mot ung dung cua mat cau

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA MẶT CẦU TRONG ĐẠI SỐ

Nhận xét:

1.Phương trình tổng quát của mặt cầu (S):x2 +y2 +z2 +2ax+2by+2cz+d=0(a2 +b2 +c2 −d >0)

Tâm của mặt cầu I(-a;-b;-c),bán kính R= a2 +b2 +c2 −d

2 x2 + y2 +z2 +2ax+2by+2cz+d<0(a2 +b2 +c2 −d >0) là tập hợp các điểm M(x;y;z) trong không gian nằm trong mặt cầu (S)

3 x2 + y2 +z2 +2ax+2by+2cz+d>0(a2 +b2 +c2 −d >0) là tập hợp các điểm M(x;y;z) trong không gian nằm ngoài mặt cầu (S)

Ứng dụng 1:Giải hệ phương trình

VD1:Giải hệ phương trình sau

2 2 3 0(2)

x y z

x y z

 + + =

 − + + =



Lời giải

Trong hệ trục toạ độ Oxyz,ta có: Pt(1) là pt của mặt cầu ( )S ,tâm O(0;0;0),bán kính R=11

Pt(2) là pt của mp(P):2x-y+2z+3=0

d(O;(P))=1=R nên (P) tiếp xúc với mặt cầu ( )S1 ⇒hệ trên có nghiệm duy nhất,nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm của (P) và ( )S 1

Gọi (d) là đường thẳng qua O(0;0;0) và ⊥(P).Phương trình của (d):

2 , 2

x t

y t t R

z t

=



 = − ∈



 =



Xét hệ

2

3 2 2

3

x

x y z

x t

y

y t

 = −







 =



.Toạ độ tiếp điểm là 2 1; ; 2

3 3 3

Vậy,hệ có nghiệm duy nhất (x;y;z)= 2 1; ; 2

3 3 3

VD2:Giải hệ phương trình sau

2007 2008 2009 2008(3)

2 4 6 7 0(4)

2 4 5 0(5)

x y z x y z

x y z





 + + − =



Lời giải

Trong hệ toạ độ Oxyz,ta có: Pt(4) là pt mặt cầu ( )S ,tâm ( 1; 2; 3)2 I − − − ,bán kính R= 21

Pt(5) là pt mp(Q):2x+y+4z-5=0

d(I,(Q))= 21 =R,nên (Q) tiếp xúc với mặt cầu ( )S ,do đó từ pt(4) và pt(5) của hệ,giải tương tự VD1 ta có2

`1

1

1

x

y

z

=



 = −



 =



.Thay

`1 1 1

x y z

=



 = −



 =



vào pt(3) thấy thoả mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y;z)=(1;-1;1)

VD3:Tìm m để hệ phương trình sau

x y z mx m m

x y z m

 + + + − =

Lời giải

Hệ

2 2 0(7)

x y z m



+)Nếu 1-m<0 ⇔m>1.từ pt(6)⇒hệ vô nghiệm⇒ m>1 không thoả mãn

+)Nếu 1-m=0 ⇔m=1,thay vào hệ ta có

0

2 1 0

0

x

y

x y z

z

=



Hệ có nghiệm ⇒ m=1 thoả mãn

+)N ếu 1-m>0⇔m<1 khi đó,trong hệ toạ độ Oxyz

Pt(6) là pt của mặt cầu (S tâm I(m;0;0),bán kính R= 1 m m) −

Pt(7) là pt của mặt phẳng (P’):x+y+2z+m-2=0

Hệ có nghiệm ⇔ (S và mặt phẳng (P’) c ó điểm chung m) ⇔d(I,(P’)≤R

2

2 2

1 6

1

1( 1) 2

m

m

m m

m m

−

⇔ − ≤ < <

Kết hợp lại,ta có m 1;1

2

∈ − 

  thì hệ có nghiệm

VD4:Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: 1 2 3

6 0

x y z m



 + + − − =



Lời giải

Đặt

2 2 2

3 3

z Z

Z z

 = − ⇒ = +



,điều kiện , ,X Y Z≥0.Khi đó hệ (I) trở th ành 2 2 2 0(8)

(9)

X Y Z m

X Y Z m

+ + − =





T ừ pt(9) ⇒m≥0

+)Nếu m=0,thay vào hệ ta có 2 2 20 0

0

X Y Z

X Y Z

X Y Z

+ + =



 ,hệ ban đầu có nghiệm duy nhất

1 2 3

x y z

=



 =



 =

 Nên m=0 thoả mãn

+)Nếu m>0,khi đó,trong hệ toạ độ OXYZ:Pt(8) là ptmp(Q’):X+Y+Z-m=0

Pt(9) là pt mặt cầu ( )S ,tâm O(0;0;0),bán kính R= m3

Hệ ban đầu có nghiệm duy nhất⇔hệ sau có đúng một nghiệm (X;Y;Z) mà , ,X Y Z≥ ⇔0 Mặt phẳng (Q’) có đúng một điểm chung với mặt cầu ( )S ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ3

( )S cắt các tia OX,OY,OZ lần lượt tại A( m ;0;0),B(0; m ;0),C(0;0; m ).3

Phương trình mặt phẳng(ABC):X+Y+Z- m =0

Mặt phẳng (Q’)//(ABC) nên mặt phẳng (Q’) có đúng một điểm

chung với mặt cầu ( )S ở g óc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ3

OXYZ ⇔(Q’) tiếp xúc với ( )S ở góc phần tám thứ nhất của 3

hệ toạ độ 0

( ;( ')

m

d O Q R

>





0

3

m m m

>





⇔ − =

Vậy m=0 và m=3 thì hệ có nghiệm duy nhất

Ứng dụng2:Biện luận hệ bất phương trình

VD1:Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực duy nhất

2 4 1 0

x y z x y

x y z y z m







Lời giải

Hệ ⇔

( 1) ( 2) 4(10)

( 1) ( 1) 2(11)







+)Nếu m+2<0⇔m<-2,từ bpt(11) suy ra hệ vô nghiệm,nên m<-2 không thoả mãn

+)Nếu m+2=0,ta có hệ

0 ( 1) ( 2) 4

1 ( 1) ( 1) 0

1

x

y

z

=



  = − ,hệ có nghiệm duy nhất (x;y;z)=(0;1;-1) Nên m=-2 thoả mãn

+)Nếu m+2>0 khi đó trong hệ toạ độ Oxyz:

Tập nghiệm của(10) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu ( )S tâm I(1;2;0),bán kính R=24

Tập nghiệm của(11) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu ( )S tâm I’(0;1;-1),bán kính R’=5 m+2

Để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất⇔ ( )S và4 ( )S tiếp xúc ngoài với nhau5

⇔II’=R+R’

⇔ 3 2= + m+2,phương trình vô nghiệm

Vậy m=-2 là giá trị cấn tìm

VD2:Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất

6 2 2 2 0

x y z x y z

x y z m

 + + + =

 Lời giải

Hệ

( 3) ( 1) ( 1) 9(12)

2 2 0(13)

x y z m



Tập nghiệm của(12) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu ( )S tâm I(3;-1;1),bán kính R=36

Tập nghiệm của(13) là toạ độ các điểm nằm trên mp(P’):x+2y+2z+m=0

Để hệ trên có nghiệm duy nhất ⇔mp(P’) tiếp xúc với ( )S 6

⇔d(I;(P’))=R

3 3 3 6 12

m

m m

+

=



⇔  = − Vậy m=6 và m=-12 là các giá trị cần tìm

Ứng dụng 3:Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức ba biến

VD:Cho x≥ −1,y≥ −2,z≥ −3 , ,x y z R∈ thoả mãn x+ +1 y+ +2 z+ = + +3 x y z

Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số:f(x,y,z)=x+y+z

Lời giải

Gỉa sử m là giá trị bất kỳ thuộc tập giá trị của hàm f(x,y,z),khi đó

hệ sau có nghiệm : x 1 y 2 z 3 x y z x 1 y 2 z 3 m

Đặt

2 2 2

3 3

z Z

Z z

 = + ⇒ = −



,điều kiện , ,X Y Z≥0

Khi đó hệ (I) trở thành 2 2 2 0(14)

6(15)

X Y Z m

X Y Z m

+ + − =



Hệ (I) có nghiệm ⇔hệ(II) có nghiệm(X;Y;Z) mà , ,X Y Z ≥0.Vì , ,X Y Z ≥0 nên từ (14) suy ra m≥0.Khi đó,trong hệ toạ độ OXYZ: pt(14) là phương trình mp(R):X+Y+Z-m=0

pt(15) là phương trình mặt cầu (S) tâm O(0;0;0),bán kính R= m+6 Mặt cầu (S)cắt các tia OX,OY,OZ lần lượt tại A( m+6;0;0),B(0; m+6;0),C(0;0; m+6)

Phương trình mặt phẳng qua A,B,C là:( ) :P1 X Y Z+ + − m+ =6 0

Mp(R) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:d(O,(R))=R

2

6 3

3 18 0 6( ) 3( )

m m

m tm

m loai

=



⇔  = − Khi m=6 ta có mp( ) :P2 X Y Z+ + − =6 0 tiếp xúc với mặt cầu (S) ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ

Hệ (II) có nghiệm (X;Y;Z) mà , ,X Y Z≥ ⇔0 mp(R) có diểm chung với mặt cầu (S) ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ ⇔mp(R) di chuyển trong phần không gian giới hạn bởi mp(P1) và mp(P2)⇔

m+ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤m m Vậy tập giá trị của hàm f(x;y;z) là [ ]3;6

Do đó Maxf(x,y,z)=6

Minf(x,y,z)=3

Bài tập áp dụng

1.Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: a)

4 3 0

x y z x

x y z y m







b)

4 6 4 0

x y z x y

x y z m

 − + + + =



2.Giải hệ phương trình 2 2 2

6 12 24

x y z

x y z

x y z

+ + =



 + + =



 + + =



3.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

x y z x y m

 + − + − =



Phan Quang Sơn –GV Trường THPT Nam Khoái Châu,huyện Khoái Châu,tỉnh Hưng

Yên