[r]
Trang 1Chuyên đề hình giải tích trong
không gian Ch
ơng 1
Mặt Phẳng Bài 1
Phơng trình mặt phẳng
Bài 1 Lập phơng trình tham số của mặt phẳng
(P) đi qua điểm M(2,3,2) và cặp VTCP là
⃗
a(2,1,2); ⃗b(3,2, −1)
Bài 2: Lập phơng trình tham số của mặt phẳng
(P) đi qua M(1,1,1) và
1) Song song với các trục 0x và 0y
2) Song song với các trục 0x,0z
3) Song song với các trục 0y, 0z
Bài 3: Lập phơng trình tham số của mặt phẳng
đi qua 2 điểm M(1,-1,1) và B(2,1,1) và :
1) Cùng phơng với trục 0x
2) Cùng phơng với trục 0y
3) Cùng phơng với trục 0z
Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ ⃗n vuông
góc với hai véc tơ ⃗a(6,− 1,3); ⃗b(3,2,1)
Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết
(P) có cặp VTCP là ⃗a(2,7,2); ⃗b(3,2,4 )
Bài 6: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng
(P) biết :
1) (P) đi qua điểm A(-1,3,-2) và nhận
⃗
n(2,3,4); làm VTPT
2) (P) đi qua điểm M(-1,3,-2) và song song với
(Q): x+2y+z+4=0
Bài7: Lập phơng trình tổng quát của các mặt
phẳng đi qua I(2,6,-3) và song song với các mặt
phẳng toạ độ
B
ài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho
điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi
qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),
(Q)
Bài 2
Chuyển dạng phơng trình
mặt phẳng
Bà
i1 Tìm một cặp VTCP của các mặt phẳng sau:
1) (P) : x-2y-1=0
2)
x=1+t1+t2
y =2t1+t2
z=1+3 t1+t2
¿{ {
3) (P) : x+4y+7z+16=0
Bài 2: Tìm một cặp VTPT của các mặt phẳng
sau:
1)
x=1+t1+t2
y =2t1+t2 z=1+3 t1+t2
¿{ {
2) (P): x-2y-1=0
3) (P) :x+4y+7z+16=0
Bài 3: Chuyển dạng phơng trình tổng quát của
(P) sang dạng tham, số trong các trờng hợp sau: 1) (P): x+2y+3z-12=0
2) (P): 3x+2y+z-6=0
3) (P): x+2y-4=0
4) (P): 2y+3z-6=0
Bài 4: Chuyển dạng phơng trình tham số của (P)
sang dạng tổng quát trong các trờng hợp sau:
1)
x=1− t1+t2 y=2t1 z=2 t2
¿{ {
2)
x=1+t1+t2
y =2t1+t2 z=1+3 t1+t2
¿{ {
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) phơng trình tham số:
x=−1+t1
y =2+t2 z=3 −t1
¿{ {
1) Lập phơng trình tổng quát của (P)
2) Lập phơng trình tổng quát của (Q) đi qua
điểm A(1,2,3) và song song với (P)
Bài 6: Lập phơng trình tham số và phơng trình
tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
1) Đi qua hai điểm A(0,-1,4) và có cặp VTCP là
⃗
a (3,2,1) và ⃗b (−3,0,1)
2) Đi qua hai điểm B(4,-1,1) và C(3,1,-1) và cùng phơng với trục với 0x
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có A(5,1,3) B(1,6,2)
C(5,0,4) D(4,0,6) 1) Viết phơng trình tham số và phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)
2) Viết phơng trình tham số và phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vpí cạnh CD
Bài 8: Viết phơng trình tham số và tổng quát của
(P) 1) Đi qua ba điểm A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,03)
Trang 22) Đi qua A(1,2,3) ,B(2,2,3) và vuông góc với
mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
3) Chứa 0x và đi qua A(4,-1,2) ,
4) Chứa 0y và đi qua B(1,4,-3)
Bài 9: Cho hai điểm A(3,2,3) B(3,4,1) trong
không gian 0xyz
1) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực
của AB
2) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông
góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
3) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và
song song với mặt phẳng (P).
Bài 3
Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt
phẳng sau:
1) (P1): y-z+4=0, và
(P2):
x=3+2 t1 y=1 −t1− 4 t2 z=5 −t1− 4 t2 ,(t1, t2∈ R)
¿{ {
(P2):
x=1+2 t1+3 t2
y=7+t1− 2t2 z=3+4 t1+t2 ,(t1, t2∈ R)
¿{ {
3) (P1): x+y-z-4=0và
(P2):
x=1+t1− t2 y=2+2 t1−t2 z=− 1+t1+t2 ,(t1, t2∈ R)
¿{ {
Bài 4
Chùm mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(2,1,3)
và chứa (d) , biết :
1)
(d ):
2 x − y +3 z − 5=0
x − 2 y +z −1=0
¿{
2)
(d ) :
x=−t
y=2+2 t
z=1+2 t
¿{ {
Bài 2:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm
M(2,1,-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt
phẳng (P1) và (P2) có phơng trình :
(P1): x-y+z-4=0 và (P2) 3x-y+z-1=0
Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng
thẳng
(d ):
3 x −2 y +z − 3=0
x −2 z=0
¿{
và song song với mặt
phẳng (Q) có phơng trình :
(Q): 11x-2y-15z-6=0
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao
tuyến của (P1): y+2z-4=0 và (P2) : x+y-z-3=0 và song song với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng
thẳng
(d ):
3 x −2 y +z − 3=0
x −2 z=0
¿{
và vuông góc với (Q)
có phơng trình ; 1) (ĐHNNI-95): (Q): x-2y+z+5=0
2)
(Q ):
x=4 +3 t1+t2
y=4+t1− 2t2 z=− 5− t1+t2 ,(t1,t2∈ R)
¿{ {
Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai
và (P2): x+4y-5=0 và vuông góc với mặt phẳng : 2x-z+7=0
Bài 7: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng
thẳng :
(d ):
3 x −2 y +z − 3=0
x −2 z=0
¿{
và song song với đ-ờng thẳng (d) có phơng trình :
1)
(d ):
3 x − y +2 z − 7=0
x +3 y −2 z+3=0
¿{
− 2 =
y −3
z +5
5
Bài 8:Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng
thẳng :
(d ):
x −2 y=0
3 x −2 y +z − 3=0
¿{
và vuông góc đờng thẳng (d) có phơng trình :
1)
(d ):
3 x − y +2 z − 7=0
x +3 y −2 z+3=0
¿{
− 2 =
y −3
z +5
5
Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng
thẳng và với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:
Trang 3(d ):
3 x −2 y +z − 3=0
x −2 z=0
¿{
và (Q):3x+4y-6=0
Bài 10: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng
thẳng
( d ):
x − 3 z −2=0
y +5 z −1=0
¿{
và có khoảng cách đến
điểm A(1,-1,0) bằng 1
Bài 11: Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng
( d ):
x − z −2=0
y+ z −1=0
¿{
và (P1): 5x+5y-3z-2=0 và (P2
):2x-y+z-6=0 Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa
đ-ờng thẳng (d) sao cho: ( P)∩(P1) và
(P)∩(P2) là hai đờng trực giao
(d2) có phơng trình :
(d1):
x − 8 z +23=0
y −4 z+1=0
,
¿{
,
(d2):
x − 2 z −3=0
y +2 z+2=0
¿{
1) Viết phơng trình các mặt phẳng (P1) ,
(P2) song song với nhau và lần lợt chứa
(d1) (d2)
2) Tính khoảng cách giữa (d1) , (d2)
3) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song
với trục Oz và cắt cả 2 đờng thẳng (d1) ,
(d2)
B
ài 5
Khoảng cách từ một điểm
tới mặt phẳng
Bài1:Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến
mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
1) (P): 2x+y-3z+3=0
2)
( P) :
x=4 +3 t1+t2
y=4+t1− 2t2
z=− 5− t1+t2
¿{ {
Bài2:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn
Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5,1,3) B(1,6,2)
C(5,0,4) D(4,0,6)
1) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC)
2) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D
của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện
3) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của
góc nhị diện (A,BC,D)
Bà3:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn
Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1,1,1) B(-2,0,2)
C(0,1,-3) D(4,-1,0)
1) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện
2) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A,BC,D)
Ch ơng 2
Đờng thẳng trong không gian Bài 1
Phơng trình đờng thẳng
Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các
trờng hợp sau : 1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) và nhận ⃗a(3,2,3)
làm VTCP 2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) và B(2,-1,3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình
tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng (P) : x-3y+2z-6=0 và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng
thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đ-ờng thẳng (d) có phơng trình
(d ):
3 x − y +2 z − 7=0
x +3 y −2 z+3=0
¿{
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có
phơng trình là :
(d ):
3 x − y +4 z+1=0
2 x +3 y +z+7=0
¿{
và (P): x+y+z+1=0
Tìm phơng trình chính tắc của đờng thẳng (t) đi qua A(1,1,1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
B
ài 2
Chuyển dạng phơng trình
đờng thẳng
Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phơng của các đờng thẳng
sau 1) (d ): x −1
y +2
z+1
3
2)
( d) :
x − y +4 z+10=0
2 x − 4 y − z+6=0
¿{
Bài 2:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( d) :
x − y +4 z+10=0
2 x − 4 y − z+6=0
¿{
Hãy viết phơng trình tham
số của đờng thẳng đó
Trang 4Bài3:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( d) :
x − y +4 z+10=0
2 x − 4 y − z+6=0
¿{
Hãy viết phơng trình chính
tắc của đờng thẳng đó
Bài4:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
(d ) :
x=−t
y=2+2 t
z=1+2 t
¿{ {
Hãy viết phơng trình tổng quát của
đờng thẳng đó
Bài5:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng
quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2,1,3) và
vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trờng hợp
sau:
1) (P): x+2y+3z-4=0
2)
( P) :
x=4 +3 t1+t2
y=4+t1− 2t2
z=− 5− t1+t2
¿{ {
3)
( P) :
x=−1+t1
y =2+t2
z=3 −t2
¿{ {
Bài 6:Lập phơng trình tham số, chính tắc và
tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(1,2,3) và song song với đờng thẳng (D) cho
bởi :
1)
(D):
x=2+2 t
y =−3 t
z=−3+t
t∈ R
¿ { {
2)
( D ):
x + y −1=0
4 x +z +1=0
¿{
Bài 7:Lập phơng trình tham số, chính tắc và
tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(1,2,3) và vuông góc với 2 đờng thẳng :
(d1):
2 x + y −2=0
2 x +z −3=0
¿{
,
(d2):
x − y +4 z+10=0
2 x − 4 y − z+6=0
¿{
Bài8:Trong không gian Oxyz, lập phơng trình
tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng
(d) đi qua điểm A(3,2,1), song song với mặt
phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng
Biết mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 và
x + y −1=0
4 y+z +1=0
¿{
B
ài 3
Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt
phẳng
Bài1: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và
mặt phẳng (P) ,biết:
1)
(d):
x=1+t y=3 −t
z =2+t
, t∈ R
¿ { {
(P): x-y+z+3=0
2)
(d ) :
x=12+4 t
y =9+t z=1+t
¿{ {
(P): y+4z+17=0
3)
(d ) :
2 x +3 y +6 z − 10=0
x + y +z+5=0
¿{
(P): y+4z+17=0
4)
(d ):
x+ y+ z −3=0
y −1=0
¿{
(P): x+y-2=0
Bài 2: hãy tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng (d)
và mặt phẳng (P) cho bởi :
1)
(d ) :
x=12+4 t
y =9+3 t z=1+t
¿{ {
.và
(P ):
x=−1+t1 y=2+t2 z=3 −t2
¿{ {
2)
(d ) :
2 x +3 y +6 z − 10=0
x + y +z+5=0
¿{ (P):
x=2− t1−t2
y=−1+2 t2 z=− t1
( t1, t2∈ R)
¿ { {
Trang 53)
( d ):
x=1+√2t
y=−2+t
z=2+√2 t
¿{ {
(P): x-2y+2z+3=0
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và
đờng thẳng (d) có phơng trình (P) :2x+y+z=0 và
y
z+2
1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P)
Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian
phơng trình : (P) :2x-y+2=0 ,
(d m): (2 m+1)x +(1− m) y +m− 1=0
mx+(2 m+1) z+4 m+2=0
¿ {
xác định m để (dm)//(P)
B
ài 4
Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tơng
đối của hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng
trình cho bởi:
1)
(d1):
x =−3+2 t
y=− 2+3t
z =6+4 t
t∈ R
¿ { {
,
(d2):
4 x + y −19=0
x − z +15=0
¿{
2)
(d1):
x=1+2 t
y=2+t
z=−3+3t
¿{ {
,
(d2):
x =u+2 y=− 3+2u z=3 u+1
¿{ {
3)
(d1):
2 x + y +1=0
x+ y − z +1=0
¿{
,
(d2):
3 x+ y − z+3=0
2 x − y +1=0
¿{
Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1):
x=5+2 t
y=1 −t
z=5 −t
¿ { {
,
(d2):
x=3+2t1 y=− 3− t1 z=1− t1
(t,t1∈ R)
¿{ {
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) song
song với nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1),(d2)
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1):x +7
y −5
z − 9
− 4 ,
(d2):x
y+4
− 1 =
z +18
4
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) song song với nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1),(d2)
Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1):
x=−3+2t y=− 2+t z=6+4 t
¿{ {
,
(d2):
4 x + y −19=0
x − z +15=0
¿{
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) cắt nhau
2) Viết phơng trình đờng phân giác của (d1),(d2)
Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1):x −1
− 2 =
y+2
z −4
3
(d2):
x=− 1+t y=−t z=−2+3 t
(t ∈ R )
¿{ {
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) cắt nhau
2) Viết phơng trình đờng phân giác của (d1),(d2)
Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1):
x=1− t y=t z=−1
¿ { {
,
(d2):
x=2 t1 y=1+t1 z=t1
(t,t1∈ R)
¿{ {
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau
2) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d1),(d2)
Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1) :
x+8z+23=0
y-4z+10=0
¿{
,
(d2):
x − 2 z −3=0
y +2 z+2=0
¿{
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau
Trang 62) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song,
cách đều (d1),(d2)
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1):x −1
y − 2
z −3
3
(d2):
x+2 y − z=0
2 x − y +3 z − 5=0
¿{
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau
2) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song,
cách đều (d1),(d2)
B
ài 5
Hai đờng thẳng đồng phẳng và bài tập
liên quan
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phơng trình
mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2) ,biết:
(d1):x +1
y − 1
z − 3
−2
(d2):x
y − 1
z −3
2
Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1,-1,1) và
hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1) :
3x-y-z+3=0
2x-y +1=0
¿{
(d2):
x=t y=− 1− 2t z=−3 t
¿{ {
CMR (d1),(d2) và điểm A cùng thuộc mặt
phẳng
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng
trình cho bởi :
(d1) :
2x+ y+1=0 x-y+z −1=0
¿{
(d2):
3 x+ y − z+3=0
2 x − y −1=0
¿{
1) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P)
chứa (d1),(d2)
3) Viết phơng trình đờng phân giác của(d1),(d2)
Bài 4: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng
trình cho bởi : (d1):x −2
y − 1
z −1
1
(d2):
x=1+2t y=t +2 z=−1+3 t
¿{ {
1) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định
toạ độ giao điểm của nó
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P)
chứa (d1),(d2)
3) Viết phơng trình đờng phân giác của(d1),(d2)
Bài5: cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng
trình cho bởi :
(d1):x −3
y +1
z −2
(d2):
4 x − y −2=0
3 x − z=0
¿{
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) song song với nhau
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)
3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d1),(d2)
B
ài 6 Hai đờng thẳng chéo nhau và bài tập
liên quan
Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d1),(d2)
có phơng trình cho bởi :
(d1):
x=−7+3 t y=4 −2 t z=4+3 t
¿ { { (d2):
x=1+t1 y=− 9+2t1 z=− 12− t1
(t,t1∈ R)
¿{ {
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d1),(d2)
Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz ,
cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi : (d1): x=-y+1=z-1, (d2): -x+1=y-1=z
Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) và toạ độ điểm A2
thuộc (d2) để đờng thẳng A1A2 vuông góc với (d1) và vuông góc với (d2)
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng (d1), (d2) có phơng trình cho bởi :
(d1):
x=1− t y=t z=−1
¿ { {
,
(d2):
x=2 t1 y=1+t1 z=t1
(t,t1∈ R)
¿{ {
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau.Viết phơng trình mặt phẳng (P),(Q) song song với nhau và lần lợt chứa (d1),(d2) 2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)
Trang 7Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đờng thẳng (d1),(d2)
có phơng trình cho bởi :
(d1):
x =−1+3 t y=− 3+2t
z =2− 1
¿{ {
(d2):
3 x − 2 y −8=0
5 x+2 z − 12=0
¿{
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
chung của (d1),(d2)
Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đờng thẳng (d1),(d2)
,biết:
(d1):x +1
y − 1
z − 2
1
(d2):x −2
y+2
z
− 2
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
chung của (d1),(d2)
Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) ,biết:
:
(d1) :
x + y=0
x-y+z − 4=0
¿{
(d2):
x=1+3 t y=−t z=2+t
¿{ {
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau
2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)
Bài 7: : cho hai đờng thẳng (d1),(d2) ,biết:
(d1):x −7
y −3
z − 9
−1
(d2):x −3
− 7 =
y − 1
z −1
3
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2)
chéo nhau
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
chung của (d1),(d2)
Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đờng thẳng (d1),
(d2) có phơng trình cho bởi :
(d1):
x=2+21t
y=− 1+t1
z=1
¿{ {
,
(d2):
x=1
y =1+t2 z=3 −t2
(t1,t2∈ R)
¿{ {
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau
2) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2)
3) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)
Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đờng thẳng (d1), (d2) có phơng trình cho bởi :
(d1) :
x+ y+2z=0
x-y+z +1=0
¿{
(d2):
x=−2+2 t y=−5 t z=2+t
¿{ {
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo nhau
2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) 3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d1),(d2)
Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các
đỉnh S(-2,2,4), A(-2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-2,1,1) Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và SB
Ch ơng 3
Điểm, đờng thẳng và
Mặt Phẳng Bài 1
Đờng thẳng đi qua một điểm cắt cả hai
đ-ờng thẳng cho trớc.
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
A(1,2,3) và cắt cả hai đờng thẳng
1)
(d1) :
x+8z+23=0
y-4z+10=0
¿{
(d2):
x − 2 z −3=0
y +2 z+2=0
¿{
2) (d1):x −1
y − 2
z −3
3
(d2):
x+2 y − z=0
2 x − y +3 z − 5=0
¿{
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc
toạ độ và cắt cả hai đờng thẳng:
(d1):
x=1+2 t y=2+t z=−3+3t
¿{ {
,
(d2):
x =u+2 y=− 3+2u z=3 u+1
¿{ {
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) song
song với đờng thẳng () và cắt cả hai đờng
Trang 8thẳng:
( Δ) :
x + y +2 z=0
x − y+z +1=0
¿{
(d1):
x=2+t y=1 −t z=2 t
¿{ {
(d2):
x+2 z −2=0
y −3=0
¿{
Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phơng trình đờng
thẳng đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đờng thẳng:
(d1):x
y+1
z −1
y
z
1
Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phơng trình đờng thẳng
đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đờng thẳng:
(d1) :
3x-2y-8=0
5x+2z-12=0
¿{
(d2):
x=−1+3 t y=− 3− 2t z=2 −t
¿{ {
Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d) vuông
góc với (P) :x+y+z-2=0 và cắt cả hai đờng thẳng
(d1) và (d2):
(d1):
x=2+t
y=1 −t
z=2 t
t∈ R
¿ { {
(d2):
x+2 z −2=0
y −3=0
¿{
Bài 7: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua
gốc toạ độ và cắt cả 2 đờng thẳng (d1) và (d2):
(d1):
x=2 t+1
y =t+2
z=3 t −3
t ∈ R
¿{ {
(d2):
x=u+2 y=−3+2u z=3 u+1 −3=0
¿{ {
Bài 2
Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc
với cả hai đờng thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
A(1,2,3) và cắt cả hai đờng thẳng (d1) ,(d2):
1)
(d1) :
x+8z+23=0
y-4z+10=0
¿{
(d2):
x − 2 z −3=0
y +2 z+2=0
¿{
2)
(d1):
3 x − 2 y −8=0
5 x+2 z − 12=0
¿{
(d2):
x=−1+3 t y=− 3− 2t z=2 −t
¿{ {
Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phơng trình đờng
thẳng (d) đi qua A(1,1,-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng (d):
y −1
z − 2
Bài 3
Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc
với một đờng và cắt một đờng thẳng khác
Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phơng trình
ờng thẳng đi qua A(0,1,1) và vuông góc với đ-ờng thẳng (d1) và cắt (d2) ,biết :
(d1):x −1
y+2
z
1
(d2):
x+ y − z +2=0
x +1=0
¿{
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
A(1,1,1) và vuông góc với đờng thẳng (d1) và cắt (d2) ,biết :
(d1) :
x+ y+z-3=0
y +z-1=0
¿{
(d2):
x − 2 y −2 z+9=0
y − z +1=0
¿{
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng cắt cả ba
đ-ờng thẳng (d1) (d2) , (d3)và vuông góc với vectơ
⃗
u (1,2,3) , biết:
(d1) : x-y+1=0
z +1=0
¿{
(d2):
x+ y − 1=0 z=0
¿{
(d3):
x − y −1=0
z =1
¿{
Bài 4: Tìm tất cả các đờng thẳng cắt (d1), (d2)
d-ới cùng một góc , biết:
(d1) : mx-y=0
z=a
¿{
(d2):
mx+ y =0
z=− a
¿{
Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phơng trình đờng thẳng
đi qua A(3,-2,-4) song song với mặt phẳng (P) : 3x-2y-3z-7=0 và cắt đờng thẳng (d) biết:
y+4
− 2 =
z − 1
2
Bài 4:
Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng
Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2,1,3)
qua (P) cho bởi:
1) (P): 2x+y-z-3=0
Trang 9( P) :
x=1+t1−t2
y =2+2t1− t2
z =−1+t1+t2
(t1,t2∈ R)
¿{ {
Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1,2,3) và
mặt phẳng (P) có phơng trình :2x-y+2z-3=0
1) Lập phơng trình mặt phẳng qua A và song
song với (P)
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
(P) Xác định toạ độ của H
Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm
A(1,1,2),B(-2,1,-1) ,C(2,-2,-1) Xác định toạ độ
hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng
(ABC)
Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2,3,5) và
mặt phẳng (P) có phơng trình :2x+3y+z-17=0
1) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A và
vuông gócvới (P)
2) CMR đờng thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao
điểm M của chúng
(P)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có
phơng trình :
(P): 2x+5y+z+17=0 và
( d ):
3 x − y +4 z− 27=0
6 x+3 y − z +7=0
¿{
1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
(d) qua (P)
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có
phơng trình :
(P): 2x+y+z+4=0 và
( d ):
x +2 y − 3=0
3 x −2 z− 7=0
¿{
1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
(d) qua (P)
Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a,0,0);
B(0,b,0); C(0,0,c) (a,b,c dơng ) >Dựng hình hộp
chữ nhật nhận O,A,B,C làm 4 đỉnh và gọi D là
đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó
1) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
2) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C
xuống mặt phẳng (ABD) Tìm điều kiện đối
với a,b,c để hình chiếu đó nằm trong mặt
phẳng (xOy)
Bài 5:
Hình chiếu vuông góc của đờng thẳng lên
mặt phẳng
Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian
với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
(P):x+y+z-3=0 và
(d ):
x+z −3=0
2 y −3 z=0
¿{
Lập phơng trình
hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) lên (Q)
Bài 2: Lập phơng trình hình chiếu vuông góc
của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0
Bài3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ
toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
(d ) : x
y − 4
z +1
Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc của (d) lên (P)
Bài4: Trong không gian 0xyz cho đờng thẳng
(d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình :
(d ) :
3x-2y +z-3=0 x-2z=0
¿{
(Q):
x=4 +3 t1+t2 y=4+t1− 2t2 z=− 5− t1+t2
(t1,t2∈ R)
¿{ {
Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) lên (Q)
Bài5: Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có
phơng trình :
(d ) : 2x-y +z+1=0
x+2y-z-3=0
¿{
(Q): x-y+z+10=0
Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P)
Bài6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với
hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
y −2
z − 1
Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (P)
Bài7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ
độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
y −2
z − 1
1) Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d1) của (d) lên (Oxy)
tiếp xúc với một đờng tròn cố định trong mặt phẳng 0xy
Bài8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ
độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) và hai đ-ờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình :
(P):x+y-z+1=0
Trang 10(d1) :
2y-z+1=0
x +2y=0
¿{
(d2):
3 y − z+12=0
x − z +2=0
¿{
1) Hãy viết phơng trình hình chiếu vuông góc
(1), (2) của (d1), (d2) lên (P) Tìm toạ độ
giao điểm I của (d1), (d2)
2) Víêt phơng trình mặt phẳng (P1) chứa (d1)
và vuông góc với (P)
Bài 6:
Hình chiếu vuông góc của
điểm lên đờng thẳng
Bài 1: cho điểm A(1,2,3) và đờng thẳng (d) có
phơng trình :
(d ):
x − 2 y −2 z+9=0
y − z +1=0
¿{
Xác định toạ
độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) Từ đó
tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d)
Bài2: cho điểm A(1,2,-1) và đờng thẳng (d) có
phơng trình :
(d ):
x=2 t+1
y =t+2 z=3 t −3
¿{ {
Xác định toạ độ hình
chiếu vuông góc của A lên (d) Từ đó tìm toạ độ
điểm A1 đối xứng với A qua (d)
Bài3: cho điểm A(2,1,-3) và đờng thẳng (d) có
phơng trình : (d ) : x − 1
y −2
z +3
toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) Từ đó
tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d)
Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không
gian 0xyz cho điểm A(2,-1,1) và đờng thẳng (d)
có phơng trình :
(d ):
y+z − 4=0
2 x − y − z +2=0
¿{
1) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và
vuông góc (d)
2) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua
(d)
Bài 5: (Đề 60-Va): Lập phơng trình đờng thẳng
qua A(3,2,1) và vuông góc với đờng thẳng
(d) :x
y
z +3
Bài 6: (ĐHTM-2000): Lập phơng trình đờng
thẳng qua A(2,-1,0) và vuông góc với đờng
thẳng
(d ) :
5 x+ y +z+2=0
x − y+2 z +1=0
¿{
và cắt với đờng thẳng đó
Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đờng thẳng ()
và (d) có phơng trình :
y −1
z − 1
3
y − 3
z − 9
− 1
Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với (d) qua ()
Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2
đờng thẳng (d1),(d2) :
(d1):
2 x + y +1=0
x − y+z −1=0
(d2):
¿x=t y=1+2 t z=4+5 t
¿{
1) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không 2) Gọi B,C lần lợt là các điểm đối xứng của A(1,0,0) qua (d1),(d2) Tính diện tích tam giác ABC
Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho
đ-ờng thẳng (d1) và mặt phẳng (P) :
(d1):
2 x − y −2 z − 3=0
2 x − y −2 z − 17=0 (P): x −2 y +z − 3=0
¿{
1) Tìm điểm đối xứng của điểm A(3,-1,2) qua
đờng thẳng (d) 2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đ-ờng thẳng (d) trên mặt phẳng (P)
Bài10: Trong không gian 0xyz cho bốn đờng
thẳng (d1), (d2), (d3), (d4) có phơng trình :
(d1):
mx − y =0
z=h
¿{
,
(d2):
mx − y =0
z=−h
¿{
,
(d3):
mx+ y =0
z=h
¿{
,
(d4):
mx+ y =0
z=− h
¿{
CMR các điểm đối xứng A1, , A2, , A3,
A4 của A bất kì trong không gian qua (d1), (d2), (d3), (d4) là đồng phẳng Lập phơng trình mặt phẳng chứa chúng
Bài 7:
Điểm và mặt phẳng
Bài 1: cho hai điểm A(1,0,2) ;B(2,-1,3) và mặt
phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM+BM nhỏ nhất
Bài 2: cho hai điểm A(1,1,0) ;B(0,-1,1) và mặt
phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM+BM nhỏ nhất
