Cực trị trong Hình Học không gian ôn thi THPT Quốc gia

Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho... Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho... Tính thể tích lớn nhất Vmax của

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Câu 1: Cho hình chóp S ABC có SAa, SBa 2, SCa 3 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối

chóp đã cho

A Vmax a3 6 B

3 max

6 2

a

3 max

6 3

a

3 max

6 6

a

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBC AH SBC

Ta có AH  AS

Dấu '''' xảy ra khi AS SBC

SBC

S  SB SC BSC SB SC

Dấu '''' xảy ra khi SBSC

V  S AH   SB SC AS   SA SB SC

Dấu '''' xảy ra khi SA SB SC đôi một vuông góc với nhau , ,

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là

3 max

a

Chọn D

Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài đường chéo AC ' 18 Gọi S là diện tích

toàn phần của hình hộp đã cho Tìm giá trị lớn nhất Smax của S

A Smax 36 3 B Smax 18 3 C Smax 18 D Smax 36

Lời giải

Gọi a b c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật Khi đó , , Stp 2ab bc ca

Theo giả thiết ta có a2b2c2 AC'2 18

Từ bất đẳng thức 2 2 2

a b c ab bc ca  , suy ra Stp 2ab bc ca2.1836

Dấu '''' xảy ra abc 6

Chọn D

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 4, cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng đáy ABCD và SC 6 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 40

3

V  B max 80

3

V  C max 20

3

V  D Vmax 24

C

B S

A

H

Lời giải

Đặt cạnh BCx0.Tam giác vuông ABC có , AC2 16x2

Tam giác vuông SAC có , SA SC2AC2  20x2

Diện tích hình chữ nhật S ABCD  AB BC 4 x

.

S ABCD ABCD

V  S SA x x

Áp dụng BĐT Côsi, ta có 2  22

2

20

2

S ABCD

Dấu " " xảy ra x 20x2 x 10 Vậy max 40

3

V 

Cách 2 Xét hàm số   4 2

20 3

f x  x x trên 0; 2 5 

Chọn A

Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SASBSC1 Tính thể tích lớn

nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 1

6

12

12

12

V 

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Vì S ABC là hình chóp đều

SO ABC

Đặt AB x0 Diện tích tam giác đều

2

3 4

ABC

x

S 

S

A

B

C

M

O

6

x

4

S

C

D

Tam giác vuông SOA có , 2 2 1

3

x

SO SA OA  

Khi đó

.

S ABC ABC

Xét hàm   1 2 2

12

f x  x x trên 0; 3 , ta được 

0; 3     1

6

3

3

x x  x x  x       

Chọn A

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD 4 Các cạnh bên bằng nhau và

bằng 6 Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 130

3

V  B max 128

3

V  C max 125

3

V  D max 250

3

V 

Lời giải

Gọi O ACBD Vì SASBSCSD suy ra hình chiếu của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  SOABCD

Đặt AB x0 Tam giác vuông ABC có ,

16

AC  AB BC  x 

Tam giác vuông SOA có ,

Khi đó

2

.4

S ABCD ABCD

x

Dấu '''' xảy ra 2

x x x Suy ra . 128

3

S ABCD

Chọn B

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 1; SO vuông góc với

mặt phẳng đáy ABCD và SC 1 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 2 3

9

3

27

27

Lời giải

O

6

D

C

S

4

x

Đặt OAOCx

Tam giác vuông AOD có , OD AD2OA2  1x2 Suy ra BD2 1x2

Diện tích hình thoi S ABCD OA BD 2x 1x2

Tam giác vuông SOC có , SO SC2OC2  1x2

Thể tích khối chóp . 1

3

S ABCD ABCD

Xét hàm    2

1

f x x x trên 0;1, ta được

   

0;1

3 3 3

f x  f  

 

Suy ra max 4 3

27

Cách 2 Áp dụng BDT Côsi, ta có

Chọn D

Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD4a Các cạnh bên của

hình chóp bằng nhau và bằng a 6 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A

3 max

8 3

a

3

V  a C Vmax 8 a3 D Vmax 4 6a3

Lời giải

Do SASBSCSDa 6 nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD

trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật Gọi

H ACBD, suy ra SH ABCD

Đặt AB x0 Ta có AC  AD2AB2  x216a2

H

D

C

B

A

S

O

1

D

C

S

1

x

Tam giác vuông SHA có , 2 8

S ABCD ABCD

V  S SH  AB AD SH

Chọn A

Câu 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C AB , 2 Cạnh bên SA 1và

vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 1

3

V  B max 1

4

V  C max 1

12

V  D max 1

6

V 

Lời giải

Đặt ACx0 Suy ra CB AB2CA2  4x2

Diện tích tam giác

2

ABC

.

S ABC ABC

V  S SA x x

Chọn A

Câu 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C cạnh bên , SA vuông góc với

mặt phẳng đáy ABC Biết SC 1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 3

12

12

27

27

Lời giải

Giả sử CACBx0 Suy ra SA SC2AC2  1x2

Diện tích tam giác 1 1 2

ABC

S  CA CB x

1

x

x

S

C

C

B

A

S

Khi đó 2 2

.

S ABC ABC

V  S SA x x

Xét hàm   1 2 2

1 6

f x  x x trên 0;1, ta được

   

0;1

max

3 27

f x  f  

 

 

3

x x  x x  x       

Chọn D

Câu 10: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB 1 Các cạnh bên

2

SASBSC Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 5

8

V  B max 5

4

V  C max 2

3

V  D max 4

3

V 

Lời giải

Gọi I là trung điểm của BC Suy ra IAIBICI là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC Theo giả thiết, ta có SASBSC suy ra I là hình chiếu của S trên mặt phẳng

ABCSI ABC

Đặt ACx0 Suy ra BC AB2AC2  x2 1

Tam giác vuông SBI có ,

2

2

x

SI  SB BI  

Diện tích tam giác vuông 1

ABC

x

S  AB AC

Khi đó

2

S ABC ABC

Chọn A

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA y y 0 và

vuông góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM x 0xa Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S ABCM biết , 2 2 2

x y a

A

3 max

3 3

a

3 max

3 8

a

3 max

3 9

a

3 max

3 5

a

Lời giải

I

C

B

A

S

Từ x2y2 a2 y a2x2.

ABCM

S    AB  a

Thể tích khối chóp . 1

3

S ABCM ABCM



Xét hàm     2 2

f x  ax a x trên 0; a, ta được

   

2

0;

3 3 max

a

f x  f  

Suy ra

3 max

3 8

a

Chọn B

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB4, SC  và mặt bên 6

SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 40

3

V  B Vmax 40 C Vmax 80 D max 80

3

V 

Lời giải

Gọi H là trung điểm của ADSH AD Mà SAD  ABCDSH ABCD

Giả sử ADx0 Suy ra

2

16

4

x

Tam giác vuông SHC có ,

2

20 4

x

S ABCD ABCD

V  S SH  AB AD SH

2

x

Chọn D

S

C

D

H

a

a

x

y

M

B

A

S

Câu 13: Cho hình chóp S ABC có SAx 0x 3, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Tính thể

tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho

A max 1

4

V  B max 1

8

V  C max 1

12

V  D max 1

16

V 

Lời giải

Ta có tam giác ABC và SBC là những tam giác đều cạnh bằng 1

Gọi N là trung điểm BC Trong tam giác SAN , kẻ SH AN  1

Ta có

● SN là đường cao của tam giác đều 3

2

SBCSN 

● BC AN BC SAN BC SH











 2

Từ  1 và  2 , suy ra SH ABC Diện tích tam giác đều ABC là 3

4

ABC

S 

Khi đó . 1

3

S ABC ABC

V  S SH 1 1 3 3 1

3SABC SN 3 4 2 8

Dấu '''' xảy ra H N

Chọn B

Câu 14: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh ABx và các cạnh còn lại đều bằng 2 3 Tìm x để thể tích

khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Hình vẽ

Cách làm tương tự như bài trên

N

H

C

B

A

S

x

N

H

C

D

B

A

x

Tam giác BCD đều cạnh bằng 2 3BN 3.

ABCD

V lớn nhất H N Khi đó ANB vuông

Trong tam giác vuông cân ANB, cóABBN 2 3 2

Chọn A

Câu 15: Trên ba tia Ox Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi, lần lượt lấy các điểm ,, , A , B C sao cho

OAa OBb OCc Giả sử A cố định còn B C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa ,

OAOB OC Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ diện OABC

A

3

6

a

3

8

a

3

24

a

3

32

a

Lời giải

Từ giả thiết ta có a b c

Do OA OB OC vuông góc từng đôi nên , ,  

OABC

b c a

V  abc a bc  a   

Dấu '''' xảy ra

2

a

b c

  

Chọn C

Câu 16: Cho tứ diện SABC có SA AB AC đôi một vuông góc với nhau, độ dài các cạnh , , BCa,

,

SBb SC c Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho

4

abc

8

abc

12

abc

24

abc

Lời giải

Đặt ABx AC,  y AS, z Ta có

x y a

x z b

y z c









Khi đó 2 2 2 2 

xyz

2

V

Dấu '''' xảy ra khi x y z abc

Chọn D

c

b

a

z

y

x

S

A

B

C

Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SAa và vuông góc

với mặt đáy ABCD Trên SB SD lần lượt lấy hai điểm , M N sao cho , SM m 0,

SB  

0

SN

n

SD   Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S AMN. biết

2m 3n 1

A

3

6

a

3 max

6 72

a

3

48

a

Lời giải

Thể tích khối chóp S ABD là

3

6

S ABD

a

Ta có .

.

S AMN

S ABD

mn

3

6

S AMN S ABD

mna

Mặt khác

Dấu '''' xảy ra





Suy ra

3

6 72

S AMN

a

Chọn B

Câu 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là một hình vuông Biết tổng diện

tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp đã cho

A max 56 3

9

9

9

9

Lời giải

Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối hộp với a b , 0

2

a

Do b 0 16 a 0 a 4

a

Khi đó thể tích của khối hộp 2.1 16 1 3 8

a

Xét hàm   1 3

8 2

f a   a  a trên 0; 4, ta được

   

0;4

4 64 3

9 3

f a  f  

Chọn D

N

S

A

B

C

D

M

Câu 19: Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều Khi diện tích toàn phần của

hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?

A 3

4 V B 3

2 V D 3

6

Lời giải

Gọi h 0 là chiều cao lăng trụ; a 0 là độ dài cạnh đáy

Theo giả thiết ta có

2

a

Diện tích toàn phần của lăng trụ:

2

3

a

Áp dụng BĐT Côsi, ta có

2 toan phan

3 4 3 2

S

a

3

V

Dấu '''' xảy ra khi

2

3

4 2

Chọn A

Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có SAx0x 3, tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1

Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất?

3

2

2

2

x 

Lời giải

Gọi O là tâm của hình thoi ABCDOAOC  1

Theo bài ra, ta có SBD CBDOS OC  2

Từ  1 và  2 , ta có 1

2

OSOAOC AC SAC vuông tại S AC x21

Suy ra

2

1 2

x

OA  và

2

2

x

Diện tích hình thoi  2  2

1 3

2

ABCD

Ta có SBSC SD1, suy ra hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDHAC

O

S

A

B

H

Trong tam giác vuông SAC, ta có

1

SH

2

1 3

S ABCD

x

Suy ra . 1

4

S ABCD

V  Dấu '''' xảy ra 3 2 6

2

Chọn C

Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy,

khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 3 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và

ABC, tính cos khi thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất

A cos 1

3

3

2

3

 

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC, kẻ AH SM HSM  1

Tam giác ABC cân suy ra BCAM Mà SAABCSABC

Suy ra BCSAM AH BC  2

Từ  1 và  2 , suy ra AH SBC nên d A SBC , AH 3

Tam giác vuông AMH có , 3

sin

AM





Tam giác vuông SAM có , tan 3

cos

SA AM 



Tam giác vuông cân ABC , BC 2AM

ABC



Khi đó

3 ABC 1 cos cos





Xét hàm    2 

1 cos cos

f x   x x, ta được   2

3 3

f x  Suy ra 27 3

2

V 

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi cos 3

3

 

Chọn B

H

C

B

A

S

M

Cách 2 Đặt ABACx SA;  y Khi đó . 1 2

6

S ABC

V  x y

Vì AB AC AS đôi một vuông góc nên , ,

2

9 d A SBC,   x  x  y  x y

Suy ra 2 81 3 1 2 27 3

SABC

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 3 3 cos 3

3

Câu 22: Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

SBC bằng a 2,   0

90

SABSCB Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S ABC có thể tích nhỏ nhất

2

a

Lời giải

Gọi D là điểm sao cho ABCD là hình vuông

90









Tương tự, ta cũng có BCSD Từ đó suy ra SDABDC

Kẻ DH SC HSCDH SBC

Khi đó d A SBC , d D SBC , DH

Đặt AB x0 Trong tam giác vuông SDC có ,

2

DH  SD DC  a SD x Suy ra 2 2

2 2

ax SD

x a





Thể tích khối chóp

S ABC S ABCD

Xét hàm  

3

2

x

f x





trên a 2; , ta được 

2;

a



Chọn B

Câu 23: Cho tam giác OAB đều cạnh a Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng

OAB lấy điểm M sao cho OM x Gọi E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của , A trên

H

D

S

C

MB và OB Gọi N là giao điểm của EF và d Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất

2

a

12

a

2

a

x 

Lời giải

Do tam giác OAB đều cạnh aF là trung điểm

2

a

OBOF 

Ta có AF OB AF MOB AF MB









 Mặt khác, MB AE Suy ra MBAEFMBEF

Suy ra OBM∽ONF nên

2

2

ON

Ta có V ABMN V ABOM V ABON  

x



Đẳng thức xảy ra khi

2

2

x

Chọn B

Câu 24: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AC 2 Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt

phẳng ABC lấy các điểm M N khác phía so với mặt phẳng , ABC sao cho AM AN  1 Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện MNBC

A min 1

3

V  B min 1

6

V  C min 1

12

V  D min 2

3

V 

Lời giải

F

E

N

M

B

A

O

Đặt AM x AN,  y suy ra AM AN x y 1 Tam giác vuông ABC , có

2

2

AC

ABBC 

Diện tích tam giác vuông

2

1

2

ABC

AB

1 3

MNBC M ABC N ABC ABC

V V V  S AM AN 1  Cosi 1 2

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y 1

Chọn D

Câu 25: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , SA AB2 Cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của , A lên

SB và SC Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S AHK

A max 2

6

6

3

3

Lời giải

Đặt ACx 0x2 

Tam giác vuông ABC có , BC AB2AC2  4x2

Tam giác SAB cân tại A, có đường cao AH suy ra H là trung điểm của SB nên 1

2

SH

SB 

Tam giác vuông SAC có ,

2 2

4

4

SA SK SC



Ta có .

S AHK

K

H

S

B

C

A

B

M

N

2 2 2



Xét hàm  

2 2

f x

x





 trên 0; 2, ta được

   

0;2

6 3

f x  f 

Chọn A

Câu 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có ABx AD, 3, góc giữa đường thẳng A C và

mặt phẳng ABB A  bằng 0

30 Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất

A 3 15

5

2

2

5

x 

Lời giải

Vì ABCD A B C D     là hình hộp chữ nhật suy ra BCABB A 

Khi đó A B là hình chiếu của A C trên mặt phẳng ABB A 

30  A C ABB A ,    A C A B ,  CA B Đặt BB h h 0  Tam giác vuông A B B  , có A B  A B 2BB2  x2h2

3

Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     là V BB S ABCD 3xh

Áp dụng BĐT Côsi, ta có

max

x h

xh     V 

Dấu " " xảy ra 2 2 0 2 27 3 6

27

x h

x h

 





Chọn B

Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 Tính

thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho

A Vmax 16 2 B Vmax 12 C Vmax 8 2 D Vmax 6 6

Lời giải

Giả sử a b c là các kích thước của hình hộp chữ nhật , ,

Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là 2 2 2

a b c

Tổng diện tích các mặt là 2ab bc ca

h

x

3

C

D

C' D'