðể có thể nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm trùng phương, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

a>0

CD

Trang 9

- ðồ thị ñối xứng nhau qua Oy

Trang 10

-Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = −x4+4x2−3

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y =x2(4−x2)

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y =x4 +2x2−3

Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:

4

2 42

x

y = −x −

Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y =(x2−2)2−1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa học

Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm

tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm trùng phương ðể sử

dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 11

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y = −x4+4x2− 3

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞ −; 2),(0; 2),

nghịch biến trên các khoảng (− 2; 0),( 2;+∞ )

Hàm số ñạt cực ñại yCð = 1 tạixCD = ± 2, ñạt cực tiểu yCT = –3 tại x =0

33

x x

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa học

tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm trùng phương ðể sử

dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 12

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞ −; 2),(0; 2),

nghịch biên trên các khoảng (− 2; 0),( 2;+∞ )

x x

Bảng giá trị: x − 2 − 2 0 2 2

y 0 0 0 4 0

ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y =x4 +2x2− 3

Trang 13

x y

-3

x y

ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây

Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:

4

2 42

Bảng giá trị: x –2 –1 0 1 2

Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số: y =(x2−2)2− 1

Trang 14

Hàm số ñồng biến trên các khoảng (− 2; 0),( 2;+∞ , )

nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 2),(0; 2)

33

x x

Bảng giá trị: x –2 –1 0 1 2

y 3 –1 3 –1 3

Trang 15

=+ 2) ðHKA – 2011: 1

x y x

ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ðể có thể nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm phân thức, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Trang 16

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Khảo sát hàm phân thức

-Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: 2 1

1

x y x

=+

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số: 2 1

1

x y x

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học

tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm phân thức ðể sử dụng

hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 17

1

x y x

Hàm số ñã cho nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị

Giới hạn và tiệm cận: lim 2 ; lim 2 2

Bảng giá trị: x –1 0 1 2 3

y 3/2 1 || 3 5/2

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:

1

x y x

=+

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học

tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm phân thức ðể sử dụng

hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 18

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Khảo sát hàm phân thức

4

2

1 -1

Giao ñiểm với trục hoành: cho y =0⇔x =0

Giao ñiểm với trục tung: cho x =0⇒y =0

Bảng giá trị: x − 3 − 2 − 1 0 1

y 1,5 2 || 0 0,5

1

x y x

Bảng giá trị: x –2 0 1 2 4

y 1 –1 || 4 5

1

x y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị

Giới hạn và tiệm cận: lim 2 ; lim 2 2

Trang 19

Bảng giá trị: x 0 1/2 1 3/2 2

y –3 –4 || 0 –1

Trang 20

Khĩa học LTðH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Vẽ đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ta có:

(x) nếu (x) 0 (C )y= (x)=

(x)nếu (x)< 0 (C )

Do đó:

+ Vẽ y = ϕ(x) (C)

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên Ox ta được (C1)

+ Lấy đối xứng phần cịn lại của (C) (ở phía dưới Ox) qua Ox ta được đồ thị y = ϕ(x) là (C1)∪(C2)

Bài tập mẫu:

1

x x

++Bài 1: y =

1 Khảo sát vàvẽ đồ thị (C)

2 Từ (C) suy ra đồ thị 2 1

1

x x

++

x x

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x ≥0 (bên phải Oy) ta được (C1)

+ Lấy đối xứng phần (C1) qua Oy ta được đồ thị (C2)

VẼ ðỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI

ðây là tài liệu tĩm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Vẽ đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối thuộc khĩa học Luyện thi đại học KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ðể

cĩ thể nắm vững kiến thức phần Vẽ đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Trang 21

−+Bài 1: y= (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2 Từ (C) suy ra đồ thị 4

x x

−+

| |y=

| |

3 2Bài 2: Cho y = x +3x +3x+1 (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2 Từ (C) suy ra đồ thị y = x +3x +3 x +13 2

Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

Trang 22

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối

Bài tập có hướng dẫn giải:

Bài 1 Vẽ ñồ thị hàm số (C): 3 2

y=x +3x − Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số: (C’):4 y=(x+2)2 x− 1

Bài 2 Vẽ ñồ thị hàm số (C): 3 2

y=x −3x + Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số (C’): 2 y=(x2−2x−2) x− 1

Bài 3 Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=x4−4x2+ Từ ñó suy ra ñồ thị (C’): 3 y= x4−4x2+ 3

Bài 4 Vẽ ñồ thị hàm số (C): y=2x4−4x2 Từ ñó suy ra ñồ thị (C’): y= 2x4−4x2

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối thuộc

khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các

Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị

tuyệt ñối ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 23

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối thuộc

khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các

Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị

tuyệt ñối ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 24

Trang 25

x x

Trang 26

Trang 28

Trang 30

Khóa học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các bài toán cơ bản về cực trị hàm bậc ba

-a>0

CD

CT

Chú ý:

Cực trị là tên chung của cực ñại và cực tiểu

Hoành ñộ các ñiểm cực trị của hàm số y= f x( )chính là nghiệm của phương trình y'=0 ( '( )f x =0) Tung ñộ các ñiểm cực trị ñược tính bằng cách thay vào hàm y ñã cho

I) Cực trị hàm bậc ba

a) Lý thuyết

Xét hàm bậc ba: y=ax3+bx2+cx+d (a≠0)

- ðồ thị gồm có các dạng sau:

- ðồ thị có cực ñại, cực tiểu ⇔ y'=0 có 2 nghiệm phân biệt

- ðồ thị không có cực trị ⇔y'=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA

ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Các bài toán cơ bản về cực trị hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ðể có thể nắm vững kiến thức phần Các bài toán cơ bản về cực trị hàm bậc ba, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

a<0 CT

CD

a>0

a<0

Trang 31

b) Bài tập mẫu:

Bài 1 (ðHKB-2007) Cho hàm số y= −x3+3x2+3(m2−1)x−3m2−1 (1), m là tham số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 1

b Tìm m ñể hàm số (1) có cực ñại; cực tiểu và các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) cách ñều gốc tọa ñộ

O

Bài 2 (ðHKB-2012) Cho hàm số 3 2 3

y=x − mx + m mlà tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = -1

b Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho ñường thẳng AB vuông góc với ñường thẳng y=x+2

Trang 32

-Bài 1 Cho hàm số 3

y=x − mx− m+ (1) (m là tham số) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có cực ñại, cực tiểu, ñồng thời chúng cách ñều ñường thẳng có phương trình

Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các bài toán cơ bản về cực trị hàm bậc ba

thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể

giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các bài toán cơ

bản về cực trị hàm bậc ba ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập

trong tài liệu này

Trang 33

Bài 1 Cho hàm số 3

y=x − mx− m+ (1) (m là tham số) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có cực ñại, cực tiểu, ñồng thời chúng cách ñều ñường thẳng có phương trình

Nhận xét: Bài toán trên còn có cách giải khác dựa vào tính chất hình học sau ñây:

2 ñiểm A và B cách ñều ñường thẳng ∆ chỉ xảy ra 2 trường hợp sau:

Thứ nhất ∆ song song với ñường thẳng AB

Thứ hai ∆ ñi qua trung ñiểm I của ñoạn thẳng AB

Ta tìm ñược phương trình ñường thẳng ñi qua các ñiểm cực trị A và B là:y= −2mx−3m+1

m m

Trang 34

Ta có: ∆ = (2m + 1)2 – 4(m2 + m) = 1 > 0 => y’ = 0 luôn có 2 nghiệm

=> Hàm số luôn có cực ñại, cực tiểu với mọi m

Trang 35

(Loại, vì không thỏa mãn (*))

Như vậy I(1; m2 – m)

=> Các ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) là: A(0; 2); B(2m, 2 – 4m3)

- Phương trình ñường thẳng ñi qua A, B là: 23 2 2 2 0

Trang 36

Trang 37

Bài 5 Cho hàm số y = x3

– 3x2 + m2x + m Tìm m ñể hàm số các cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ thị ñối xứng nhau qua ñường

x y

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m ñể hàm số (1) có hai ñiểm cực trị x v x sao cho 1 à 2 x x1 2+2(x1+x2) 1=

Bài 10 Cho hàm số:

3 2

13

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA (Phần 02)

ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Các bài toán cơ bản về cực trị hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ðể có thể nắm vững kiến thức phần Các bài toán cơ bản về cực trị hàm bậc ba, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này

Trang 38

b Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ñồng thời xCð, xCT là ñộ dài các cạnh góc vuông của một tam giác

vuông có ñộ dài cạnh huyền bằng 5

Trang 39

b Viết phương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1)

Bài 10 Cho hàm số:

3

2 (5 4)3

b Tìm m ñể ñiểm cực ñại, cực tiểu của ñồ thị hàm số ñối xứng nhau qua ñường thẳng y = x

Trang 40

3

m

m m



- Gọi hoành ñộ 2 ñiểm cực trị là x1, x2 với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0

Các ñiểm cực trị cách ñều ñường thẳng x = 1 |x1 - 1| = |x2 -1|

Vậy các ñiểm cực trị của ñồ thị luôn cách ñều ñường thẳng x = 1

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA (Phần 02)

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Định dạng
Số trang	186
Dung lượng	17,12 MB