Đề thi HSG toán lớp 9 có đáp án đề 48

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 33CHUYÊN LAM SƠN.. a/Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.. Điểm H nằm trên cạnh BC Tính bán kính của đường tròn ĐÁP ÁN V

SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 (33)

CHUYÊN LAM SƠN Năm học 2006 - 2007 Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút( không kể thời gian phát đề)

Đề bài:

Bài 1: Cho biểu thức: A = 1 1





a



 a a

1/Rút gọn A

2/ Chứng minh A1

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

f(x) = x3 + 4x2 + x - 6

Bài 3: Cho phương trình:

x2 - 2(m+2)x + 2m + 1 = 0 (1)

1/ CMR, với mọi giá trị của m, pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

2/ Gọi x1, x2 là nghiệm của (1)

a/Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

b/Tìm m để x12 + x22 nhỏ nhất

Bài 4: Cho hệ phương trình:

















1 1

m my x

m y mx

a/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện yx+2

b/ Với các gía trị m tìm được hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức z = x+y

Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H, I theo thứ tự là

hình chiếu của B trên AC, CD

CMR: ABD  ∆HBIHBI

Bài 6: Cho 3 điểm: A (1,3), B(-1,-1), C(0,1)

CMR: A, B, C thuộc một đường thẳng, viết pt của đường thẳng đó

Bài 7: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) có AB = 8 cm, AC = 15,

đường cao AH = 5 cm (Điểm H nằm trên cạnh BC)

Tính bán kính của đường tròn

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ®iÓm chÊM

Bài 1

1/

2/

A=

1

) 1 ( 2 3 1













a

a a

a

=

1

1 



a a

a a

= ( 1()( 1) 1)









a a a

a a

=

1



 a a

a

Xét A - 1 =

1

1











a a

a a

1

1 2









a a

a

1

) 1







a a

=> A  1 Dấu "=" xảy ra <=> a= 1 <=> a =1

0,5 0,5

0,5

Bài 2 Ta có f(x) = x3 + 4 x2 + x - 6

= x3 + 5 x2 - x2 - 5x - 6

= x (x2 + 5x + 6) - ( x2 + 5x + 6)

= (x-1)(x2 + 5x + 6)

= (x-1)(x+2)(x+3)

0,5

0,5

Bài 3

1

2

3

' = (m+2)2 - (2m-1) = m2 + 2m + 3

= (m+1)2 + 3> 0 " m =>p.trình có hai nghiệm phân biệt " m

Theo Viet ta có:















1 2

) 2 ( 2

2 1

2 1

m x

x

m x

x

Do đó x1 + x 2 - x1 x2 = 3 là hệ thức cần tìm

Ta có x12 + x22 = (x1 + x 2 )2 - 2x1 x2

= 4(m+2)2 - 2(2m+1) = 4m2 - 12m + 14

= (2m - 3)2 + 5  5

=> x12 + x22 nhỏ nhất <=> m =23

0,5

0,5 0,5

0,5

Bài 4

1/

a/ Ta có: D = m

m

1

1

= m2 - 1 ; Dx = m m 11 m1 = m2 - 2m - 1

Dy = m1 m m 11= m2 + 1

Để hệ có nghiệm duy nhất phải có D ¹ 0 <=> m ¹ ± 1

Khi đó: x =

D

D x

=

1

1 2

2 2







m

m m

, y =

1

1

2 2





m m

Để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn y + 2 phải có

1

1

2

2





m

m



1

1

2 2







m

m m

+2=

1

3 2 3

2 2







m

m m

0,5

0,5

<=>

1

4 2 2

2 2







m

m

m  0 <=> 1  m  2

Tìm Max của z = x + y =

1

2 2

2 2





m

m m

= 2 1



m m

Với 1  m  2

=> z = 2( 1)1 2







m

m

= 2 -

1

2



m Suy ra ZMax = z(2) =

3 4

0,5

0,5 0,5

Bài 5

D ˆ 1 Cˆ 1 ( Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

BHIC: Tứ giác nội tiếp => I ˆ 1 Cˆ 1

Suy ra: D ˆ 1 Iˆ 1

Tương tự A BˆD H BˆI

Vậy  ABD  HBI (g.g)

0,5

0,5

Bài 6 PT đường thẳng đi qua A, B có dạng: y = ax + b 

Vì  đi qua A(1,3) nên: 3 = a + b (1)

D I C

1 1 1

A

B

H O

Vì  đi qua B(-1,-1) nên -1 = -a + b (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

















1 3

b a

b a

® 





 2 1

a b

=> (AB): y = 2x + 1

Thay toạ độ điểm C(0,1) vào AB: 1 = 2.0 + 1 (đúng )

=> C  (AB)

0,5

Bài 7 Kẻ đường kính AD ta có:

C D A C B

Aˆ  ˆ ( Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

0 90

ˆD

C

A (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy AHB  ACD (g.g)

® AH AC AD AB ® 155 28R ® R=12 cm

Vậy bán kính đường tròn ( O) bằng: 12 cm

0,5

0,5

0,5

B H C

A

O

D