Một số vấn đề về lớp các môđun tương đương xạ ảnh

Luận văn này nhằm trình bày một ứng dụng lý thú của hàm tử Ext, đó là giải quyết một số vấn đề về lớp các môđun tương đương xạ ảnh.. Do thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ nghiên cứu một

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

Nguyén Tuan Ngoc

MOT SO VAN DE VE LỚP CAC MODUN TUONG DUONG XA ANH

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số : 6 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

TS TRÀN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

MO DAU

“Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ toán học”

(SZE — TSEN — HU)

Vâng, ngay sau khi được đề cập lần đầu tién béi S.Eilenberg va S Maclane — năm 1944, lý thuyết phạm trù và hàm tử đã nhanh chóng tìm được sự ứng dụng ngày càng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học

Các hàm tử mở rộng — Exf", là một trong bốn trụ cột cơ bản của đại số đồng

điều (ba hàm tử còn lại là Hom, ®, và Tor„) Luận văn này nhằm trình bày một

ứng dụng lý thú của hàm tử Ext, đó là giải quyết một số vấn đề về lớp các môđun tương đương xạ ảnh Chẳng hạn như đi tìm các điều kiện cần và đủ để hai môđun

là tương đương xạ ảnh,

Do thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ nghiên cứu một số lớp các môđun

tương đương xạ ảnh đặc biệt (như môđun hữu hạn sinh, ) trên vành hệ tử đặc

biệt Trong luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu trên vành hệ tử =Z2, là vành các số nguyên — khi đó môđun trên Z chính là các nhóm aben, vành hệ tử # là vành chính và nghiên cứu một số lớp các môđun tương đương xạ ảnh trên vành

hệ tử là vành giao hoán có đơn vị tùy ý

Việc nghiên cứu đề tài này giúp nhận biết được khi nào hai môđun là tương đương xạ ảnh thông qua các đặc điểm riêng biệt của mỗi môđun Và qua đó giúp nghiên cứu một số vấn đề khác liên quan đến lớp các môđun tương đương xạ ảnh, chẳng hạn như số chiều xạ ảnh, Và qua đề tài này chúng tôi cũng đã mở rộng được một số kết quả đáng lưu ý như là mở rộng một số kết quả từ lí thuyết nhóm aben sang lí thuyết môđun trên vành chính Đây là điều làm chúng tôi tâm

đắc nhất.

CHUONG 1: KIEN THUC CHUAN BI

Mục này chúng tôi xin nhắc lại các kiến thức cơ bản có liên quan có thé sir

dụng chúng khi trình bày luận văn Đó là một số khái niệm và kết quả về lí thuyết nhóm, lí thuyết môđun, hàm tử Ext, hàm tử Tor, D6i với các khái niệm

môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp các môđun, dãy khớp, hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, lí thuyết các vành giao hoán, chúng ta xem như đã biết Những khái niệm và kết quả này có thể tìm thấy chúng trong mục “tài liệu tham khảo” được chỉ ra ở trang cuối của luận văn này Trong luận văn này, vành ® luôn được xét là vành giao hoán có đơn vi Va

môđun trên ® là ® — môđun trái (thật ra khi ® là vành giao hoán có đơn vị thì

® - môđun trái cũng có thê xem như là R — m6dun phải)

1.1 Phức hợp, đồng điều và đối đồng điều:

Phức hợp dây chuyền K các # — môđun là họ {X,„ô,} _„ gồm các R — médun K,

và các R — đồng cầu ô,: K,——>K,„ sao cho : ô,ô,„,=0

Đồng điều /7(K) đó là họ các môđun H,(K) = Kerô, / Imô,

Phức K ={K,,ô} gọi là phức dương nếu K„ = 0 khi z < 0

Phức K ={K,,ô} gọi là phức âm nếu K„ = 0 khi ø > 0

Để tiện lợi về mặt kí hiệu, các phức âm với chỉ số dưới thường dùng:

K: =—=K —n-l fs _K =n ¢Su_K —n+l K,©“—K,<—0 được viết lại thành phức chỉ số trên theo phép đổi biến (—n) thay bởi ø

Khi đó, K „ được viết là K”, còn ô_„:K_„——>K.„., được viết là

ở":K"——>K"".

Môđun đồng điều của phức theo chỉ số trên K = {kK "ở z) được xác định theo công thức: /#"(K) = Kerở"//Imổ”+,

Cho phức K ={K,,ô} các R— môđun và G là một R — môđun Tác động hàm tử phản biến Hom(—,G) lên phức K ta được phức chỉ số trên, kí hiệu là Hom(K,G),

H"(K,G) =H" (Hom(K,G)) = Kerỡ" /“Imổ"”

1.2 Phức trên môđun và phép giải xạ ảnh (tự do) của môđun:

Phức (x,z) trên môđun C là dãy các môđun X„ (>0) và các đồng cấu:

X,—®>>X,,—®“—> - n Lò! X.,—>>X,—>>Œ 0 (1.2.1)

mà tích nối tiếp hai đồng cấu bắt kì là bằng 0

Một phép giải của môdun C là dãy khớp dạng (1.2.1)

Một phép giải xa ảnh (tự do) của môđun C là dãy khớp dạng (1.2.1) và mỗi môđun X; là môđun xạ ảnh (tự do)

1.3 Mệnh đề: Mỗi môđun đều tồn tại một phép giải tự do Do đó tồn tại phép giải xạ ảnh

1.4 Mở rộng môäun:

Một mở rộng của môđun 4 nhờ môđun C là một dãy khớp ngắn

E=(z.,ơ):A>—B—> C

Trong trường hợp 4= 4,C=C thì # trở thành mở rộng của 4 nhờ C

Hai mở rộng của 44 nhờ C được gọi là toàn đẳng, kí hiệu E = E, nếu tồn tai cấu

xa (1,,8,1,): E—E

1.6 Ménh dé:

Quan hệ toàn đẳng giữa các mở rộng là một quan hệ tương đương

Goi Ext,(C,A) hay đơn giản là Ext(C„.4) (nếu không sợ nhằm lẫn về vành hệ tử R) là tập hợp tất cả các lớp toàn đẳng của các mở rộng của 4 nhờ C

Mỗi lớp như thế được kí hiệu là: c/sEe Ext(C, 4), với E là một mở rong cua A

nhờ C

Hay kí hiệu đơn giản hơn là: # ee Ext(C, 4)

Mở rộng 0——>4——>44@®€——>C——>0 được gọi là mở rộng chẻ

1.7 Mệnh đề:

Nếu E là mở rộng của 4 nhờ € và z:C'———>C là đồng cấu thì tồn tại mở

rộng E của 4 nhờ C' và cấu xạ T =(1,,6,y7):E——>E

Cặp (r E ) được xác định duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của #'

Mở rộng E’ duge ki hiéu la Ey =y"E ee Ext(Œ, 4)

1.8 Ménh dé:

Néu E la mo rộng của 4 nhờ C và a: A——> 4 la đồng cấu thì tồn tại mở rong

E' cia A nho C va cduxa P=(a,8,1,): E—>E Cap (I°,E )duge xdc dinh

duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của #

Mở rộng #£ được kí hiệu là zE =øz„E ee Ext(C, 4)

1.9 Mệnh đề: Ta có các toàn đẳng sau:

se El,=E ; E(7)=(E7)y với y:C——>C, y :C——>C

e1,E=E ; (œơ)E=ơ (œE) với z:A——>4, ø:A——>ẢÄ'

e (+ZE)y =a(EFy) với z:A——>4,y:C——>C

e© Mọi cấu xạ mở rộng T = (ø,/,7):E———>E' ta có toàn đẳng øzE = E7

1.10 Phép cộng các mở rộng:

Cho hai mo rong E, =(7,,0,): A B,—» Œ với ¡ = 1, 2

Khi đó, tổng trực tiếp của hai mở rộng là:

E.®E, =(x,®z,.ơ, ®ơ,): 4® A— B,®B, -» C@C

Phép cộng hai mở rộng È;¡ và E; là mở rộng: #¡ + š, =V, (E,® E,)A„

trong đó A„ và V, lần lượt là đồng cầu chéo và đồng cấu tổng xác định bởi:

Ac:C—>C@®CŒ a V,:A®A4—>4A

ch (c,c) (a,,4,)+ a, +4, 1.11 Ménh dé:

Đối với các môđun 4 và C cho trước, tập các lớp toàn đẳng của các mở rộng môđun 4 nhờ môđun C là nhóm aben với phép toán hai ngôi cho tương ứng các lớp toàn đẳng của các mở rộng Z¡ và Z; là lớp toàn đẳng của mở rộng:

B.+E,=V,(E ®E,)A, (phép cộng Bero)

Lớp toàn đẳng của mở rộng chẻ 4—› 4® Œ -» Œ là phần tử không của nhóm

này

Phan tử đối của lớp toàn đẳng của mở rộng # là lớp toàn đẳng của mở rộng

(—1,)E Và đối với các đồng cầu z: 4——> 4, z:Œ——>C, ø,:A——>4,,

z,:C¿———>C, ¡ = ], 2 ta có:

° (a, +a,)E=@,E+Q,E 5 E(y,+%)=£y, + Ey

Các qui tắc & (1.11.1) chỉ ra rằng các ánh xạ sau là các đồng cấu nhóm:

Nếu E =(z,ø): 4 — B—»› C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm

aben sau đối với bất kì môđun G:

0—>Hom(C,G)-Z›Hom(8,G)Š›Hom(4,G)-Š›Ext(C,G)-› Ext(8,G)—#_› Ext(4,G) 0—>Hom(G, 4)-“5Hom(G, B) 2+ Hom(G, C) > Ext(G, A) “+ Ext(G, B) 22> Ext(G,C)

trong đó các đồng cấu nối E và E, xác định bởi:

Ta viết dãy khớp ø — dài bắt kì Š như là tích của ø dãy khớp ngắn:

S=E,sE,,o oeE, trong đó E,: K,>>B,¡-»K,¿

voi K; = Im(B, —>B,,) = Ker(B_,—> B_,), i = 1, ., n-1 va K, =A, Ky = C

Các day £; 1a duy nhất chính xác tới một toàn đẳng

Dãy khớp ø — dài thứ hai Š cùng có chung hai đầu với S goi là toàn đẳng với $

nếu $` có thể nhận được từ Š bởi hữu hạn các phép biến đổi thuộc ba dạng sau:

(i) thay bất kì nhân tử E; bởi dãy khớp ngắn toàn đẳng với nó

(¡¡) nếu hai dãy nhân tử có dạng (E 2)o#' thì chúng có thể thay bởi #o (BE) (iii) néu hai day nhan tir c6 dang E’o( BE’) thi chúng có thể thay bởi (E0):E

Nếu S là đấy khớp ø — dài bắt đầu từ 4 và kết thúc tại C thì ta định nghĩa tich aS

và Šy với các đồng cầu z: 4A——>4 và y:C ——>C nhờ các công thức:

ơ(E, 9E, ,9 e EỊ)=(@E,)9 E, ¡9 9 Bị,

(E,sE„,° e E.)y=E,sE, 9 5 (E7)

Bây giờ ta kí hiệu Ext;(C, 4) là tập tất cả các lớp toàn đẳng ơ = cis Š các day khớp ø — dài bắt đầu từ 4 và kết thúc tại C

Ta xem Ext°(C, A)nhu la Hom(C,A).

1.15 Ménh dé:

D6i voi méi n, Ext;(C, 4) là nhóm aben đối với phép cộng được xây dựng nhờ tổng Berơ: nếu ơ,,ơ; e Ext?(C, 4) thi o, +0, =V,(o, @0,)Ag

1.16 Mệnh đề:

Nếu P là môđun xạ anh thì Ext"(P,G) =0, với bất kì môđun G, Vn >0

1.17 Mệnh đề: Ta có các đẳng cấu nhóm aben sau:

Néu C va A la cdc R— médun va ¢ : X —>C 1a phép giai xa anh cua C, thi ton

tại đẳng cấu: Ext"(C,4)> H"(X,4) với n= 0, 1,2,

1.19 Mệnh đề:

Nếu E =(z,ø): 4 — B—»› C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm

aben sau đối với bất kì médun G:

+> Ext"(C,G) —2 > Ext" (B, G) “> Ext"(4,G) => Ext" (C,G) >

+ > Ext” (G, A) “+> Ext" (G, B) > Ext" (G,C) +> Ext" (G, A) >

Lần lượt các đãy này được bắt đầu bởi các thành viên bên trái tương ứng là:

0——>Hom(Œ,Ø) = Ext°(C,G) và 0——>Hom(đ, 4) = Ext”(G, 4)

và kéo dài về bên phải theo tất cả các ø = 0, 1, 2,

Các đồng cấu trong dãy xác định như sau: Vẹ e Ext"(C,G), Vø e Ext"(B,G),

VreExt'(A,G),Ve eExt"(G,4),Vø e Ext"(G,B), Vr eExt"(GŒ,C), thì:

Ä⁄&€ =£C ¡0 =ơa@ 5 Eg =Er

1.20 Nhóm aben

1.20.1 Mệnh đề:

Nếu Ó là nhóm aben và #7 là nhóm con của G sao cho gy, là nhóm aben tự do

thi G= H © K trong do K là nhóm aben tự do nào đó

1.20.2 Cấu trúc nhóm aben hữu hạn:

Một nhóm aben là hữu hạn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các

nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố

1.20.3 Cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh:

Một nhóm aben là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các nhóm cyclic có cấp vô hạn hoặc có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố

1.21.1 Môđun con xoắn của một môđun:

Cho R là miền nguyên và X là #— môđun Phan tir x e X gọi là phần tử xoắn nếu re #\{0} : zx=0 Đặt z(X) là tập tất cả các phần tử xoắn của X Khi đó, z(*) là môđun con của X

Nếu r(X)= {0} thì X gọi là môđun không xoắn

Nếu r(X)= X thì X gọi là môđun xoắn

Ta có x (x) là môđun không xoắn

1.21.2 Mệnh đề:

Môđun con của môđun tự do trên vành chính là môđun tự do

1.21.3 Mệnh đề:

Cho M⁄ là môđun tự do trên vành chính ®, có hạng z >l và N là môđun con của

1M Khi đó tồn tại một cơ sở { y,„ y;„ y„Ì của Ä⁄ và các phần tử khác không

{a,,4,, 4,} cua R sao cho g <n va {ai.asys 4„y„ } là một cơ sở của N

CHUONG 2: CAU TRUC MODUN CHO EXT

2.1 Ménh dé:

Ta biét rang voi hai médun A va C cho truéc thi Ext R(C, A) la nhom aben đối

với phép cộng được xây dựng nhờ tổng Berơ Hơn nữa, khi R là vành giao hoán

có đơn vị thi Ext,(C,A) có thé xem la R — médun voi phép nhân ngoài được

định nghĩa như sau:

Vre R,Vcls E e Ext,(C, 4), r.(cls E) = cls(rạ E) (*) trong đó : r,:A——>A là đồng cấu R — médun xác định bởi:

at~>ra Chứng minh:

Trước tiên ta kiểm tra định nghĩa trên là hợp lí:

Thật vậy, ta kiểm tra r„:A—>4 là đồng cấu R —- môđun:

Vec#, Va, ai, a e A ta có:

— r/(a+a,)=r(a, +a,) = ra, + ra, =r„(ai) + r„(đ,)

— r,(sa)=r(sa)= (rs)a = (sr)a = s(ra) = s(r, (a))

(rs = sr do R 1a vanh giao hoan)

Hơn nữa, nếu E =#' thì r,E=r,E (do tinh duy nhat cua mé rong @E)

hay r.(cls E)= r(clsE))

ae

Ta có nhận xét một số tính chất của đồng cấu z ‘4!

2.1.1 Nhận xét: Vz, s e R, (rs),=r,.s„ và (r+s)„=r,+s„

17s), (@)= (rs)a =r(sa) =r,(sa) =, (s,(a)) = (r.s„)(2)

sMI: 1.cisE =cls(1,E) =cisE

e M2: (rs).cls E =cls((rs) ,E) = cls ((r,.8,)E) (theo nhan xét 2.1.1)

=cls(r,E+s„E)=cls(r,E)+ els(s„E) =r.cls E + s.cls E

Nhu vay Ext,(C, A) la R— môđun

Ở đây xin nhắc lại rang, khi # là vành giao hoán có đơn vi thi ta có thể biến

Hom( X,Y ) thành R — môđun, trong đó X, Y là hai ® — môđun, với phép nhân ngoài được xác định như sau: Vz e R, Vfe Hom( XY), (7f) :X Y (**)

x f(x) 2.1.3 Nhận xét: Với định nghĩa phép nhân ngoài trên thì ta có:

VreR,Vfe Hom( X,Y), zƒ =r„ƒ = ƒry

Do đó, theo mệnh đề 1.9 ta có toàn dang: r,E = Er

2.2 Mệnh đề:

Ta biét rang voi dong cau R-médun+>: AB, X la R— môđun tùy ÿ, thì ta có các đồng cầu nhóm cảm sinh sau đây:

+ #z,:Hom(XY,4)——>Hom(X, Ö) xác định bởi a.(f)=af, Vf e Hom(X, 4)

+ øzˆ:Hom(8,X)——>Hom(4, X) xác định bởi ø”(g) = gư, Vg e Hom(B, X)

+ a: Ext(X, A) —>Ext(X, B) voi a.(clsE) =clsaE, VclsE € Ext(X, A)

+ a :Ext(B,X)—> Ext(A, X) voi a’ (clsE) = cls(Ea), VelsE e Ext(B, X)

Hơn nữa, khi xem Hom(—,—), Ext(—,—) là các R — môẩun với phép nhân ngoài

định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cầu œ và œ` trên còn là các động cấu R-médun

Chứng minh:

> Kiém tra a, : Hom(X, A) > Hom(X, B) la déng cau # - môđun

VxeX, VreR, Vf e¢ Hom( XA ), ta co:

[z.07)]@) =[z07)](œ) =z[07)+)]= ø[#@)]=rz[ƒ@)]=r[(z/)⁄2)]

=r[(ø./)+)]=[r(./)])

Hay a.(rf)=ra.(f)

> Kiém tra a" :Hom(B,X)—>Hom(4, X) 1a déng cau R — médun

Vx eX, VreR, Vf e Hom( B,X), ta co:

[eA | =[CNe] =A)[e2]=r(f[a@)) ="[FO]

=r| (œ7) ]=[r(œ`7) |@)

Hay ø'(ƒ)=r#`(/)

> Kiểm tra ø,:Ext(X, 4)——>Ext(X,) là đồng cấu R —- môđun

Vr éR,VclsE e Ext(X, 4) ta có:

a,(r.clsE) = a, (cls(r, E)) = clsa(r, E)

=cls r,(a@E) =r(clsaE) = r.a,(cls E)

> Kiém tra a”: Ext(B,X)—>Ext(A, X) 1a déng cau R — médun

Hơn nữa, khi xem Hom(—,—), Ext(—,—) là các R — môđun với phép nhân ngoài

định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đông cầu nhóm E` và E, trên còn là các

déng cau R — médun

Chứng minh:

> Kiểm tra £”:Hom(4,G)——>Ext(C,G) là đồng cấu 8 — môđun

Vr> e Hom(1,G), Vr e R, taco:

E}ữœ) =els(rø)E = cls(r„œ)E (theo nhận xét 2.1.3)

=elsr„(œE) =r.cls(œE) = r.E (a)

> Kiểm tra E,:Hom(G,C)——>Ext(G, A) là đồng cấu R — môđun

Vs e Hom(Œ,C), Vr e Ñ, ta có:

E.(ry) =cls E(ry) =cls E(rev) (theo nhan xét 2.1.3)

=cls(r,(Ey)) =rcls(Ey) =r.E.(7)

ae

2.4 Ménh dé:

Néu E =(y,0): A — B—»› C la day khóp ngắn thì ta có hai dãy khớp sau của các R— môđun đối voi bat ki médun G:

0— Hom(C,G)-3Hom(B, G) 4 Hom(4,G)> Ext(C, G)-3 Ext(B,G)-% Ext(4,G)

0—>Hom(G, A)“ Hom(G, B) 2Hom(G,C) = Ext(G, A) “+ Ext(G, B)-“>>Ext(G,C)

Chứng minh:

Theo ménh dé 1.12, néu E =(yv,0): A — B— Ca day khop ngan thì ta có hai

dãy khớp các nhóm aben sau đối với bất ki môđun G:

0—> Hom(C,G)-2 Hom(B,G)-4 Hom(A, G) 2s Ext(C, G)-2 Ext(B, G) 45 Ext(4,G) 0—Hom(G, 4)“ Hom(G, B) 2+ Hom(G, C) = Ext(G, A) “+ Ext(G, B) 22> Ext(G,C)

Bây gid ta xem Hom(-,-), Ext(—,—) la cac R — môđun với phép nhân ngoài định nghĩa như ở (*) va (**) thi theo các mệnh đề 2.2 và mệnh đề 2.3 các đồng cấu nhómơ”,ø., z`, +., E` và E còn là các đồng cấu R — môđun Như vậy, hai dãy

khớp các nhóm aben trên trở thành hai dãy khớp của các # — môđun c

2.5 Mệnh đề: Ta có các đẳng cấu các môẩun sau:

s Ext(C, 4® 4,)> Ext(C, 4) ® Ext(C, 4,)

e Ext(C, ®C,, A) = Ext(C,, A) ® Ext(C,, A)

Chứng minh:

Ta có biểu đồ tổng trực tiếp các môđun: A, c=^4 ®4 c4

Với pj =1, » PrJr =1, » Pod = PiJy = 95 AD t+ (Pr = Lueu,

Tác động hàm tử Ext(C,—) lên biểu đồ trên ta được biểu đồ các môđun sau:

Ext(C, 4) Ext(C, 4, ® 4,) “=> Ext(C, 4,) (2.5.1)

Do đó, (2.5.1) là biểu đồ tổng trực tiếp của các môđun Hay ta có đẳng cấu

médun: Ext(C, 4, ® 4,)> Ext(C, 4,) ® Ext(C, 4,)

Đẳng cầu môđun còn lại chứng minh tương tự

Bằng qui nạp ta chứng minh được:

2.6 Hệ quả: Ta có các dang cdu médun sau:

° Ext(c.64 ] > ©Ext(C, 4)

° bê c.4) ~ @Ext(C,, 4)

2.7 Ménh dé:

Cho hai môäun C, G và dãy khớp ngắn E = (,Ø) : K — PC voi Pla

médun xa anh Khi đó ta có đẳng cầu môẩun sau:

Goi _ là toàn cau chiéu: R——> Re

Dễ thấy, Imz„ = zR = Ker

Do đó, ta có dãy khớp ngắn các môđun: 0——>R—>>R——>Ä⁄ Rp?

Do đó, theo mệnh đề 2.7 ta có:

Mặt khác ta có các đẳng cấu môđun sau:

s* Thật vậy, ta xây dựng đẳng cấu© : Hom(#,R)——> xác định bởi:

°(f)=f(1) voi moi_f ¢ Hom(R, R)

Như vậy, © là đẳng cấu môđun

+ Tiếp theo ta xây dựng đẳng cấu : r„|Hom(R,R)]——>rÂ

Ta có: r„|Hom(R,R)]={r;(ƒ): ƒ ¢ Hom(R, R)} = { fig : f € Hom(R, R)} la

môđun con cua médun Hom(R, R)

Đẳng cấu xác định như sau: y(fiz)=7f (1) € rR, Vf ¢ Hom(R, R)

> là đồng cấu R—- môđun:

e Nếu + = gr„ với g e Hom( R, R) thì:

f(D) = (AQ) = Fre) (theo nhận xét 2.1.3)

= (gr )(1) = (rg)() = rg (I).

CHUONG 3: MOT SO VAN DE VE LOP CAC MODUN

TUONG DUONG XA ANH

3.1 Một số khái niệm mở đầu và các tính chất

3.1.1 Định nghĩa:

Ta gọi 2 môẩun C và C` là tương đương xạ ảnh nếu tổn tai cac médun xa ảnh Q

và và đẳng cầu môđun C ® Q > CC ®Q Kí hiệu: C ~ C

Giả sử môđun 4 tương đương xạ ảnh với môđun B va médun Ö tương đương xa

ảnh với môđun C Khi đó, tồn tại các môđun xa anh Q va Q’, P và P` và các

đẳng cấu médun A®@O'=BOO, BOP =COP.

Vì tổng trực tiếp của hai môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh nên ta có các médun xa ảnh Q®P và Ợ ®P, và đẳng cấu:

4®(đ®P)z>(4®0)®P>(B@0)®P>B@O@Px>B@P@O

~(Z®P)®Q>(C@®P)®Q>C@(P®0)

Do đó, môđun 4 tương đương xạ ảnh voi mddun C

Như vậy quan hệ tương đương xạ ảnh là một quan hệ tương đương

Ext"(C, 4) > Ext'(C, 4)®0= Ext"(C, 4) ® Ext'(Ø, 4) = Ext"(C@® Ø,4)

>Ext"(C ®0, 4) z Ext"(C, 4) ® Ext"(O, 4) = Ext"(C, 4) ®0 z Ext"(Œ, 4)

Ầ

3.1.4 Mệnh đề:

Cho P va P' là hai môäun xạ ảnh Khi đó ta luôn có: P~ P

xạ ảnh voi médun 0 thi P la médun xa anh

Thật vậy, nếu P ~ 0thì tồn tại các môđun xạ ảnh Q và Ø và đẳng cấu môđun

P®O =0®QZQ Do do, P la hạng tử trực tiếp của môđun xạ ảnh nên P cũng

3.1.6 Mệnh đề: (bỗ đề S.Schanuel)

Cho trước hai dãy khóp ngắn:

E,=(i,p): KPC va E)= (i,p):K ~P +C

trong dé Pva P laxaanhvaK CP, K cP

Khi đó tôn tại đẳng cấu P@P xP@P ánh xạ đẳng cấu K@P xP@K' Chứng minh:

Trước tiên, do P và P là xạ ảnh nên lần lượt với hai toàn cấu p : P_` Cvà

p:P_ Csẽ tồn tại hai đồng cấu tương img :P Pvàự :P_ Psaochota

Ta cần kiểm tra © là đẳng cấu và ø(K ® P)= P@® K'

Thật vậy, do tính đồng cấu của và y ta dé dang kiém tra duge © 1a đồng cấu

> Kiểm tra© là đơn cấu:

Giả sử ø(+,y)=(x— @),y—W ()+())= (0,0) Khi đó, ta có:

Từ (3.1643) x=v()_ w(Œ)=ựW (0)

Do dé, tir (3.1.6.4) y=0 Vì vậy, x=ự (0)=0

Như vậy, (x,y) = (0,0) Hay © la don cấu

> Kiểm tra © là toàn cấu:

Tiếp tuc, V(a,b) P@K, thì ta chọn |

chứng minh 9 là toàn cấu thì ta có ø(x, y) = (a,b)

Thay déivaitroctax K,y P,ự và trong chứng minh

y-ựự(y)+ự(z) eK' ởtrên lầnlượtcho) K,a P, vay tacũng có

Khi đó, lớp các môđun tương đương xạ ảnh với môđun K phụ thuộc chỉ vào lớp

tương đương xạ ảnh cua médun C mà không phụ thuộc vào việc chọn sS

Ta phân tích Š và ` thành tích các dãy khớp ngắn như sau:

S=E,cE,,0 0F, va S'=E cE) ,0 0F,

trong d6, E,:K,— P_,— K,, va E,:K,—~ P,>K,,,i=1, ,”

Voi K,=K,K,=C, K,=Im(P > P,)=Ker(P_, > P.,),i=1, ,n-1

(trong d6 P, =C)

Và K;=K', K,=C, K,=Im(P ->P,)=Ker(P,->P,),Ă=1, ,w— 1 (trong đú P,= CC)

Do Kạ= C tương đương xạ ảnh với K; =C` nờn tồn tại cỏc mụđun xạ ảnh ể và

O va dang ctu COO'=C OO

ta được dóy khớp ngắn: #Ăđ E:KĂđ0>—ơ P đQ@—›C đ0

Từ tớnh khớp của hai dóy E,đ E và E,đ E, và do ? đỢỉ, PđO là hai

mộdun xa anh nờn theo mệnh đề 3.1.6 ta cú:

(K, đ0)đ(#để)* (,đỉ)đ(K;đ0)=(P, đỉ)đ K,

K,đ(Œđ0)xŒ, âO)@K,=K, OP, 0)

Hay K, tuong duong xa anh vội K,

Tiếp tục như vậy lần lượt đối với cỏc cặp dóy khớp ngắn E, và E;, , E,và E; ta