Đề Tài Toán NCKHSPUD

KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG DỤNG1.Tìm hiểu hiện trạng, tìm và chọn nguyên nhân 2.Đưa ra giải pháp thay thế- dự kiến tên đề tài Tên đề tài : “rÌn luyÖn vµ n©ng cao kü n¨ng ph

KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG DỤNG

1.Tìm hiểu hiện trạng, tìm và chọn nguyên nhân

2.Đưa ra giải pháp thay thế- dự kiến tên đề tài

Tên đề tài :

“rÌn luyÖn vµ n©ng cao kü n¨ng ph©n tÝch

Kỹ năng PTĐT thành nhân tử của học sinh còn yếu

PPDH chưa phát

huy tính tích cực

của học sinh

Một số biện pháp rèn luyện và nâng cao kỹ năng PTĐT thành nhân tử

Học sinh lười học,lười ghi chép

Khả năng vậndụng lý thuyết vàolàm bài tập cònhạn chế

Giải thíchminh họa

Hiện Trạng

Chọn nguyên nhân

đa thức thành nhân tử thông qua hoạt động

h-ớng dẫn học sinh giải bài tập toán”

4 Đo lờng và thu thập dữ liệu 6

IV Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả 6

1 Nội dung dạy thực nghiệm 10

Trong chơng trình đại số ở THCS đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử

là một trong những nội dung kiến thức cơ bản và quan trọng, nó là cơ sở để xâydựng nhiều nội dung kiến thức đồng thời đợc vận dụng để giải quyết nhiều dạng

bài toán khác nhau nh: Quy đồng và rút gọn phân thức, giải phơng trình, giải bấtphơng trình, chứng minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị,biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, vô tỷ

Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một kỹ năng rất

cơ bản và hết sức quan trọng Nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì họcsinh mới có khả năng giải quyết đợc nhiều vấn đề trong chơng trình đại số lớp 8 vàlớp 9 cũng nh nhiều vấn đề toán học khác có liên quan, tìm đợc lời giải và lời giảitối u cho một bài toán Nhng đôi khi việc phân tích đa thức thành nhân tử có nhữngkhó khăn đối với học sinh đó là trong trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao,

hệ số lớn, phức tạp do đó nếu chỉ áp dụng các phơng pháp phân tích thông thờng

đã đợc học trong SGK thì học sinh rất lúng túng thậm chí không thể phân tích ợc

đ-Để cung cấp cho học sinh một cách hệ thống các phơng pháp phân tích đathức thành nhân tử, đồng thời có kỹ năng thành thạo trong việc phân tích các đathức thành nhân tử Giải pháp tôi đa ra là: Thông qua hoạt động hớng dẫn học sinhgiải bài tập toán nhằm rèn luyện và nâng cao kỹ năng phân tích đa thức thành nhân

tử, qua đó nâng cao chất lợng học tập bộ môn Toán

Nghiên cứu đợc tiến hành trên hai nhóm tơng đơng: Nhóm 8B1 và nhóm 8B2

Trờng THCS Nam Bình,nhóm 8B1 là nhóm thực nghiệm(O1), nhóm 8B2 là nhóm đốichứng ( O2) Nhóm thực nghiệm đợc thực hiện giải pháp tác động khi dạy các bàihọc về phân tích đa thức thành nhân tử Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hởng

rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh: Nhóm thực nghiệm đã đạt đợc kết quả họctập cao hơn so với nhóm đối chứng Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm thựcnghiệm có giá trị trung bình là: 7,61 Điểm bài kiểm tra sau tác động của nhóm đốichứng có giá trị trung bình là: 6,34

Kết quả kiểm chứng T- test cho thấy P = 0,000049 < 0,05 có nghĩa là đã có sựkhác biệt lớn giữa điểm trung bình của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng

Điều đó chứng tỏ rằng thông qua việc hớng dẫn học sinh giải bài tập toán đã giúpcác em rèn luyện và nâng cao đợc kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử từ đónâng cao đợc chất lợng học tập môn Toán

II Giới thiệu

Trong chơng trình Đại số 8 SGK ở trung học cơ sở các bài học về phân tích

đa thức thành nhân tử mới chỉ dừng lại ở việc giới thiệu một số phơng pháp phântích cơ bản nh:

- Phơng pháp đặt nhân tử chung

đến và bổ sung kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử qua đó nhằm rènluyện và nâng cao các kỹ năng phân tích cho học sinh

1/ Giải pháp tác động:

- Thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán nhằm rèn luyện

và nâng cao các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó nâng cao chất lợnghọc tập bộ môn Toán

2/ Vấn đề nghiên cứu

- Thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán có rèn luyện vànâng cao đợc các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử hay không ?

3/ Giả thuyết nghiên cứu

- Có, thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện vànâng cao đợc các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

III Ph ơng pháp nghiên cứu

1/ Khách thể nghiên cứu

Tôi lựa chọn hai nhóm: Nhóm 8B1 và nhóm 8B2 là học sinh của Trờng THCS Nam Bình trong đó nhóm 8B1 là nhóm thực nghiệm (O1), nhóm 8B2 là nhóm

đối chứng ( O2)

2/ Thiết kế nghiên cứu

Tôi dùng bài kiểm tra khảo sát chất lợng đầu năm làm bài kiểm tra trớc tác

động Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau do

đó tôi dùng phép kiểm chứng T- test độc lập để kiểm chứng sự chênh lệch giữa

điểm số trung bình của hai nhóm trớc khi tác động

* Kết quả:

Thực nghiệm O1

Có thông qua hoạt

động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán

O3

- ở thiết kế này tôi dùng phép kiểm chứng T-test độc lập

3/ Quy trình nghiên cứu

a, Chuẩn bị của giáo viên

- Xây dựng hệ thống các bài tập về phân tích đa thức thành

nhân tử nhằm rèn luyện và nâng cao kỹ năng cho học sinh

- Ra đề kiểm tra và xây dựng đáp án cho các đề kiểm tra

b, Tiến hành dạy thực nghiệm

- Thời gian tiến hành dạy thực nghiệm trong 5 tuần, mỗi tuần 02 buổi, mỗi buổi 03 tiết và cuối mỗi buổi kiểm tra 30 phút( kết hợp với việc cho bài tập về nhà

để học sinh tự luyện)

Bảng 3: Thời gian dạy thực nghiệm cụ thể nh sau

(Từ 04/10/10

đến 10/10/10)

3 3 Phơng pháp nhóm các hạng tử

4 3 Phối hợp nhiều phơng pháp 3

(Từ 11/10/10

đến 17/10/10)

5 3 Phơng pháp tách hạng tử

6 3 Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử4

(Từ 18/10/10

đến 24/10/10)

7 3 Phơng pháp sử dụng phép chia

8 3 Phơng pháp đặt ẩn phụ5

(Từ 25/10/10

đến 31/10/10)

9 3 Phơng pháp hệ số bất định

10 3 Phơng pháp xét giá trị riêng

4/ Đo lờng và thu thập dữ liệu

- Bài kiểm tra trớc tác động là bài kiểm tra khảo sát chất lợng

đầu năm do Trờng THCS Nam Bình ra

- Bài kiểm tra sau tác động là các bài kiểm tra sau khi đã học xong từng phơng pháp ở trên

* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:

- Sau khi thực hiện dạy xong từng phơng pháp tôi tiến hành kiểm tra và chấmbài theo đáp án đã xây dựng

IV Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả

1/ Phân tích dữ liệu

Bảng 4: So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động

Nh trên đã chứng minh rằng kết quả trớc tác động của hai nhóm là tơng

đ-ơng Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T-test cho kết quả

p = 0,000049 < 0,05 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình nhóm thực

nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung

bình nhóm thực nghiệm cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không phải dongẫu nhiên mà là do kết quả của sự tác động

Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD =7,61 6,34

0,98 1,30



Theo bảng tiêu chí Cohen, chênh lệch giá trị trung bình chuẩn

SMD = 0,98 cho thấy mức độ ảnh hởng của việc rèn luyện kỹ năng phân tích đa

thức thành nhân tử thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán nhằm

nâng cao chất lợng học tập bộ môn của nhóm thực nghiệm là lớn.

Điều đó cho thấy giả thuyết của đề tài: " Thông qua hoạt động hớng dẫn học sinh giải bài tập toán rèn luyện và nâng cao đợc kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử " từ đó nâng cao đợc chất lợng học tập bộ môn đã đợc kiểm chứng

7.61

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Biểu đồ so sánh điểm trung bình trớc tác động và sau tác động

của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng

2 Bàn luận kết quả

Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm có điểm trung bình = 7,61 Kết quả bài kiểm tra tơng ứng của nhóm đối chứng có điểm trung bình = 6,34 Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm

là 1,27 Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm

đã có sự khác biệt rõ rệt, nhóm đợc tác động có điểm trung bình cao hơn nhóm đối chứng

Chênh lệch giá trị TB chuẩn SMD = 0,98 Điều này có nghĩa là mức độ

- Chỉ đạo tăng cờng hơn nữa công tác dạy thể nghiệm nội dung của đề tài để

đề tài đợc triển khai một cách sâu rộng trong nhà trờng đồng thời cũng nhằm bổsung và khắc phục những tồn tại, nâng cao hơn nữa chất lợng đại trà, công tác đàotạo bồi dỡng học sinh giỏi và ôn luyện thi vào THPT

+ Đối với giáo viên

-Không ngừng tự học, tự bồi dỡng để nâng cao hơn nữa trình độ chuyên mônnghiệp vụ, xây dựng đợc cho mình một hệ thống kiến thức các bài, dạng bài, các chuyên đề và thờng xuyên sử dụng các phơng pháp dạy học tích cực.

- Cần chia lớp, phân loại hai đầu học sinh khá giỏi và yếu kém riêng biệt để việc triển khai áp dụng đề tài đạt hiệu quả cao hơn

* Với kết quả của đề tài này (chắc hẳn không thể tránh khỏi những tồn tại vàhạn chế) nhng tôi mong rằng các bạn đồng nghiệp cần quan tâm, chia sẻ nhất lànhững giáo viên tham gia công tác bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 8 và giảngdạy môn Toán lớp 9 ôn luyện học sinh thi vào lớp 10-THPT

VI Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Toán 8, Toán 9

2 Chuyên đề bồi dỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)

3 Cuốn “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của

Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồngnghiệp (NKTH)

4 Toán bồi dỡng và nâng cao đại số 8

5 Một số vấn đề phát triển Đại số 8

VII Phụ lục

A Nội dung Dạy thực nghiệm

đợc trên P

2 Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định lý 1:

Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức

bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân

tử bậc 0

b) Định lý 2:

Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậcnhất hoặc bậc hai với biệt thức  < 0 Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0

đều phân tích đợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với < 0

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Aidenxtainơ )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của an nhng p là ớc củacác hệ số còn lại và p2 không phải là ớc của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thứcf(x) là bất khả quy trên Q

II/ Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thànhtích các đa thức trên trờng số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hànhthì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “sơ cấp” Dới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng để phântích một đa thức thành nhân tử

1 Phơng pháp đặt nhân tử chung:

a) Phơng pháp:

- Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối vớiphép cộng (theo chiều ngợc)

+ Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.

+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗihạng tử vào trong dấu ngoặc( kể cả dấu của chúng)

b) Bài tập:

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Giải: Ta có A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

= 2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

Bài 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Giải: Ta có Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

= (a+b)( a2- ab + b2)(a - b)( a2+ ab + b2) +(a2+ab + b2 )(a2- ab + b2)

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

Bµi 8: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

- áp dụng liên tiếp các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳngthức.

- Phơng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chấtkết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung,rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x)

Bài 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có A = 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3)

Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

B = x6 + x4 + x2 + 1

Giải: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1)

Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

3x3y – 6x2y – 3xy3 - 6axy2 – 3a2 xy + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2ay- a2+ 1)

= 3xy[( x2 – 2x + 1) - (y2 + 2ay + a2)]

= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]

= 3xy[(x – 1)- ( y+ a)][(x – 1) + (y+ a)]

Bµi 19: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Gi¶i: Ta cã : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1)

Bµi 20: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

= (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)

NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)

Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho

(x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng là (x – 5)

Vậy A = (x – 1)(x – 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phơng pháp tách số hạng talàm nh sau :

Bớc 1 : lấy tích a.c = t

Bớc 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trờng hợp) t = pi.qi

Bơc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b

Bớc 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c

Bớc 5 : từ đây nhóm các số hạng và đa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc

Bài22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - 3

C¸ch 3 : A = x4 + x2 + 1

= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)

Bµi 24: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö

Cách 6 : F = 5x2 + 6xy + y2

= (5x2 - 5y2) + (6xy + y2)

= 5(x2 – y2) + 6y(x + y)

= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)

= (x + y)(5x -5y + 6y)

- Thêm bớt cùng một hạng tử để đa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc

nhóm nhiều hạng tử Thông thờng hay đa về dạng a2 – b2 sau khi thêm bớt

7 Phơng pháp thực hiện phép chia:

a) Phơng pháp:

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x –

a).g(x) ,g(x) là một đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lại phântích tiếp g(x)

- Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến số) ta có thể đa một

đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thứcnày sẽ dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử

- Đặt ẩn phụ để đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phơng pháp cơbản

- Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính đợc các

hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phơng trình sơ cấp

- Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậcnhất, một đa thức bậc hai dạng ( ax +b)( cx2 + dx + m)

rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này vơí hệ số của đa thức kia

x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :

bd

bc ad

d b ac

c a

8 6

c a

ac

c a