CHƯƠNG II TÍCH XOẮN & MÔ ĐUN DẸT
II. MÔĐUN DẸT VÀ HÀM TỬ XOẮN (Tor)
Cho dãy O → N’ → N → N’’ → O khớp các R môđun. Giả sử N’’ là R môđun dẹt. Khi đó, ta có khẳng định sau : N’ dẹt ⇔ N dẹt.
Chứng minh :
⇒ ) Giả sử N’ là R – môđun dẹt. Cần chứng minh N là R môđun dẹt.
Ta có : O → N’ → N → N’’ → O khớp
34 Áp dụng định lý 1.2 chương II đối với dãy khớp trên l a có dãy sau đây là khớp :
Suy ra Tor1(N,M) = 0, ∀M là R môđun
→ N là R môđun dẹt
⇐ ) Giả sử N là R môđun dẹt. Chứng minh N’ là R môđun dẹt
Có là dãy khớp
Áp dụng định lý 1.3 đối với dãy khớp trên ta được dãy sau đây là khớp, ∀M là R môđun
Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra một định nghĩa tương đương khác của môđun dẹt mà việc chứng minh của nó khá công phu và đầy kỹ thuật. Và đây cũng là một định nghĩa vô cùng quan trọng của môđun dẹt. Nó là chìa khóa sử dụng để mở ra cách chứng minh môđun dẹt trong các mệnh đề tiếp theo.
Định lý 2.1 :
Giả sử N là A môđun bất kỳ. Khi đó N là A môđun dẹt ⇔ Tor1(A/α, N) = 0 với α là iđean hữu hạn sinh bất kỳ của vành A.
Chứng minh :
⇒) N là A môdun dẹt. Ta cần chứng minh Tor1(A/α, N) = 0 với mọi α là iđean hữu hạn sinh của A.
Ta có N là A môđun dẹt ⇒ Tor(M.N) = 0 , ∀M là A môđun Mà A/α là A môđun, ∀α là iđean hữu hạn sinh của vành A Suy ra Tor (A/α, N) = 0 ,∀a là iđean hữu hạn sinh của vành A
35
⇐ ∀α) là idean hữu hạn sinh thỏa Tor1 (A/α, N) = 0. Ta cần chứng minh N là A môđun dẹt.
* Đầu tiên, nếu Tor(M,N) = 0 với mọi M là A môđun hữu hạn sinh thì N là A môđun dẹt.
Xét f: M' → M" là đơn cấu tùy ý, M, M" là các A môđun hữu hạn sinh
Áp dụng đinh lý 1.2 chương II cho dãy khớp ngắn ở trên ta được dãy sau đây là khớp.
Nên N là A môđun dẹt (mệnh đề 2.1 chương II)
Vậy : Nếu Tor (M,N) = 0 với mọi M là A môđun hữu hạn sinh thì N là A môđun dẹt.
* Tiếp đến, ta chứng minh nếu Tor(M,N) = 0 với mọi M là A môdun xyclic thì N là A môđun dẹt.
Áp dụng trường hợp trên ta chỉ cần đi chứng minh Tor (M,N) = 0 với mọi M là A môđun hữu hạn sinh.
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp theo số phần tử sinh của M như sau :
Khớp Nên áp dụng định lý 1.2 chương II ta được dãy sau đây là khớp
36 Theo giả thiết ta có:
→ Tor (M, N) = 0
Vậy Tor (M,N) = 0 với mọi M là A môdun mà số phần tử sinh của M là 2.
• Giả sử ta chứng minh được Tor(M,N) = 0 với mọi M là A môđun mà số phần tử sinh của M < k – 1
• Ta chứng minh Tor(M,N) = 0 với mọi M là môđun mà số phần tử sinh của M là k.
Giả sử M = (x1, x2, …., xk-1, xk)
k 1 1 2 k 1
k k
k 1
M (x , x ,...., x )
Xét M M (x )
M
− −
−
=
=
Xét dãy k 1 i
k 1
O M M M O
M
π
− −
→ → → → khớp
Hay dãy O →Mk 1− i→ M π→Mk →O khớp Áp dụng định lý 1.2 chương II ta được dãy sau đây là khớp : Tor (Mk-1, N ) i→ Tor(M, N) π→ Tor (Mk-1. N)
Mà theo giả thiết quy nạp ta có : Tor (Mk-1, N) = 0 Mặt khác Tor (Mk, N) = 0
Suy ra Tor (M, N) = với mọi M là môđun mà số phần tử của M là k Vậy, ta đã chứng minh được Tor (M, N) = 0 với mọi M là môđun hữu hạn sinh
Do đó N là A môđun dẹt.
* Kế tiếp ta chứng minh nếu Tor (A/α, N) = 0 với mọi α là iđean của A thì N là A môđun dẹt.
• Trước hết ta chứng minh : Nếu M là A môđun xyclic bất kỳ thì M A /≅ α với α là iđean nào đó của A
Ta có : M là A môđun xyclic nên M = Ax = (x)
Dễ thấy ϕ là một toàn cấu môđun.
37 Theo giả thiết ta có Tor (A/α, N) = 0 với α là idean bất kỳ của A, nên Tor (M,N) = 0 với mọi M là A môđun xyclic. Theo trên ta suy ra N là A môđun dẹt.
* Cuối cùng ta chứng minh nếu có Tor(A/α, N) = 0 với mọi α là iđean hữu hạn sinh của A thì N là môdun dẹt.
Trước hết ta có hai nhận xét sau :
Nhận xét 1 : Tor (A/ , N) = 0 α ⇔ ⊗ i 1 :N α ⊗ N →A ⊗ N Là đơn cấu với αA
Nhận xét 2 : α β, A;α β, hữu hạn sinh, α ⊂ β Thì I ⊗ 1N : α ⊗ N → β ⊗ N, đơn cấu
Thật vậy : Do giả thiết và nhận xét 1 ta có :
Ta trở lại chứng minh định lý
Ta sẽ chứng minh u = 0 trong α ⊗ N
Tồn tại βohữu hạn sinh,
Mà i ⊗ 1N, αo ⊗ N → βo ⊗ N đơn cấu ( do nhận xét 2 )
38 Vậy : ta đã chứng minh được Tor(A/α, N) = 0 ∀α < A.
Theo bước trên ta được N là A môđun dẹt.
III. MÔĐUN DẸT VÀ TÍCH TEN XƠ : Mệnh đề 2.3.
M là R môđun dẹt ⇔ tích tenxơ của M với một R môđun dẹt bất kỳ là một môđun dẹt.
Chứng minh :
⇐) M là R môđun bất kỳ thỏa mãn M ⊗ N là một môđun dẹt, ∀N là R môđun dẹt. Chứng minh M là R môđun dẹt.
Ta có : R là R môđun dẹt.
Và M ⊗ N là R môđun dẹt ∀N là R môđun dẹt
→ M ⊗ R môđun dẹt
Mà M ⊗ R ≅ M � → M là R môđun dẹt
⇒ ) Mà là R môđun dẹt
N là R môđun dẹt tùy ý �Chứng minh M ⊗ N là R môđun dẹt Giả sử f : A → B là một đơn cấu tùy ý
Ta cần chứng minh cũng là đơn
cấu.
Ta có : M là R môđun dẹt
Suy ra là 1 đơn cấu
Do N là R môđun dẹt
39 Mệnh đề 2.4.
Cho R là một miền nguyên, M là R môđun bất kỳ. Ta có M là R môđun dẹt ⇔ Tích Tenxơ của M với một môđun không xoắn bất kỳ là một môđun không xoắn.
Chứng minh :
⇐ ) M ⊗ N là R môđun không xoắn
N là môđun khoong xoắn bất kỳ � Chứng minh M là R môđun dẹt.
Để chứng minh M là R môđun dẹt. Ta chứng minh Tor (R/α, M) = 0 với mọi α là iđean hữu hạn sinh của R.
Xét dãy khớp ngắn sau đây : Với α là iđean hữu hạn sinh của R
Áp dụng định lý 1.2 Chương II ta được dãy sau đây là khớp
Do đó, để chứng minh Tor(R/α, M) = 0 ta chứng minh :
Ta cần chứng minh z = 0 trong α ⊗ M Ta có z = 0 trong R ⊗ M
Xét z trong α ⊗ M Lấy a ≠ 0 bất kỳ thuộc α Ta có
40 Mặt khác, Có α< R
R miền nguyên �
→ α là R môđun không xoắn
→ α ⊗ M cũng là R môđun không xoắn Mà az = 0 trong α⊗ M
𝑎 ≠ 0 �
→ z = 0 trong α ⊗ M
→ i ⊗ 1Mlà đơn cấu
→ Tor (M, R/α) = 0 với α là iđean hữu hạn sinh bất kỳ của vành R
→ M là R môđun dẹt
⇒ ) M là R môđun dẹt N là R môđun không xoắn bất kỳ �
Chứng minh M ⊗ N cũng là R môđun không xoắn
⇔ Chứng minh
Thật vậy, xét α :
Do N là môđun không xoắn nên α là đơn cấu Mặt khác, M là R môđun dẹt
Là đơn cấu
Vậy M ⊗ N là R môđun không xoắn
41
§3. Tổng trực tiếp, tích Tenxơ của các R môđun .