Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như Môđum trên đại số Steenrod và các ứng dụng

Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như Môđum trên đại số Steenrod và các ứng dụng

Hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức xem như môđun trên đại số Steenrod

và các ứng dụng

Trần Ngọc Nam

28–10–2006

Mở đầu

Đối đồng điều cùng với cấu trúc tích của nó là một bất biến cơ bản đểphân loại đồng luân các không gian tôpô Tuy nhiên, trong nhiều trườnghợp, bất biến này chưa đủ tinh tế Chẳng hạn, cái treo của mặt phẳng xạ

ảnh phức ΣCP2 và tổng S3∨ S5 của các mặt cầu 3 và 5 chiều có cùng vànhđối đồng điều với cấu trúc tích bằng không, nhưng không có cùng kiểu đồngluân

Một trong những công cụ làm tinh tế đối đồng điều là toán tử đối đồng

điều Nói một cách sơ lược, một toán tử đối đồng điều (sơ cấp) là một họ các

ánh xạ ΦX : H ∗ X −→ H ∗ X giao hoán với các đồng cấu cảm sinh trên đối

đồng điều bởi các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô Trong phát biểunày, các ánh xạ ΦX không nhất thiết bảo toàn chiều đối đồng điều và không

nhất thiết tuyến tính, còn H ∗ X = H ∗ (X; F2) trong mối quan tâm của luận

án này ký hiệu đối đồng điều kỳ dị môđulô 2 của không gian tôpô X Ví dụ đơn giản về toán tử đối đồng điều là ánh xạ bình phương của H ∗ X.

Để giải quyết bài toán phân loại đồng luân các ánh xạ liên tục từ một phức

n + 1 chiều vào mặt cầu Sn, năm 1942 Steenrod đưa ra một lớp toán tử đối

đồng điều, ngày nay mang tên ông, và được ký hiệu Sqi : H ∗ X −→ H ∗+i X

(với i nguyên không âm) Các toán tử này sau đó được Thom và Wu sử dụng

để nghiên cứu các lớp đặc trưng của phân thớ véctơ, và nhanh chóng trởthành một trong những công cụ hàng đầu trong nghiên cứu tôpô đại số Tácđộng của các toán tử Steenrod lên tích đối đồng điều thỏa mãn công thứcCartan:

nếu a < 2b.

Cấu trúc của tập hợp các toán tử đối đồng điều được làm rõ bởi Serre vàonăm 1952 Serre chứng minh rằng với phép cộng thông thường và phép hợpthành của các ánh xạ, các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán tử đối

đồng điều ổn định (theo nghĩa “giao hoán với đồng cấu treo”) Ngày nay, đại

số các toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số F2 được gọi là đại số Steenrod

môđulô 2 và thường được ký hiệu là A.

Như vậy, đại số Steenrod có thể được định nghĩa một cách thuần túy đại

số như là thương của F2-đại số kết hợp sinh tự do bởi các ký hiệu Sqi (i nguyên không âm) chia cho iđêan hai phía sinh bởi hệ thức Sq0 = 1 và các

quan hệ Adem Đại số A có một cấu trúc phân bậc tự nhiên xác định bởi

deg(Sqi1Sqi2· · · Sqik) = i1+ i2+ · · · + ik

với mọi i1, i2, , ik ≥ 0 Hơn nữa, nó là một đại số phân bậc có bổ sung,

nghĩa là có một toàn cấu F2-đại số phân bậc tự nhiên ε : A −→ F2 thỏa mãn

ε(Sqi) =



1 nếu i = 0,

0 nếu i > 0.

Là một tập hợp các toán tử đối đồng điều, A tác động một cách tự nhiên

lên đối đồng điều của mọi không gian tôpô Do đó, đối đồng điều của cáckhông gian tôpô không chỉ là một F2-đại số mà còn là một A-môđun Cấu trúc A-môđun tinh tế hơn cấu trúc F2-đại số Chẳng hạn, nhờ cấu trúc này

ta có thể thấy các không gian ΣCP2 và S3 ∨ S5 không có cùng kiểu đồng

luân, vì toán tử Sq2 tác động tầm thường trên H3(S3 ∨ S5) nhưng không

tầm thường trên H3(ΣCP2) Nguyên nhân của sự kiện Sq2 tác động không

tầm thường trên H3(ΣCP2) là như sau: mặt phẳng xạ ảnh phức CP2 có thể

thu được bằng cách dán một ngăn 4 chiều vào mặt cầu S2 nhờ ánh xạ Hopf

h : S3 → S2; ánh xạ này không đồng luân tầm thường

Gọi P = H ∗ (RP ∞)k là đại số đối đồng điều môđulô 2 của tích trực tiếp

k không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều Theo công thức K¨ unneth, P là một

F2-đại số đa thức phân bậc của k biến (hay phần tử sinh), trong đó mỗi biến

có bậc bằng 1 Tác động của A lên P được mô tả bởi công thức Cartan và

Bài toán chúng tôi quan tâm là tìm một hệ sinh cực tiểu cho A-môđun

phân bậc P Nói cách khác, điều này có nghĩa là tìm một cơ sở cho không

gian véctơ phân bậc F2 ⊗ A P ∼ = P/ ¯ AP, ở đây ¯ A = ker ε là iđêan bổ sung

của đại số Steenrod Bài toán này thường được gọi là bài toán “hit.”

2 Một số động cơ nghiên cứu bài toán “hit”

2.1 Số hạng E2 của dãy phổ Adams

Để tiếp cận bài toán nổi tiếng khó là việc tính các nhóm đồng luân ổnđịnh của mặt cầu, trên cơ sở “dán các dãy phổ Serre vào với nhau,” năm 1958Adams đã đưa ra một dãy phổ hội tụ đến thành phần 2-xoắn 2πS∗ (S0) của các

nhóm này với số hạng E2 là Ext ∗

A(F2, F2) Kể từ đó, việc tính Ext ∗

A(F2, F2)trở thành một trong những bài toán quan trọng hàng đầu của lý thuyết đồngluân ổn định

Ý nghĩa của F2⊗ A P được thiết lập lần đầu tiên (có lẽ) trong một công

trình của Singer, trong đó ông sử dụng lý thuyết bất biến để tìm hiểu nhóm

xoắn T or A

∗ (F2, F2), tức là không gian véctơ đối ngẫu của Ext ∗

A(F2, F2) Singerviết công trình này vào quãng năm 1980 và nó được lưu hành ở dạng tiền

ấn phẩm Ông chính thức công bố nó vào năm 1989 Bằng những công

cụ đại số đồng điều thuần túy, Singer xây dựng một ánh xạ tuyến tính

T or A

k(F2, F2) −→ F2 ⊗ A P Ông chứng minh rằng ảnh của ánh xạ này bất

biến dưới tác động chính quy của nhóm tuyến tính tổng quát GL = GL(k, F2).Ánh xạ đối ngẫu

T rk : Hom ((F2⊗ A P) GL , F2) −→ ExtkA(F2, F2)được gọi là đồng cấu chuyển Singer

Singer chứng tỏ giá trị không tầm thường của đồng cấu chuyển bằng cách

chỉ ra rằng T rk là đẳng cấu khi k = 1, 2, và rằng L

k≥0 T rk là một đồng cấuđại số (bảo toàn phép nhân) Công trình của Singer phần lớn dựa trên nhữngtính toán cụ thể về không gian véctơ (F2⊗ A P) GL Có thể nói công trình củaSinger là một trong những công trình đầu tiên đặt nhu cầu nghiên cứu bàitoán “hit.”

Một thập kỷ sau khi Singer xây dựng đồng cấu chuyển, đến năm 1991Boardman một lần nữa khẳng định giá trị của nó, cũng như của F2 ⊗ A P,

đối với nghiên cứu các nhóm Ext ∗

A(F2, F2) Boardman chứng minh rằng T r3

cũng là một đẳng cấu Công trình của ông dựa trên những tính toán cụ thể

về không gian véctơ F2⊗ A P cho k = 3 của Kameko.

2.2 Lý thuyết cobordism

Bài toán “hit” có liên hệ mật thiết với lý thuyết cobordism thông quanhững khảo sát của Peterson trong lý thuyết này

Giả sử M là một đa tạp d chiều trơn, compact và không có biên Giả

sử mọi tích của nhiều hơn k lớp Stiefel–Whitney của phân thớ véctơ pháp

tuyến của M đều bằng 0 Điều kiện này được thỏa mãn (chẳng hạn) nếu M

có phạm trù Lusternik–Schnirelmann không lớn hơn k, nghĩa là nếu M có thể viết dưới dạng hợp của không quá k + 1 tập con mở và co rút được trong

M Peterson khẳng định rằng khi đó, nếu α(d) > k (ở đây α(d) là số chữ

số 1 trong biễu diễn nhị phân của d), thì M là biên của một đa tạp trơn và compact nào đó.

Để thiết lập kết quả này, Peterson đã đưa ra giả thuyết nổi tiếng nói rằng

nếu α(d) > k, thì không gian véctơ phân bậc F2⊗ A P bằng 0 tại bậc d − k.

Giả thuyết của ông được Wood chứng minh năm 1988

2.3 Biểu diễn modular của nhóm tuyến tính tổng quát

Sau khi chứng minh giả thuyết của Peterson về sự kiện không gian véctơphân bậc F2 ⊗ A P bằng 0 tại những bậc nào đó, Wood tiếp tục khai thác

cấu trúc của không gian véctơ này xem như một biểu diễn môđula của nhómtuyến tính tổng quát

Gọi M là vị nhóm nhân các ma trận vuông cấp k với hệ số thuộc F2

Nhóm tuyến tính tổng quát GL chính là nhóm con các phần tử khả nghịch của M Gọi Pd là thành phần bậc d của không gian véctơ phân bậc P Khi

đó M tác động một cách tự nhiên lên Pd bằng các phép thế biến tuyến tính

Do đó Pd là một biểu diễn môđula của M và của GL Một kết quả cổ điển của lý thuyết biểu diễn nói rằng mọi biểu diễn bất khả quy của M hay của

GL đều là một nhân tử hợp thành của Pd với d > 0 nào đó.

Tác động của M và của A lên Pd giao hoán với nhau, nên (F2⊗ A P)d ∼=

(P/ ¯ AP)d cũng là một biểu diễn môđula của M và của GL Nhận xét của Wood là: mọi biểu diễn bất khả quy của M hay của GL đều là một nhân tử

hợp thành của (F2⊗ A P)d với d > 0 nào đó Nhận xét này chỉ ra vai trò quan

trọng của F2⊗ A P đối với nghiên cứu các biểu diễn môđula của nhóm tuyến

tính tổng quát cũng như vai trò quan trọng của biểu diễn nhóm tuyến tínhtổng quát trong nghiên cứu F2⊗ A P.

2.4 Giả thuyết cổ điển về lớp cầu

Không gian khuyên vô hạn Q(−) := lim n→∞ΩnΣn(−) có liên hệ chặt chẽ

với lý thuyết các phổ, cũng như với các lý thuyết đồng điều và đối đồng điều

suy rộng Nếu X là một không gian tôpô có điểm gốc, thì các nhóm đồng luân của thành phần liên thông đường Q0X của điểm gốc trong QX chính

là các nhóm đồng luân ổn định của X Giả thuyết cổ điển về lớp cầu (được đưa ra vào quãng 1970), nói rằng đồng cấu Hurewicz môđulô 2

π ∗ (Q0S0) −→ H ∗ (Q0S0; F2)

chỉ phát hiện được các phần tử của π ∗ (Q0S ) ∼ = π ∗ (S ) có bất biến Hopf bằng

1 hoặc bất biến Kervaire bằng 1 Một số người cho rằng giả thuyết này là

của Curtis, còn một số khác lại cho rằng nó là của Madsen Trong dãy phổ

Adams của S0, các phần tử của π ∗S(S0) có bất biến Hopf bằng 1 ứng với các

chu trình vĩnh cửu h1, h2, h3 ∈ Ext1

A(F2, F2), còn các phần tử có bất biến

Kervaire bằng 1 ứng với các chu trình vĩnh cửu giả định h2i ∈ Ext2A(F2, F2)

Do đó, nói riêng, giả thuyết cổ điển về lớp cầu khẳng định rằng các phần tửcủa 2πS

∗ (S0) ứng với các chu trình vĩnh cửu trong Extk

A(F2, F2) với k > 2 đều nằm trong hạch của đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của Q0S0 Giả thuyết này

có liên quan bất ngờ đến bài toán “hit” nhờ các công trình của Lannes–Zarati,Goerss và N H V Hưng

Trước hết, vào năm 1983 Lannes–Zarati xây dựng một ánh xạ tuyến tính

LZ : ExtkA(F2, F2) −→ Hom (F2 ⊗ A P GL , F2).

Họ chứng minh rằng ánh xạ này tương thích theo một nghĩa thích hợp với

đồng cấu Hurewicz môđulô 2 của Q0S0 nói trên thông qua dãy phổ Adams

của S0 Muộn hơn họ một chút và với công cụ độc lập, Goerss cũng đã chứngminh được tính chất này

Dựa vào các kết quả đó, N H V Hưng đã đưa ra một phát biểu đại số

cho giả thuyết cổ điển về lớp cầu, nói rằng ánh xạ LZ bằng 0 tại các bậc

dương nếu k > 2 Ông đưa ra ý tưởng dùng đồng cấu chuyển của Singer

T rk : Hom ((F2 ⊗ A P) GL , F2) −→ Extk

A(F2, F2), và vào năm 1995 ông tiên

đoán rằng cái hợp thành LZ ◦ T rk bằng 0 tại các bậc dương nếu k > 2 Hơn nữa, ông chứng minh rằng khẳng định trên về LZ ◦ T rk tương đương với

sự kiện rằng ánh xạ F2 ⊗ A P GL −→ F2 ⊗ A P được cảm sinh bởi phép nhúng

P GL ,→ P bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2 Đây là một ý tưởng hiệu

quả: tiên đoán đó của ông đã được chúng tôi chứng minh vào năm 1998 Lưu

ý rằng tại thời điểm 1995, ánh xạ vừa nêu được tin là rất khác 0: có tác giả(chẳng hạn như Singer) dùng miền xác định của ánh xạ này để nghiên cứu

miền giá trị của nó khi k ≤ 2.

Như vậy, giả thuyết của N H V Hưng về LZ ◦ T rk đã chỉ rõ vai trò củabài toán “hit”; quan trọng hơn nữa, nó đặt ra vấn đề tính ảnh của đồng cấuchuyển Công việc tính toán này được chúng tôi trình bày trong một côngtrình khác đã được nhận đăng

2.5 Các ứng dụng khác

Bài toán “hit” còn liên quan đến việc phân tích chẻ ra ổn định (stablesplitting) của không gian phân loại các nhóm hữu hạn thông qua các côngtrình của Priddy Nó còn được sử dụng để nghiên cứu chu trình vĩnh cửutrong dãy phổ Adams thông qua công trình của Minami

3 Các kết quả chính

Luận án tổng kết những kết quả nghiên cứu xung quanh bài toán “hit”

mà chúng tôi đã thu được từ năm 1998 đến nay Một phần các kết quả nàyđược công bố trong 5 bài báo [1],[2],[3],[4],[5] Phần còn lại đã được in dướidạng tiền ấn phẩm của Đại học Paris 13 và đã được nhận đăng Hầu hếtcác nghiên cứu này đều đã được chúng tôi báo cáo tại các hội thảo trongnước và quốc tế: Hội thảo châu Âu về Lý thuyết đồng luân hiện đại (Đạihọc Paris 13, 11/2002, 60 phút), Hội nghị quốc tế về Lý thuyết bất biến vànhững tương tác của nó (Đại học G¨ottingen, 3/2003, 45 phút), Hội nghị quốc

tế về Tôpô đại số (Hà Nội, 8/2004, 45 phút), Hội nghị toàn quốc về Đại số–Hình học–Tôpô (Đại học Đà lạt, 11/2003), Hội nghị thường niên của KhoaToán–Cơ–Tin học (Trường đại học khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia HàNội, 11/2004, báo cáo mời toàn thể), Xemina ĐAHITÔ (Hà nội, 5/2004), cácxemina của Phòng Đại số thuộc Viện Toán học Hà nội (3/2000), của KhoaToán các Đại học Nantes (1/2003), Lille I (3/2003), Paris 13 (10/2003) vàcủa Bộ môn Đại số–Hình học–Tôpô (Khoa Toán–Cơ–Tin học, Trường đạihọc khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội, 10/2004)

Các kết quả chính của luận án gồm: bài toán “hit” cho đại số Dickson(được công bố trong các bài báo [1],[3]), bài toán “hit” cho các bất biến dướitác động của các nhóm con parabôlíc của nhóm tuyến tính tổng quát (đượccông bố trong các bài báo [2],[4]), bài toán “hit” ở bậc đủ tổng quát (đượccông bố trong bài báo [5]) Tiếp nối đề tài của luận án, trong một công trìnhkhác, chúng tôi chứng minh một số kết quả khác về các phần tử đối bất biếncủa đối ngẫu đại số đa thức 4 biến dưới tác động của nhóm tuyến tính tổngquát, số chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát có được từ đại

số đa thức đối ngẫu, và ảnh của đồng cấu chuyển Singer tại một số bậc nàođó

3.1 Bài toán “hit” cho đại số Dickson

Cấu trúc các phần tử của P bất biến dưới tác động tự nhiên của nhóm tuyến tính tổng quát GL đã được làm sáng tỏ bởi Dickson vào năm 1908 Vì thế người ta ký hiệu D = P GL là tập hợp con của P gồm các phần tử bất biến này D là một A-môđun con của P Định lý trung tâm của Chương I là

Định lý C1 Ánh xạ F2⊗ A D −→F2 ⊗ A P, được cảm sinh bởi phép nhúng

D ,→ P, bằng 0 tại các bậc dương với mọi k > 2.

Định lý này (đồng thời là kết quả chính của hai bài báo [1],[3]) khẳngđịnh một giả thuyết của N H V Hưng và nằm trong bối cảnh sau

(i) Một mặt, các công trình Singer, Chen–Shen, Monks, Silverman,

Cross-ley, Karaca, Meyer, Janfada–Wood đều có mục đích tìm càng nhiều

càng tốt các phần tử của P có ảnh bằng 0 trong F2⊗ A P Định lý C1

chỉ ra một họ lớn các phần tử như vậy, đó là họ các bất biến Dickson.Lưu ý rằng việc tìm càng nhiều càng tốt các đa thức phân tích được có

thể đem lại những hệ sinh của P/ ¯ AP Tuy nhiên, những hệ sinh này

không phải là cực tiểu và do đó không cho lời giải của bài toán “hit.”

(ii) Mặt khác, theo N H V Hưng thì ánh xạ tự nhiên F2 ⊗ A D −→

F2 ⊗ A P phân tích thành T r ∗k ◦ LZ ∗ , trong đó LZ ∗ : F2 ⊗ A D −→

T or A

k(F2, F2) là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu Lannes–Zarati, còn T r ∗

k :

T or Ak(F2, F2) −→ F2 ⊗ A P là ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu chuyển

Singer Định lý C1 tương đương với sự kiện: cái hạn chế của LZ trên ảnh của đồng cấu chuyển bằng 0 tại các bậc dương nếu k > 2 Thế mà việc LZ = 0 tại các bậc dương với mọi k > 2 chính là một dạng phát

biểu đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu Nhìn từ khía cạnh này,Định lý C1 đồng thời là một câu trả lời bộ phận cho dạng đại số củagiả thuyết cổ điển về lớp cầu

Nói thêm rằng, sau khi đã gửi đăng [3], chúng tôi được Wood và Peterson

thông báo rằng họ đã giải quyết được trường hợp k = 4 và có thể cả trường hợp k = 5 của Định lý C1 Chúng tôi cũng nhận được từ Tan–Xu một bài

viết (Bulletin of the Korean Math Soc 37 (2000), pp 779–790) chứng minh

lại trường hợp k = 3 của Định lý C1 Chứng minh đầu tiên của trường hợp

này đã được N H V Hưng thực hiện dựa vào công trình của Boardman.Đóng góp của Tan–Xu chỉ là đưa ra một chứng minh mới, sơ cấp hơn Tuynhiên, cách tiếp cận của N H V Hưng không thể áp dụng cho trường hợp

k > 5, vì ông đã phải sử dụng các kết quả của Hưng–Peterson về F2⊗ A D

với k ≤ 4 Cho đến nay, F2⊗ A D mới chỉ được biết hoàn toàn với k ≤ 5.

3.2 Bài toán “hit” cho các bất biến parabôlíc

Xét các bất biến của các nhóm con parabôlíc của GL, có dạng

trong đó k1 + · · · + km = k Trên cơ sở kết quả của bài toán “hit” cho

các bất biến Dickson, trực giác dẫn chúng tôi đến dự đoán rằng: ánh xạ

F2⊗ A PGk1 , ,km −→F2⊗ A P được cảm sinh bởi phép nhúng PGk1 , ,km −→ P

bằng 0 tại các bậc dương nếu k1 > 2.

Thật ra, kỹ thuật của chúng tôi cho phép chứng minh được một định

lý mạnh hơn thế Với n ≤ k, ký hiệu I k−n là ma trận đơn vị cấp k − n và

Từ định lý này chúng tôi thu được hệ quả: ánh xạ F2 ⊗ A PGk1 , ,km −→

F2⊗ A P được cảm sinh bởi phép nhúng

PGk1 , ,km −→ P

bằng 0 tại các bậc dương nếu k1 > 2.

Định lý C2 cũng là kết quả chính của 2 bài báo [2],[4] Vì đại số Dickson

là một trường hợp đặc biệt của PGk1 , ,km, từ kết quả trên chúng tôi thu đượcmột chứng minh mới cho Định lý C1 Điều đáng nói là, trong khi các phần

tử sinh của đại số Dickson có bậc lớn dần cùng với k, thì bậc của các phần

tử sinh của đại số P GL3•I k−3 đều không vượt quá 8 và không phụ thuộc vào

k Do đó, lớp các đa thức phân tích được đã nêu trong Định lý C2 lớn hơn

rất nhiều so với lớp các đa thức phân tích được nêu trong Định lý C1

3.3 Bài toán “hit” ở bậc đủ tổng quát

Đặc thù các kỹ thuật sử dụng để giải bài toán “hit” là chứa rất nhiều tínhtoán đại số khiến việc nhận ra những tính chất mấu chốt trở nên khó khăn.Tuy nhiên, nhờ được dẫn dắt bởi những trực giác nào đó, người ta vẫn cóthể tìm được những kết quả tổng quát Như đã nói, Peterson phát biểu giả

thuyết nói rằng không gian véctơ phân bậc F2⊗ A P bằng 0 tại các bậc d thỏa mãn điều kiện α(d + k) > k, trong đó α(d + k) là số chữ số 1 trong khai triển nhị phân của d + k Được chứng minh bởi Wood vào năm 1988, giả thuyết

này, nay được gọi là định lý Wood, cho phép rút gọn nghiên cứu bài toán

“hit” về các bậc có dạng d = 2m1 + · · · + 2mk− k với m1 ≥ · · · ≥ mk ≥ 0.

Việc tính toán cụ thể F2⊗ A P là rất khó khiến người ta quan tâm đến việc

đánh giá số chiều của không gian véctơ này Sử dụng khéo léo định lý củaWood, Carlisle–Wood đã chứng minh số chiều này bị chặn trên đều Phươngpháp này được Crossley mở rộng từ trường F2 sang trường có đặc số lẻ

Từ một khía cạnh khác, xuất phát từ trực giác rằng nhóm con Borel G0

của nhóm tuyến tính tổng quát GL phải đóng một vai trò nào đó, trong luận

án của mình, Kameko đã đi đến giả thuyết rằng dim(F2⊗ A P)d ≤ |GL/G0| =

i=1(2i − 1) Được gợi ý bởi định lý Wood và giả thuyết Kameko, Crabb–

Hubbuck vào năm 1994 đã chứng minh được rằng dim(F2⊗ A P)d ≥ |GL/G0|

nếu 2m 1−m2 > k, 2m 2−m3 > k − 1, , 2mk−1−mk > 2 Crabb–Hubbuck gọi

những giá trị của d trong định lý của họ là “đủ tổng quát.”

Một kết quả tương tự, nhưng được phát biểu một cách ít tường minhhơn, cũng đã được Repka–Selick tìm ra vào năm 1995 Họ chứng minh rằngdim(F2⊗ A P)d ≥ |GL/G0| nếu m1  m2  · · ·  mk, trong đó họ xem rằng

điều kiện này được thỏa mãn nếu m1−m2 ≥ k, m2−m3 ≥ k, , m k−1 −mk ≥

k Repka–Selick cũng gọi những giá trị của d trong định lý của họ là “đủ tổng

quát.”

Định lý của chúng tôi là kết quả gần đây nhất theo hướng này Với cùngcác ký hiệu như trên, chúng tôi chứng minh trong Chương III định lý sauđây

Phỏng theo Crabb–Hubbuck và Repka–Selick, chúng tôi gọi những giá trị

d trong Định lý C3 là “đủ tổng quát.” Định lý này cũng là kết quả chính

của bài báo [5] Cần nói thêm rằng một định lý tương tự (trong đó giả thiết

được thay thành m1 − m2 ≥ k, m2 − m3 ≥ k − 1, , m k−1 − mk ≥ 2) đã

được chứng minh bởi Wood và bởi Kameko Chúng tôi biết được điều này khitham dự Hội nghị quốc tế về lý thuyết bất biến được tổ chức tại G¨ottingen(Đức) tháng 3/2003 Tại hội nghị này, Wood đã đọc bài giảng trong khuônkhổ một giáo trình ngắn về định lý của ông, còn Kameko đã trình bày dướidạng thông báo ngắn cả Định lý C3 và cái tương tự vừa nêu của nó

3.4 Các phần tử đối bất biến với k = 4

Peterson khởi đầu việc giải bài toán “hit” bằng việc tính F2 ⊗ A P với

k = 1, 2 và phát biểu giả thuyết nổi tiếng của ông về tính phân tích được của

các đa thức với bậc nào đó có số biến k bất kỳ Giả thuyết này được Wood

chứng minh năm 1988

Với k = 3, không gian véctơ phân bậc F2⊗ A P rất phức tạp và đã được

xác định bởi Kameko trong luận án tiến sĩ của anh tại Đại học Johns Hopkins(Baltimore, Mỹ) vào năm 1990 Khoảng 6 tháng sau, kết quả của Kamekođược xác nhận lại bằng một phương pháp đối ngẫu với những kỹ thuật độclập bởi Alghamdi–Crabb–Hubbuck tại Đại học Aberdeen Bản thân chúngtôi cũng đã tìm lại được kết quả của Kameko với kỹ thuật chứng minh độc

lập trong khóa luận tốt nghiệp Trường đại học khoa học tự nhiên Hà Nộinăm 1999.

Có thể vì những khó khăn kỹ thuật, ngoại trừ những kết quả tinh tế hóa

định lý của Wood và các tính toán cho k ≤ 2 khi trường các hệ số có đặc số

lẻ của Crossley, suốt trong thập kỷ 90 hướng nghiên cứu do Peterson khởixướng không có kết quả gì mới Chỉ rất gần đây F2⊗ A P mới được tính cho

k = 4 tại bậc d = 2p+3+ 2p+2 − 4 trong công trình của Bruner–Hà–Hưng

(2002) Với việc tập trung vào bậc d = 2p+3+ 2p+2− 4, các tác giả này đã

phủ định một giả thuyết của Minami Tại thời điểm viết luận án này, chúngtôi được biết Kameko đang hoàn tất bài viết mới, cho kết quả hoàn toàn về

F2⊗ A P khi k = 4.

Chúng tôi quan tâm đến F2 ⊗ A P là vì muốn sử dụng nó để xác định

ảnh của đồng cấu chuyển Singer Dựa vào kết quả đã được thông báo của

Kameko về bài toán “hit” cho đại số đa thức 4 biến, chúng tôi xác định không

gian véctơ phân bậc Hom ((F2 ⊗ A P) GL , F2) tại những bậc chẵn cho k = 4.

Kết quả này được trình bày trong một công trình khác của chúng tôi

3.5 Số chiều một biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng

quát

Chúng tôi đã đề cập đến định lý Crabb–Hubbuck trong mục trước Định

lý này là hệ quả của một kết quả tổng quát hơn của họ, mà chúng tôi giảithích như sau Với mỗi dãy số nguyên

nếu k1 = 1, , kr = r, 2m1−m2

> k, 2m2−m3

> k − 1, , 2mr−1−mr

> k − r +

2, 2m r > k − r + 1 Trong trường hợp riêng (thực ra là trường hợp quan trọng

nhất), khi r = k, họ suy ra rằng dim(F2⊗ A P)d ≥ Qk

i=1(2i − 1) Đây chính

là định lý Crabb–Hubbuck nói trong mục trước

Sử dụng các ký hiệu này, chúng tôi chứng minh trong [6] khẳng định rằng

nếu m1 − m2 ≥ k2, m2 − m3 ≥ k3 − k1, , m r−1 − mr ≥ kr − k r−2 , mr ≥

k − k r−1 , thì GLhaωi ∼= F2hGL/Gωi Kết quả của chúng tôi thật ra tổng quát

hơn Nó cho các đánh giá về cận dưới của dim GLhaωi và được sử dụng trong

các trường hợp sau đây