Mô đun dẹt và vành dẹt tuyệt đối

Tôpô Zarisky là một Tôpô khá đặc biệt được cho trên tập tất cả các iđean nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị.. Việc nghiên cứu các Tôpô này có nhiều thú vị, mỗi một kết quả của Tôpô

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PH ẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn

Khoa Toán ĐHSP TPHCM

Người nhân xét 1 :

Khoa Toán ĐHKH Tự nhiên TP.HCM

Người nhận xét 2 :

Khoa Toán ĐHSP TPHCM

Người thực hiện :

Bộ môn Toán Trường PTTH chuyên Lê Hồng Phong Thành phố HCM

Luận văn khoa học được bảo vệ lại :

Hội đồng chấm luận văn Thạc Sỹ toán học

Quang – khoa Toán Đại Học Sư Học Phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt mọi khó khan để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

Xin chân thành cám ơn Quý Thầy :

PTS Bùi Tường Trí, PTS Trần Huyên – Khoa Toán Đại Học Sư Phạm TP HCM,

đóng góp nhiều ý kiến quý báu cũng như lời phê bình sâu sắc, bổ ích Tôi rất cám ơn và xin ghi nh ận những ý kiến quý giá này

Giáo dục thuộc Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, khoa Triết Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM đã tận tình truyền đạt kiến thức cũng như các hỗ trợ khác về tinh

th ần và tự liệu cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc

Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban chủ nhiệm khoa Toán, Quý Thầy, Cô

tình giúp đỡ, động viên tôi, tạo mọi điều kiện thuận lợi về hành chính, thủ tục cho tôi trong su ốt quá trình học tập

Xin cám ơn các bạn cùng khóa Cao Học 4 khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM, đã quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn

M ột lần nữa, tôi xin được gởi đén Quý Thầy, Cô và bạn Hữu đã giúp đỡ tôi hoàn thành tr ọn vẹn luận văn này

Nguyên Lê Thúy Hoa

Môđun dẹt là một trong những lớp môđun có vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun và đại số đồng điều Luận văn này sẽ trình bày một số kết quả nghiên

cứu về môđun dẹt và vành dẹt tuyệt đối, tức là lớp vành mà mọi môđun trên nó đều

dẹt

Luận văn này gồm 03 chương :

Chương I : Trình bày các kết quả về Tôpô Zarisky và phổ nguyên tố của vành Tôpô Zarisky là một Tôpô khá đặc biệt được cho trên tập tất cả các iđean nguyên tố

của vành giao hoán có đơn vị Việc nghiên cứu các Tôpô này có nhiều thú vị, mỗi

một kết quả của Tôpô có thể kéo theo một kết quả về Cấu trúc các iđean nguyên tố

của vành và ngược lại Trong chương này, trình bày các kết quả cơ bản về Tôpô Zarisky : Cơ sở lân cận đóng và mở, tập mở chính của Tôpô Zarisky, tính compact, liên thông,tách của Tôpô Zarisky Các kết quả chương này rất cần để nghiên cứu vành dẹt tuyệt đối ở chương III

Chương II : Trình bày các nghiên cứu của chúng tôi về môđun dẹt Trong chương này, các định nghĩa tương đương của môđun dẹt, mối quan hệ của môđun dẹt với các môđun lự do, môđun xạ ảnh, môđun không xoắn (là các môđun quan trọng và rất gần gũi

với môđun dẹt ), mối liên hệ môđun dẹt và tổng trực tiếp, tích Tenxơ,… , cấu trúc con và thương của môđun dẹt được khảo sát đầy đủ và chi tiết Đặc biệt, trong chương này chúng tôi đưa ra khá nhiều ví dụ minh họa Trong đó có nhiều ví dụ theo chúng tôi là khá hiếm và chứng minh của nó tương đối kỹ thuật, chẳng hạn như các ví dụ : ví dụ 3.2, ví dụ 4.5, ví dụ 4.7 chương II

Chương cuối cùng trình bày các kết quả về vành dẹt tuyệt đối Bằng hai công cụ chủ yếu là hàm tử xoắn (Tor) và Tôpô Zarisky, chúng tôi đã

khảo sát tương đối đầy đủ các tính chất của vành dẹt tuyệt đối : các định nghĩa tương đương, vành dẹt tuyệt đối qua phép lấy tổng trực tiếp và qua phép lấy tích Tenxơ, vành các thương của vành dẹt tuyệt đối Đặc biệt, nhờ các kết quả trên, phổ nguyên tố vành dẹt tuyệt đối được khảo sát chi tiết và có nhiều kết

quả thú vị, chẳng hạn nó là không gian Haussdoff compact, hoàn toàn không liên thông…

§1 ĐỊNH NGHĨA & VÍ DỤ Error! Bookmark not defined.

§2 TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ ZARISKYError! Bookmark not defined.

CHƯƠNG II : TÍCH XOẮN & MÔ ĐUN DẸT 24

§1 TÍCH XOẮN CỦA 2 MÔĐUN Error! Bookmark not defined.

§2 CÁC ĐỊNH NGHĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA MÔĐUN DẸT Error! Bookmark not defined.

§3 TỔNG TRỰC TIẾP - TÍCH TENXƠ CỦA CÁC R MÔĐUN Error! Bookmark not defined.

CHƯƠNG III : CÁC VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI 60

§1 VÀNH CÓ TÍNH CHẤT " α - TUYỆT ĐỐI "Error! Bookmark not defined.

§2 CÁC ĐỊNH NGHĨA TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐIError! Bookmark not defined.

§3 TỔNG TRỰC TIẾP - TÍCH TENXƠ CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐI Error! Bookmark not defined.

§4 VÀNH CÁC THƯƠNG VÀ MÔĐUN CÁC THƯƠNG CỦA VÀNH DẸT

TUYỆT ĐỐI Error! Bookmark not defined.

§5 PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH DẸT TUYỆT ĐỐIError! Bookmark not defined.

TÀI LIỆU THAM KHẢO 88

CHƯƠNG I : TÔPÔ ZARISKY

§1 Định nghĩa và ví dụ

Trong luận văn này chúng tôi chỉ nghiên cứu vành A là giao hoán có đơn vị trừ khi nào có lưu ý ngược lại

I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Cho A là vành bất kỳ, giao hoán, có đơn vị

+ Các phần tử của nó được ký hiệu bởi các chữ thường a, b, c,

+ Các idean của nó được ký hiệu bởi các chữ Hy Lạp α, β, γ

+ Các tập con của nó được ký hiệu bởi các chữ in hoa B, C, D, E, + Với bất kỳ phần tử a ∈ A, ký hiệu (a) là iđean của A được sinh ra bởi

phần tử a

+ Với bất kỳ phần tử a ∈ A, ta có :

• a khả nghịch nêu ∃a'∈ A : aa' = 1

• a là ước của 0 nếu ∃a'∈ A, a’≠ 0 aa' = 0

• a lũy dang nêu a2 = a

• a lũy linh nếu ∃n∈ N, n ≥ 1 an

= 0

• + α lả idean của A, ký hiệu α  A, ta có các định nghĩa :

• α là iđean nguyên tố của vành A, ký hiệu αpA

m

Aα ↔ A/α là trường

+ Tập hợp tất cả các phần tử lũy linh của vành A lập thành một iđean

của vành A dược gọi là Nil Radical của A (N = rad A)

M ệnh đề 1.2 :

Cho A là vành Khi đó ta có :

Trình bày chứng minh mệnh đề này được nói rõ trong [2] trang 14

+ Radical Jocobson của vành A là giao của tất cá các ỉdean tối đại của vành A.Ký hiệu R = Rad A = = ∩ M

M mA

M ệnh đề 1.3 :

Cho A là vành, x ∈ A

Khi đó x ∈ Rad A ↔ ∀y ∈A thì 1 - xy khả nghịch trong A

Chứng minh mệnh đề này có thể t ì m t h ấ y trong [2] trang 15

+ Với bất kỳ tập E ⊂ A, ký hiệu (E) là iđean của A được sinh ra bởi E

+ Với 2 iđean bất kỳ α, β của A ta định nghĩa α.β là tập tất cả các tổng

Định nghĩa 1.1 : Với bất kỳ tập con E của A, ta định nghĩa V(E) là tập

tất cả các iđean nguyên tố của A mà chứa E

II CÁC MỆNH ĐỀ CƠ SỞ

Mệnh đề 1.4

Cho A là vành, E là một tập con tùy ý của A

Khi đó ta có :

a Nếu α là iđean dược sinh ra bởi E thì V(E) = V(α) = V(r(α))

b Gọi X là tập tất cả các iđean nguyên tố của A, ta có V(0) = X;

xA

Lấy α tùy ý thuộc

Nên từ Suy ra

Suy ra

Mặt khác

Suy ra xx’ ∉ γ (2)

Từ (1) và (2) suy ra α ∩ β ⊄ γ Mâu thuẫn với đầu bài γ ⊃ α ⊃ β

Vậy điều giả sử �𝛾 ⊅ 𝛼𝛾 ⊅ 𝛽 là sai

Suy ra

Mà

Suy ra

→ α β ⊄ γ Mâu thuẫn với trên γ ⊃ αβ

Vậy : Điều giả sử là sai

III ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ TÔPÔ ZARISKY

Cho A là vành X là tập hợp tất cả các iđean nguyên tố của A

Các mệnh đề 1.4, 1.5, 1.6 chỉ ra rằng các tập V(E) trong đó E là tập con của A thỏa mãn các tiên đề tập đóng của tôpô trên tập X tất cả các iđean nguyên tố của A Bởi vậy, ta có định nghĩa sau đây :

Định nghĩa 1.2 :

Cho A là vành X là tập hợp tất cả các iđean nguyên tố của A Tôpô trên X mà tập các tập đóng của nó trùng với các tập V(E) với E ⊂ A, được gọi là tôpô Zarisky và được gọi là phổ nguyên tố của vành A và ký hiệu là SpecA

Nhận xét : Các tập mở của SpecA là phần bù của các tập V(E) với E ⊂ A ,

Ví dụ 1.1: Z là vành nguyên

Spec (Z) = { β: β là iđean nguyên tố của vành Z}

= {(0),(p) với p là phần tử nguyên tố trong Z}

Ta kiểm tra :

⇐ ) β = (p) , p ∈ P Khi đó βp Z hiển nhiên

(do xy ∈ (p)

hay hay

⇒ ) βp Z Khi đó ∃m ∈ Z sao cho : β = (m)

Vậy ta có Mâu thuẫn nhau

Do đó điều giả sử m ∉ P là sai

Nên suy ra m ∈ P

Vậy : ∃m∈ P : β = (m)

→ Mọi iđean nguyên tố khác (0) của vành Z đều có dạng (p) với p ∈ P

* Tập đóng

E ⊂ Z + Nếu E V(E) Spec Z

• Với x ∈ E, ta chỉ có hữu hạn số nguyên tố p là ước của x

Mà p | x, ∀x ∈ E

→ V(E) hữu hạn hoặc bằng ∅

• Ta kiểm tra chiều ngược lại: nếuV(E)∉(0) hữu hạn thì V(E) là tập đóng

Do hợp hữu hạn các tập đóng là tập đóng nên ta chỉ cần chứng minh tập V(E) ∉ (0)

gồm 1 là tập đóng

Mọi iđean nguyên tố ≠ 0 trong Z đều là iđean tối đại nên theo mệnh đề 2.4 thì tập ∉

(0) gồm 1 điểm tức là tập chỉ có 1 iđean nguyên tố là tập đóng

Như vậy, tập đóng của không gian tôpô Spec Z là tập ∅ hoặc là tập hữu hạn

* Tập mở của Spec (Z) là phần bù của các tập V(E) với E ⊂ A

§2 Tính chất của không gian Tôpô Zarisky

Suy ra {Xf, f ∈ A} tạo thành một cơ sở của X

Cho A là vành, X = SpecA Ta có các khẳng định sau a) X f ∩ X g = X fg ∀f,g ∈ A

b) X f = ∅ ⇔ f lũy linh trong A

Mà : (mệnh đề 1.6)

→ α ∉ Xf ∩ Xg Mâu thuẫn với ban đầu α ∈ Xf ∩ Xg

Do đó điều giả sử α ∉ Xfg là sao

⇒ ) Giả sử Xf = ∅ Ta cần chứng minh f lũy linh

Dùng phản chứng : Giả sử f không lũy linh Suy ra fn

≠ ∀ ∈ Xét T = {f / nn ≥ 0}

Dễ thấy

Suy ra T là tập con nhân của A

Gọi J = {αA / α ∩ T = }∅

Ta có J ≠ ∅ vì tồn tại iđean (0) thuộc J

(J,⊆) thỏa mãn bổ đề Zorn

Thật vậy : Giả sử có 1 họ sắp thứ tự các iđean α1, α2, …, αn, … thuộc J

Ta cần chứng minh họ này có phần tử tối đại trong J

Ta có :

Mặt khác :

Từ (1) và (2) suy ra α ∈ J, α là phần tử tối đại của họ (αi)

Vậy ∃αo ∈ J; αo tối đại trong J, của họ J

Vậy Xf = ∅ ⇒ f lũy linh

⇐ ) Giả sử f lũy linh Chứng minh Xf = ∅

Dùng phản chứng : Giả sử Xf ≠ ∅ Suy ra ∃αopA ,α ∈o Xf

Mà

→ f không lũy linh Vô lý

Vậy f lũy linh ⇒ Xf = ∅

⇒ ) Gi ả sử X f = X Ta ch ứng minh f khả nghịch trong A

Dùng ph ản chứng : Gi ả sử f không khả nghịch trong A Suy ra tồn tại iđean tối đại α c ủa A sao cho f ∈α (H ệ quả 1.1)

a/ T ập hợp X f là Compact v ới f là phần tử bất kỳ thuộc A

b/ M ột tập con mở trong X là compact ⇔ nó là hợp của một số hữu hạn

các t ập con có dạng X f

Từ đây, chúng tôi rút ra một hệ quả rất đẹp sau

b/ X* là tập mở tùy ý trong X Ta chứng minh :

X* compact ⇔ X* là hợp của 1 số hữu hạn các tập con có dạng Xf

⇐ ) Giả sử Ta chứng minh X*

là Compact

Do hợp hữu hạn các tập compact là compact

Mà Xf compact ∀ =j 1, n (theo a/)

Định nghĩa 2.2 : Điểm của không gian X = Spec A

Cho A là vành : X = Spec A Khi đó : một iđean nguyên tố αx nào đó của

vành A được định nghĩa là một điểm của không gian X = Spec A và ký hiệu là x

→ Tồn tại lân cận mở Xa của điểm y mà Xa không chứa x

→ Tồn tại lân cận mở Xa của điểm y mà Xa ∩ (x) = ∅

Do đó y ∉ (x) Vô lý

Vậy điều giả sử α ⊄ α là sai x y

Như chúng ta đã biết một không gian tôpô là T1-không gian khi và chỉ khi tập gồm một điểm là tập đóng Như vậy liệu rằng không gian tôpô Zarisky mà chúng ta đưa ra ở chương này có phải là T1-không gian hay không ? Và muốn cho không gian ấy là T1-Không gian thì vành A phải thỏa mãn điều kiện gì ? Mệnh đề mà chúng ta nêu ra dưới đây sẽ là chìa khóa của vấn đề này

M ệnh đề 2.4 :

Cho A là vành, X = Spec A Khi đó, ta có :

Tập hợp ( x ) đóng trong không gian X ⇔ x là iđean tối đại trong vành A

Chứng minh

Giả sử (x) là tập đóng trong không gian X Ta cần chứng minh αx là iđean tối đại trong vành A

Giả sử 0 ≠ β là idean bất kỳ của A mà chứa αx; β ≠ A Ta chứng minh αx = β

Do β ≠ A nên ∃βy là iđean tối đại trong A : β ⊃ β (Xem định lý 1.2 chương I) y

Áp dụng mệnh đề 2.3 ta cóy∈(x) (doβ ⊃ β ⊃ αy x) Mà (x) là tập đóng trong không gian X nên (x) = (x) do đó y∈(x)

Vậy (x) đóng trong không gian X

+ Nhận xét: Trong trường hợp (x) đóng trong không gian X thì ta nói X là một điểm đóng

Từ mệnh đề 2.4 ở trên, ta có hệ quả sau đây

Hệ quả 2.1

Cho A là vành Khi đó, ta có khẳng định sau :

X = Spec A là T1 - không gian ↔ Mọi iđean nguyên tố của vành A đều là iđean tối đại

Ví dụ : Vành Bull A

Không gian X = Spec A là T1 - không gian

Thật vậy : lấy α là iđean nguyên tố bất kỳ của A Ta cần chứng minh αmA

Do đó, mọi iđean nguyên tố của vành Bull đều là iđean tối đại Nên không gian tôpô sinh bởi vành Bull là T1 - không gian Bên cạnh đó, chúng tôi còn rút ra được một tính chất khá quan trọng của không gian tôpô Zarisky trên vành A Đó là tính chất tách To - không gian

được thể hiện qua định lý dưới đây

Định lý 2.3

Cho A là một vành Khi đó X = Spec A là T o - không gian Điều đó có nghĩa

là đối với bất kỳ 2 điểm khác nhau của không gian X có ít nhất một lân cận của điểm này không chứa điểm còn lại

α ∉



α ∉

 → �𝐶ó 𝑚ộ𝑡 𝑙â𝑛 𝑐ậ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝛼𝐶ó 𝑚ộ𝑡 𝑙â𝑛 𝑐ậ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝛼𝑦 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ℎứ𝑎 𝛼𝑥

𝑥 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ℎứ𝑎 𝛼𝑦 → �𝐶ó 𝑚ộ𝑡 𝑙â𝑛 𝑐ậ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑦 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ℎứ𝑎 𝑥𝐶ó 𝑚ộ𝑡 𝑙â𝑛 𝑐ậ𝑛 𝑐ủ𝑎 𝑥 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑐ℎứ𝑎 𝑦

Vậy X là To – Không gian

+ Zn(K) = Ker∂n = {x ∈ Kn : {x ∈ Kn : ∂(x) = 0} được gọi là tập các chu trình

+ Bn(K) = Im∂n+1 = { x ∈ Kn : ∃y ∈ Kn+1 : ∂ (y) = x} được gọi là tập các biên (bờ) + Xét môđun Hn(K) = Zn(K)/Bn(K) : môđun đồng điều chiều thứ n của phức (K)

+ Đồng cấu phức (ánh xạ dây chuyền) Cho (K), (L) là 2 phức

Ánh xạ như vậy được gọi là ánh xạ dây chuyền

Ta gọi đồng cấu phức : (K) → (L) là họ (f) các đồng cấu môđun ( f) = { fn : Kn → Ln} thỏa điều kiện sau :

fn - 1∂K = ∂Lfn (∀n ∈ Z) : Kn → Ln - 1 Sau này có thể ký hiệu f∂ =

∂f :

Kn → Ln - 1 và hiểu là fn - 1∂K = ∂Lfn

+ Ánh xạ đồng điều

Cho đồng cấu phức f: (K) → (K')

Với mỗi n ta đinh nghĩa

Tương ứng trên là 1 đồng cấu môđun

f* = Hn(f) được gọi là đồng cấu đồng điều, cảm sinh bởi f

+ Khái niệm dãy khớp ngắn các phức :

Một dãy các phức và đồng cấu phức ( là các đồng cấu phức)

được gọi là dãy khớp ngắn các phức nếu nó

khớp tại mỗi mắt

Tức là dãy là dãy khớp ngắn các môđun ∀n

+ Dãy kh ớp đồng điều của dãy khớp ngắn các phức

Dãy sau đây là khớp

Dãy này được gọi là dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn các phức (E)

Tor (G,A) hay Torn (G,A)

Với n = 0, qui ước

n = 1, qui ước

n < 0

+ Tích xoắn của 2 đồng cấu

Cho

Gọi X, X' là 2 phép giải xạ ảnh trên G và G'

Ánh xạ f : GR→G 'R có thể nâng lên thành đồng cấu phức

(X)→(X ') tức là có 1 ánh xạ dây chuyền

(f) = { fn : Xn →X 'n ∀ } sao cho fn -1 = f : GR → G’R

Đồng cấu này ta cũng ký hiệu nó là f Đồng cấu này cảm sinh ra đồng

cấu phức f : (X)→(X '), cảm sinh ra đồng cấu sau đây f ⊗ g : X ⊗ A → X’ ⊗ A

Đặt

Ta có họ

được gọi là tích xoắn của 2 đồng cấu f và g

Từ định nghĩa trên, ta có tính chất sau:

Tính chất 1.1

+ Hai dãy khớp dài đối với Tor

Cho là dãy khớp ngắn các môđun, RAlà môđun trái bất kỳ

Gọi X’, X’’, X là phép giải xạ ảnh trên G’, G’’,G

X ' , X '' , X là phép giải xạ ảnh thu gọn trên G’,G’’,G

Ta có dãy khớp ngắn chẻ ra các phức :

Lấy dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn các phức trên

Ta có dãy sau đây là khớp (theo định lý 1.1 chương II)

Song song với sự hình thành định lý 1.2, ta xét dãy khớp ngắn các R

Môđun trái và GRlà môđun phải bất kỳ

Giả sử (X) là phép giải xạ ảnh tùy ý trên G

(X) là phép giải xạ ảnh thu gọn trên G

Lấy dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn các phức trên

Ta có dãy sau đây là khớp (định lý 1.1 chương II)

Cho là dãy kh ớp

Ng ắn các môđun, R A là môđun trái bất kỳ Ta có dãy khớp sau :

Suy ra dãy sau đây là khớp :

Vì vậy, ta cũng có định lý quan trọng sau đây :

Định lý 1.3 :

Cho là dãy khớp các R môđun, G R là môđun trái bất kỳ Ta có dãy khớp sau :

I CÁC ĐỊNH NGHĨA TƯƠNG ĐƯƠNG

Cho G là R môđun bất kỳ Khi đó, ta có các khẳng định tương đương sau đây :

1/ Tor(G,A) = 0, ∀A là R môđun

2/ Torn(G,A) = 0, ∀A là R môđun, ∀n ∈ N, n ≥ 1

3/ ∀f : A → B là đơn là đơn cấu thì cũng là đơn cấu

Nên dãy sau đây cũng khớp

Ta chứng minh bằng qui nạp : Giả sử có

Suy ra dãy sau đây khớp :

⇒ 1G ⊗ f là đơn cấu

3/ ⇒ 4/ hiển nhiên do 3/ và hàn tử Tenxơ khớp phải

4/ ⇒ 5/ ta xét sơ đồ giao hoán sau đây

Do 4/ ta có dãy đây là khớp

Kết hợp với sơ đồ giao hoán sau :

Suy ra

Ta đã có là R môđun

( do tính chất của hàm tử Tenxơ )

Do đó ta chỉ cần chứng minh khớp tại G’ ⊗ A ⇔ chứng minh f ⊗ 1Ađơn cấu

Theo định lý 1.2 chương II

Từ dãy khớp Ta suy ra dãy sau đây khớp

Thế nên để chứng minh f ⊗ 1A đơn cấu ta chứng minh

Tor1(G,A) = 0

xMuốn vậy ta phải chứng minh 1)

Ta chứng minh 1) theo sơ đồ vòng như sau : 5/ ⇒ 3/ ⇒ 1/

5/ ⇒ 3/ hiển nhiên

3/ ⇒ 1/ Ta có A F

X

Áp dụng định lý 1.3 chương II đối với dãy khớp ngắn ở trên ta được :

Có 3/ nên là đơn cấu

6/ ⇒ 1/

Áp dụng định lý 1.2 chương II cho dãy khớp ngắn trên ta được dãy sau đây là khớp

Định nghĩa 2.1 : Một R môđun thỏa mãn 1 trong 6 điều kiện trên của mệnh đề 2.1

được gọi là môđun dẹt

+ Nhận xét : Để chứng minh G là R môđun dẹt đơn giản người ta thường đi chứng

minh các khẳng định 1 hoặc 3

Sau đây, chúng tôi sẽ nêu ra các định nghĩa tương dương khác của mô đun dẹt, chúng

sẽ được sử dụng sau này Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không trình bày chứng minh của nó ở đây

vì các chứng minh có thể tìm thấy trong [2] trang 41, 42

Mênh đề 2.1 :

Cho N là R môđun khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương :

1/ N là môđun dẹt

2/ N ếu f : M’ → M đơn cấu thì f ⊗ 1 N : M’ ⊗ N → M ⊗ N cũng là đơn cấu

3/ Nếu f : M’ → M là đơn cấu và M, M’ là các R môđun hữu hạn sinh f ⊗ 1 N : M’

Suy ra Tor1(N,M) = 0, ∀M là R môđun

Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra một định nghĩa tương đương khác của môđun dẹt

mà việc chứng minh của nó khá công phu và đầy kỹ thuật Và đây cũng là một định nghĩa vô cùng quan trọng của môđun dẹt Nó là chìa khóa sử dụng để mở ra cách

chứng minh môđun dẹt trong các mệnh đề tiếp theo

Định lý 2.1 :

Gi ả sử N là A môđun bất kỳ Khi đó N là A môđun dẹt ⇔ Tor 1 (A/α, N) = 0 v ới α

là iđean hữu hạn sinh bất kỳ của vành A

⇒) N là A môdun dẹt Ta cần chứng minh Tor1(A/α, N) = 0

với mọi α là iđean hữu hạn sinh của A

Ta có N là A môđun dẹt ⇒ Tor(M.N) = 0 , ∀M là A môđun

Mà A/α là A môđun, ∀α là iđean hữu hạn sinh của vành A

Suy ra Tor (A/α, N) = 0 ,∀a là iđean hữu hạn sinh của vành A