Một số hàm số học và các ứng dụng

MỞ ĐẦU Lý thuyết số hay Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài toán, giả thuyết chưa có câu trả lời.. Ngày nay, nhi

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đối với quý Thầy Cô trong tổ Đại số trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết luận văn

Đặc biệt tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Mỵ Vinh Quang người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thiện luận văn

Tôi xin cảm ơn phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập

Tôi tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè đã hỗ trợ và giúp đỡ tôi về tinh thần cũng như vật chất để tôi hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CÁC HÀM SỐ HỌC CƠ BẢN 3

1.1 Một số khái niệm 3

1.2 Hàm điểm nguyên r(n) 6

1.3 Hàm ước d(n) 8

1.4 Hàm tổng các ước σ(n) 16

1.5 Hàm Mobius (n) 19

1.6 Hàm Euler  ( )n 34

1.7 Hàm von Mangoldt  ( )n 42

CHƯƠNG 2 SỰ PHÂN BỐ CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỐ 45

2.1 Các hàm Chebyshev 45

2.2 Định lý Chebyshev 48

2.3 Định luật Bertrand 54

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

MỞ ĐẦU

Lý thuyết số hay Số học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của Toán học và cũng là lĩnh vực tồn tại nhiều nhất những bài toán, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên con đường tìm kiếm lời giải cho những giả thuyết đó có nhiều lý thuyết lớn của toán học đã nẩy sinh Trong những thập niên gần đây, với sự phát triển của Tin học đã làm thay đổi nhiều nghành truyền thống của lý thuyết số Ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của lý thuyết số có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, khoa học máy tính… và ngược lại việc sử dụng các siêu máy tính trong nghiên cứu số học cũng đã thúc đẩy sự phát triển của chuyên nghành này

Trong lý thuyết số, các hàm số học đóng một vai trò rất quan trọng, có nhiều ứng dụng của chúng trong nhiều nghành khác của toán học và khoa học máy tính Chúng là các công cụ rất hữu hiệu để giải quyết rất nhiều bài toán quan trọng của lý thuyết số Chẳng hạn chúng tham gia vào xây dựng các L-hàm, nghiên cứu sự phân

Trình bày định nghĩa, công thức tính và các tính chất của một số hàm số học như hàm Mobius, hàm số các ước, hàm tổng các ước, hàm tổng lũy thừa k của các ước, hàm các điểm nguyên trên đường tròn, hàm von Mangoldt… và một số ứng dụng của nó

 Chương 2: SỰ PHÂN BỐ CỦA CÁC SỐ NGUYÊN TỐ

Ứng dụng các hàm số học để nghiên cứu sự phân bố của các số nguyên tố trong tập số nguyên

Cuối cùng do sự hạn chế về thời gian và hiểu biết cho nên luận văn sẽ còn có

những sai sót Rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ thầy cô và các bạn

muốn khai thác các tính chất hàm nhiều hơn tính chất dãy nên ta gọi f là một hàm

Ví dụ 1.1.4 Hàm f(n) = log(n) là hàm cộng tính hoàn toàn

Định nghĩa 1.1.5 Một hàm số học f khác không được gọi là nhân tính nếu

(iii) Cho 0, tồn tại N( ) sao cho nếu p mN( ) thì f p m  

Cho n > 1, với dạng phân tích tiêu chuẩn

đa C nhân tử như vậy

Các nhân tử còn lại của f(n) có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 (theo (ii)) nên ta có

( ) C

f n  A

Do đó chỉ có hữu hạn số nguyên mà trong phân tích tiêu chuẩn của nó có

p N 

nhân tử dạng p a N( ) , Theo (iii), ta có

 a

f p  

Vì vậy, nếu n P ( ) , chúng ta có f n  A C Do đó f n( )  0 khi n  

Định nghĩa 1.1.8 (Hàm tổng) Nếu f là một hàm số học thì hàm tổng của f

Ta nói f(x) = O(g(x)) khi x → ∞ khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương M và

số thựcx0sao cho |f(x)| ≤ M|g(x)| với mọi x > x 0

• Small o:

dương N sao cho |f(n)|≤ |g(x)| với mọi n ≥ N Nếu g(x)  0 thì điều kiện trên

Định nghĩa 1.2.1 (Hàm điểm nguyên trên đường tròn r(n)) Với mọi số

nguyên dương n, hàm số học r(n) cho ta số các cách biểu diễn n dưới dạng tổng của hai bình phương của số nguyên

hiết lập sonong và trêncận tự nhi

guyên nằmcủa R(N)

và trên đưnguyên tr

ng ta cần ư

là một bài

h Ta chú ýđơn vị Th

n vị Như

m bên trên xấp xỉ bằn

ường tròn

rong miền

ước lượng stoán đếm,

ý rằng mỗheo cách đvậy, số cá

và bên

ng diện

với thể

số điểm , vì vậy

ỗi điểm

đó ta có

ác điểm

vuông đơn vị tương ứng của chúng Bài toán đếm điểm nguyên giờ đây trở thành bài toán tính diện tích Một vài hình vuông nằm ra ngoài hình tròn một chút Một vài phần của hình tròn lại không bị hình vuông nào phủ cả

nguyên dương n, d(n) cho số các ước nguyên dương của n

i i

1

{ } (log ) 2.3.5 p

( )

m k

N n

lấy giá trị nguyên

Nhưng g là hàm nguyên và giảm cho nên

các điểm ờng y = N

2

1log

phẳng bên

hất của mặtông nằm tr

trái đường

t phẳng rên trục

g x = N

0  a  1

1.3.9 của đ

D(N) =irichlet) D

nh 1.3 Đồ

m nguyên nguyên thuộ

y ta có

( ).N

hằng số

Chứng minh

Bây giờ chúng ta sẽ đếm số điểm nguyên tương ứng với D(N) theo cách khác Ta nhận thấy số điểm nguyên nói trên bằng hai lần số điểm nguyên trong ABGEO trừ đi số điểm nguyên trong OFGE Vì thế ta có

( 1) 1

p n

Một vấn đề toán học cổ liên quan đến hàm (n) là vấn đề về số hoàn hảo

hảo nếu (N) = 2N Nói theo cách khác, N bằng tổng các ước dương mà nhỏ hơn

N

Ví dụ 1.4.4. Số 6 và 28 là các số hoàn hảo

Số hoàn hảo có liên quan chặt chẽ với số Mersenne

Nếu nó là số nguyên tố thì ta sẽ gọi là số nguyên tố Mersenne

Quan hệ giữa số hoàn hảo và số Mersenne là như sau

Định lý 1.4.6. Nếu 2n+1 – 1 là số nguyên tố thì 2n(2n+1 -1) là một số hoàn hảo

Chứng minh. Giả sử p = 2n+1 – 1 là một số nguyên tố Mersenne Đặt N = 2np Thế thì N là số hoàn hảo, vì ta có

Euler tìm ra một định lý gần như là nghịch đảo của định lý trên

Định lý 1.4.7. (Euler) Tất cả các số hoàn hảo chẵn đều có dạng 2np, với p =

dương duy nhất của N' Nhưng 1 là ước của N' , mà N'  1 nên suy ra N"  1

chất sau

Chứng minh:

Giả sử (m, n) = 1 khi đó ta có

i)  ( ) ( ) 1m  n  nếu m = n = 1

ii) ( ) ( ) ( 1) ( 1)m  n   k  h( )m n nếu m = p1p2…pk, n= m = q1q2…qk

Chứng minh của định lý này tương tự Định lý 1.5.4, trong đó mỗi tổng được

( )

d d

d

d d

Vì vậy

' '

( )

dd ( ).

f d n

fqn(x) = (xq)n-x

Chứng minh:

Mặt khác không có 2 đa thức bất khả quy nào mà có nghiệm giống nhau cho nên

fqn(x) không có bội số

Vì vậy: Khi đó tích tất cả các đa thức bất khả quy tiêu chuẩn trên GF(q) mà bậc là ước của n là:

fqn(x) = (xq)n - x.

Ta kí hiệu số các đa thức bất khả quy tiêu chuẩn (là đa thức bất khả quy mà

vế trong Định lý 1.5.8 ta có hệ quả sau

1

12 2

  4 2

N     Công thức nghịch đảo Mobius không chỉ để dùng tính số đa thức bất khả quy cấp d trên GF(q) mà còn tính tích các đa thức dạng giống vậy Chúng ta đặt tích đó

hiệu là ord()

Ví dụ 1.5.14 Các căn bậc 4 của đơn vị là 1, 1, i, i Cấp của 1 là 1, cấp của

-1 là 2, cấp của i là 4 và cấp của –i là 4

Định lý 1.5.15 Cho n là một số nguyên dương và  là căn bậc n của đơn vị

cấp của  luôn là ước của n

Chứng minh:

1k qd r ( ) d qr r

trong đó q là số nguyên Ta có k ( )d q1.

vị khi đó  được gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu ord() = n

Ví dụ 1.5.16 Trong các căn bậc 4 của đơn vị: 1, -1, i, -i thì các số i, -i là các

căn nguyên thủy bậc 4 của đơn vị

Định lý 1.5.17 Cho n, k là hai số nguyên dương và  là một căn nguyên

chỉ khi ƯCLN(k, n) = 1

Chứng minh:

Đặt d = ord(k) Khi đó ( )k d 1, tức là k d  1 Do  là căn nguyên thủy

bậc n của đơn vị nên theo Định lý 1.5.15, ord( ) = n là ước của kd Nếu

ƯCLN(k,n)=1 thì n phải là ước của d Theo Định lý 1.5.15, d luôn là ước của n Do

( , )

n

n UCLN k n  ( ) ( , ) 1

n

k UCLN k n

Hệ quả 1.5.18 Cho n là số nguyên dương Khi đó có đúng  ( )n căn nguyên

Điều này là vô lý Vậy d=1

kt kt i

n

Ví dụ 1.5.19  (4)  2 cho nên có 2 căn nguyên thủy bậc 4 của đơn vị là i và –i

căn nguyên thủy bậc n của đơn vị Ta kí hiệu đa thức chia đường tròn thứ n là

bên phải có dạng chuẩn Do đó hai đa thức ở hai vế đều có dạng chuẩn Chú ý rằng một đa thức có nghiệm bội nếu và chỉ nếu đa thức đó và đạo hàm của nó phải có

bội

Bằng cách quy đồng mẫu số ta có thể chọn được m và n là hai số nguyên dương nhỏ nhất để tất cả các hệ số của hai đa thức mf(x) và ng(x) là các số nguyên Đặt Ai = mai với i = 0, …, m-1 và Bi = nbi với I = 0, …, n-1 Đặt Am = m và Bn = n Khi đó:

Giả sử rằng mn > 1 Gọi p là một ước nguyên tố của mn Khi đó tồn tại một số

¢ điều này là mâu thuẫn với giả thiết m là số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất các hệ số của mf đều là số nguyên

của x i0j0 trong đa thức mnf(x)g(x) là A B i0 j0pt trong đó t là số nguyên Rõ ràng hệ

số này không là bội của p Vì các hệ số của fg đều nguyên nên các hệ số của mnfg đều chia hết cho mn và do đó đều chia hết cho p, điều này là vô lý Vậy mn=1 Suy

ra f,g có các hệ số đều nguyên.

đường tròn n( )x đều là các số nguyên, tức là n( )x ¢[ ]x

Chứng minh:

Chứng minh bằng quy nạp theo n

< n Khi đó từ Định lý 1.5.21 ta có được:

| ,

1 ( )

( )

n n

d

d n d n

x x

số đều nguyên Suy ra f(x) có các hệ số hữu tỉ Vì x n 1 f x g x( ) ( )là đa thức với hệ

số nguyên, trong đó f(x), g(x) có hệ số cao nhất là 1 và có các hệ số đều nguyên

nên theo Định lý 1.5.22 các đa thức f và g đều có hệ số nguyên Đặc biệt

8 7 5 4 3

( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1)( )

nghĩa như sau:

( ) {1n k n n k| ( , ) 1}.

Nếu p là số nguyên tố thì với mọi số nguyên dương nhỏ hơn p đều nguyên tố

Ngược lại, nếu p là hợp số thì p có các ước d, 1<d<p Tất nhiên p và d không nguyên tố cùng nhau Như vậy, trong các số 1, 2,…, p-1 phải có những số không

Ta sắp xếp tất cả các số nguyên dương không vượt quá mn thành bảng sau

Bảng 1.3 Các số nguyên dương không vượt quá mn

Vậy để tìm các số trong bảng mà nguyên tố cùng nhau với mn, ta chỉ cần xem dòng thứ r với (m, r) = 1 Ta xét một dòng như vậy nó chứa các số r, m + r,…, (n-1)m + r Vì (r, m) = 1 nên mỗi số nguyên trong dòng đều nguyên tố cùng nhau với n Như vậy, n số nguyên trong dòng lập thành một hệ thặng dư đầy đủ modulo

cũng nguyên tố cùng nhau với mn

 Nếu n > 1 thì ( )n n,

1( )n n 1 n(1 )

3( )t t O t( log ).t



Chứng minh:

Chúng ta muốn dùng công thức nghịch đảo Mobius thứ hai (Định lý 1.5.7)

( )t 2 ( )  t 1

Chú ý, xét về ý nghĩa hình học, ta có

1 1 1 ( , ) 1 ( , ) 1

Bây giờ, ta có

6( )t t O t( log ).t

3( )t t O t( log ).t

n

Chứng minh

học định nghĩa như sau:

ii)  ( )n  0, nếu trái lại

Bảng 1.4 Giá trị của hàm von Mangoldt

( )n

(2 ) log 2, (3 ) log3, (4 ) log2,m k t m k t, , 1

chạy trên toàn bộ tập số nguyên tố

với tổng chạy qua mọi cặp p, m với p nguyên tố và m nguyên dương

Các công thức khai triển cuả

1 Ta đã biết hàm Von Mangoldt định nghĩa bởi  ( ) log( )x  p khi n p m và ( ) 0n

2 Ta có e( )x là tích của tất cả các số nguyên tố p x e , ( )x là bội chung nhỏ nhất

1 1

p

x x L

x x l

x x L

x x l

x x L

n p n

n p

2

2

2 2 2

n p

x







n P

n

Thật vậy, trước hết, ta kiểm tra đẳng thức cho k = 1,…, 14 và sau đó chứng minh quy nạp theo k bằng cách áp dụng

! !

n n

n N

n n

C

của 1 số nguyên tố trong Bổ đề 2.2.1, ta có thể viết

2.3 Định luật Bertrand

số nguyên tố p sao cho n  p  2 n

Chứng minh:

như sau đối với mỗi loại

log(2 )

.log( )

n t p

trong dãy 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 67 đều nhỏ hơn 2 lần số nguyên tố ngay sau đó

trong dãy Ta kết thúc chứng minh cho định lý này.

3) Bước đầu tìm hiểu về sự phân bố của các số nguyên tố

Tuy nhiên đây là đề tài bao gồm nhiều mảng kiến thức liên quan khá rộng, thời gian lại bị hạn định, mà khả năng nghiên cứu của chúng tôi là có hạn nên trong luận văn chúng tôi chưa có điều kiện cung cấp và mở rộng nhiều kiến thức hơn nữa

Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn: Tìm hiểu và xây dựng thêm các hàm số học khác; đọc thêm tài liệu về các hàm số học trong và ngoài nước để tìm hiểu sâu hơn về sự phân bố của các số nguyên tố

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1 Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nxb Đại học Quốc

gia Hà Nội, Hà Nội

2 Hà Huy Khoái (2004), Số học, Nxb Giáo dục Hà Nội, Hà Nội

3 Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình số học, Nxb Giáo dục Hà Nội

Tiếng Anh

4 Chandrasekharan K (1968), Introduction to analytic number theory, Springer,

Berlin

5 Chandrasekharan K (1970), Arithmetical functions, Grundlehren der

Mathematischen Wissenschaften, Springer, Berlin

6 Serre J P (1996), A course in arithmetic, Springer, London

7 Apostol T.M (1976), Introduction to analytic number theory, Springer, New

York

8 Stopple J (2003), A primer of analytic number theory, Cambridge University

Press, London