CHUYÊN ĐỀ 1:CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1:
CĂN THỨC VÀ
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Trang 2Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau
Ph
Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác 0
Chứa căn bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0
Trang 31. 1 1
3
x
x
2. 3 x
3. x24x5
2
x
x
5 2008 2 x1
6. 2008
4
x
7. -5x
5
x
x
10. x x 2
11 3x 1
12. x23
13 5 2x
7x 14
15 2x 1
16. 3 x
7x 2
17. x 3
7 x
2x x
2x 5x 3
20. 2 1
x 5x 6
x 3 5 x
22 6x 1 x 3
23. x2 3x 7
24. 3 x 12
25. 3 3
1 3x
26. 5 x 1
27. 4 2
7 3x
28. 3 2 2
x
29. 52
x
30. 3 15
x
5
x x
x
32. 8 x 1
33. 3 21x
2 2
6
5
x
36.
8 2 x 1 3 3 5 x
37.
2
x x
x
2 7
7
x
39. 3 2 6
x
40. 2 3x2
41. 2 2 4
5 2
x
x
x
42. 3 3 6 2
1
x
22 44
x
x
Trang 4Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Ph
B ước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có) c 1: Tr c c n th c m u (n u có) ục căn thức ở mẫu (nếu có) ăn thức ở mẫu (nếu có) ức ở mẫu (nếu có) ở mẫu (nếu có) ẫu (nếu có) ếu có)
B ước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có) c 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) ng m u th c (n u có) ẫu (nếu có) ức ở mẫu (nếu có) ếu có)
B ước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có) c 3: Đư a m t bi u th c ra ngoài d u c n ột biểu thức ra ngoài dấu căn ểu thức ra ngoài dấu căn ức ở mẫu (nếu có) ấu căn ăn thức ở mẫu (nếu có)
B ước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có) c 4: Rút g n bi u th c ọn biểu thức ểu thức ra ngoài dấu căn ức ở mẫu (nếu có)
Dạng toán này rất phong phú vì thế cần rèn luyện nhiều để nắm được “mạch bài toán” và tìm ra hướng đi đúng, tránh các phép tính quá phức tạp
Trang 51. 3 2 4 18 2 32 50
2. 50 18 200 162
3. 5 5 20 3 45
4. 5 48 4 27 2 75 108
5. 1 48 2 75 33 5 11
2 11 3
6. 3 12 4 27 5 48
7. 12 5 3 48
8. 2 32 4 8 5 18
9. 3 20 2 45 4 5
10.2 24 2 54 3 6 150
11. 2 18 7 2 162
12.3 8 4 18 5 32 50
13. 125 2 20 3 80 4 45
14.2 28 2 63 3 175 112
2
16.3 50 2 12 18 75 8
17.2 75 3 12 27
18. 12 75 27
9 25 49
3 27 75
5
24. 12 2 35
25. 5 2 6
26. 16 6 7
27. 31 12 3
28. 27 10 2
29. 14 6 5
30. 17 12 2
31. 7 4 3
34. 18 2 65
35. 9 4 5
36. 4 2 3
39. 5 2 6 5 2 6
40. 9 4 5 9 80
41. 17 12 2 24 8 8
43. 8 2 15 - 8 2 15
44. 17 3 32 17 3 32
45. 6 2 5 6 2 5
46. 11 6 2 11 6 2
47. 15 6 6 33 12 6
48. 6 2 5 6 2 5
49. 8 2 15 23 4 15
1
Trang 6Dạng 3: Rút gọn biểu thức
1
1 1 1
x x
x
x x
x
x
2 1
4
x
x A
1
1 1
1 2
x x
x x x
x x
1
1 1
3 :
1
8 1
1 1
1
x x
x x x
x x
x x
x
4
4
x
x B
4.
x x
x x
x
A
2
1 1
1 1
1 : 1
1 1
1
x
A
2
3
5.
9
9 3 3
2
x
x x
x x
x A
3
3
x A
2
2 :
2
3 2
4
x
x x
x x x
x
x
7.
3
A
1
2
A
8. 3 1 4 4 a > 0 ; a 4
4
a
4
a A
1- x 1 x 1 x 1 x 1 x
1
x x
A
10.
1
) 1 ( 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
1
2 :
1
1 1
2
x x
x x
x x
x x A
2
1
x A
x x
x x
x
x x x
x
1
1 1 :
x A
13.
3
3 2 1
2 3 3 2
11 15
x
x x
x x
x
x A
3
5 2
x
x A
14.
1
1 1
1
x
x x
x x A
1
x
x A
1
1 1
4 1
x
x x x
x
A
x
x
A 2
16.
9
9 3 3
2
x
x x
x x
x A
3
3
x A
2
Ph
tử.
Trang 717. 1 1 8 : 1 3 2
9 1
A
x
13 3
x
x x
A
Q
1 2
Q x
2
1 1
2 :
1
1 1
x
x x
x x
x
A
x
x A
3
2
1
1 1
1 1
1 1
x
x x
x x
x x
x
x x x x
x x E
x
x x
A2( 1)
1
: 1
1 1
1
x
x x x
x x
x x A
x
x
A 2
x x
x x
x
x x x
x
1
1 1 :
x A
2
2 :
2
3 2
4
x
x x
x x x
x
x
1
2 1
: 1
1 1
1 2
x x
x x
x x
x A
3
x
x A
1
1 1
1 1
2 2 : 1
x x
x
x x
x
x x A
x
x x
A 1
x x
x x
x x
x x x
x A
2
2 2
3 :
2
2 3 2
3
2
x
x A
x x x
x x
x
x
2
1 :
4
8 2
4
x
x A
3 4
28.
1 1
1 1
x
x x x x
x x
6 5
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
x A
1
2
x
x A
1
2 1
3 : 1
3 2 1
1
x x
x x
x x x
x A
1
4
x A
1
2 1
1 : 1
2 2 1
1
x x x
x x x
x x
A
1
1
x
x A
1
4 1
: 1
1 1
1 2
x x
x
x A
3
x
x A
33.
a
a a
a a
a A
3
1 2 2
3 6
5
9 2
3
1
a
a A
3
5 5
3 15
2
25 :
1 25
5
x
x x
x x
x
x x
x x A
x
A
3 5
3
2 2
3 6
9 : 1 9
3
x
x x
x x
x
x x
x x A
2
3
x A
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x A
3
3
x A
4
A
a
4
a A
3
Trang 838. 1 1 :2( 2 1 1)
x
x x x
x
x x x x
x x A
1
1
x
x A
1
2 1
1 : 1
1 1
1 2
x
x A
3
x
x A
40.
a a
a a
a A
2
1 6
5 3
2
2
4
a
a A
1
2 2 : 1
2 1
1
x
x x x
x x x x
A
x
x A
2 1
1
1 3
1 : 3
1 9
7 2
x x
x
x x
x x A
3
1
x
x A
Dạng 4: Rút gọn và các điều kiện ràng buộc biểu thức
1 Cho bi u th c :ểu thức : ức : P a 2 5
a 3 a a 6
1
2 a a) Rút g n Pọn P
b) Tìm giá tr c a a đ P < 1ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức :
2 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : 1 x : x 3 x 2 x 2
x 1 x 2 3 x x 5 x 6
a) Rút g n Pọn P b) Tìm giá tr c a a đ P < 0ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức :
3 Cho bi u th c: P =ểu thức : ức : x 1 1 8 x : 1 3 x 2
9x 1
3 x 1 3 x 1 3 x 1
a) Rút g nọn P P b) Tìm các giá tr c a x đ P = ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức : 6
5
4 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : 1 a : 1 2 a
a 1 a 1 a a a a 1
a) Rút g n Pọn P b) Tìm giá tr c a a đ P < 1ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức : c) Tìm giá tr c a P n u ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ếu a 19 8 3
5 Cho bi u th c: P ểu thức : ức : =
a(1 a) 1 a 1 a
4
Ph
trình A x
Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến đổi đều dựa vào biểu thức đã rút gọn.
Trang 9a) Rút g nọn P P b) Xác đ nh d u c a bi u th c M = a.(P-ị của a để P < 1 ấu của biểu thức M = a.(P- ủa a để P < 1 ểu thức : ức : 1
2)
6 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : x 1 2x x 1 : 1 x 1 2x x
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
a) Rút g nọn P P b) Tính gía tr c a P khi xị của a để P < 1 ủa a để P < 1 1 3 2 2
2
7 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : 2 x 1 : 1 x
x 1
x x x x 1 x 1
a) Rút g n Pọn P b) Tìm x đ Pểu thức : 0
8 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức :
3 3
2a 1 a 1 a
a a 1 1 a
a 1
a) Rút g nọn P P
b) Xác đ nh d u c a: P.ị của a để P < 1 ấu của biểu thức M = a.(P- ủa a để P < 1 1 a
9 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : 1: x 2 x 1 x 1
x 1
x x 1 x x 1
a) Rút g n Pọn P b) So sánh P v i 3ới 3
10 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : 1 a a a 1 a a a
a) Rút g n Pọn P b) Tìm a đ P < ểu thức : 7 4 3
11 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : 2 x x 3x 3 : 2 x 2 1
x 9
a) Rút g n Pọn P b) Tìm x đ P < ểu thức : 1
2 c) Tìm giá tr nh nh t(GTNN) c a Pị của a để P < 1 ỏ nhất(GTNN) của P ấu của biểu thức M = a.(P- ủa a để P < 1
12 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : x 3 x 1 : 9 x x 3 x 2
x 9 x x 6 2 x x 3
a) Rút g nọn P P b) Tìm gía tr c a c a x đ P < 1ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức :
13 Cho bi u th c : P = ểu thức : ức : 15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x x 3
a) Rút g n Pọn P b) Tìm các giá tr c a x đ P=ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức : 1
2 c) Ch ng minh Pức : 2
3
5
Trang 1014 Cho bi u th cểu thức : ức : : P= 2 x x m2 2
4x 4m
xm x m v i m > 0ới 3 a) Rút g n Pọn P
b) Tính x theo m đ P = 0.ểu thức : c) Xác đ nh các giá tr c a m đ x tìm đị của a để P < 1 ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức : ược ở câu b thỏa mãn điều kiện x > ở câu b thỏa mãn điều kiện x > c câu b th a mãn đi u ki n x > ỏ nhất(GTNN) của P ều kiện x > ện x > 1
15 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức :
2
a a 2a a
1
a a 1 a
a) Rút g n Pọn P b) Bi t a > 1 Hãy so sánh ếu P v iới 3 P c) Tìm a đ P = 2ểu thức :
d) Tìm giá tr nh nh t c a Pị của a để P < 1 ổ nhất của P ấu của biểu thức M = a.(P- ủa a để P < 1
16 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : a 1 ab a 1 : a 1 ab a 1
ab 1 ab 1 ab 1 ab 1
a) Rút g n Pọn P b) Tính gía tr c a P n u a =ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ếu 2 3 và b =
3 1
1 3
c) Tìm giá tr nh nh t c a P n u ị của a để P < 1 ỏ nhất(GTNN) của P ấu của biểu thức M = a.(P- ủa a để P < 1 ếu a b 4
17 Cho bi u th c : P = ểu thức : ức : a a 1 a a 1 a 1 a 1 a 1
a a a a a a 1 a 1
a) V i giá tr nào c a a thì P = 7ới 3 ị của a để P < 1 ủa a để P < 1
b) V i giá tr nào c a a thì P > 6ới 3 ị của a để P < 1 ủa a để P < 1
18 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức :
2
a 1 a 1 a 1
2 2 a a 1 a 1
a) Tìm các giá tr c a a đ P < 0ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức :
b) Tìm các gía tr c a a đ P = -2ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức :
19 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : a b2 4 ab a b b a
a) Rút g n Pọn P
b) Tính gía tr c a P khi a =ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 2 3 và b = 3
20 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : x 2 x 1 : x 1
2
x x 1 x x 1 1 x
a) Rút g n Pọn P
b) Ch ng minh r ng P > 0 ức : ằng P > 0 x 1
21 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : 2 x x 1 : 1 x 2
x x 1 x 1 x x 1
a) Rút g n Pọn P
b) Tính Pkhi x=5 2 3
22 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức :
3x
4 x
2 x 4 2 x 4 2 x
a) Rút g n Pọn P
b) Tìm giá tr c a x đ P = 20ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức :
6
Trang 1123 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : 1 2a a 1 2a a a a a a
1 a 1 a a 2 a 1
a) Cho P= 6
1 6 tìm giá tr c a aị của a để P < 1 ủa a để P < 1
b) Ch ng minh r ng P > ức : ằng P > 0 2
3
24 Cho bi u th c: P = ểu thức : ức : x 5 x 1 : 25 x x 3 x 5
x 25 x 2 x 15 x 5 x 3
a) Rút g n Pọn P b) V i giá tr nào c a x thì P < 1ới 3 ị của a để P < 1 ủa a để P < 1
25 Cho bi u th c P = ểu thức : ức : 3 a 3a 1 a 1 a b
:
a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b
a) Rút g n Pọn P
b) Tìm nh ng giá tr nguyên c a a đ P có giá tr nguyênững giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức : ị của a để P < 1
26 Cho bi u th c P = ểu thức : ức : 1 1 : a 1 a 2
a 1 a a 2 a 1
a) Rút g n Pọn P b) Tìm giá tr c a a đ P > ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức : 1
6
27 Cho bi u th c : Q = ểu thức : ức : x 2 x 2 x 1
x 1
a) Tìm x đ ểu thức : Q Q b) Tìm s nguyên x đ Q có giá tr nguyên.ố nguyên x để Q có giá trị nguyên ểu thức : ị của a để P < 1
28 Cho bi u th c P = ểu thức : ức : 1 x
x 1 x x a) Rút g n P.ọn P
b) Tính giá tr c a bi u th c P khi x = ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức : ức : 1
2
29 Cho bi u th cểu thức : ức : : A = x x 1 x 1
x 1 x 1
a) Rút g n bi u th cọn P ểu thức : ức : b) Tính giá tr bi u th c A khi x = ị của a để P < 1 ểu thức : ức : 1
4 c) Tìm x đ A < 0.ểu thức :
d) Tìm x đ ểu thức : A A
30 Cho bi u th cểu thức : ức : : A = 1 1 1 3
a 3 a 3 a
a) Rút g n bi u th c Aọn P ểu thức : ức :
b) Xác đ nh a đ A > ị của a để P < 1 ểu thức : 1
2
31 Cho bi u th cểu thức : ức : : A = x x 1 x x 1 2 x 2 x 1
:
x 1
x x x x
a) Rút g n bi u th c A.ọn P ểu thức : ức :
7
Trang 12b) Tìm x đ A < 0ểu thức :
32 Cho bi u th cểu thức : ức : : A = x 2 x 1 : x 1
2
x x 1 x x 1 1 x
a) Rút g n bi u th c A.ọn P ểu thức : ức :
b) Ch ng minh r ng: 0 < A < 2ức : ằng P > 0
33 Cho bi u th cểu thức : ức : : A = a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
a) Rút g n bi u th c A.ọn P ểu thức : ức :
b) Tính gía tr c a P v i a = 9ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ới 3
34 Cho bi u th cểu thức : ức : : A = 1 a a 1 a a
a 1 a 1
a) Rút g n bi u th c A.ọn P ểu thức : ức :
b) Tìm gía tr c a a đ N = -2010ị của a để P < 1 ủa a để P < 1 ểu thức :
8