Vành và mô đun hữu hạn

MỞ ĐẦU Nhóm, Vành và Mô đun là những khái niệm cơ bản của Đại số trừu tượng.. Nhưng trong khi có rất nhiều tài liệu mô tả, phân lớp các Nhóm hữu hạn, thì những nghiên cứu như thế về Vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trịnh Thị Phúc

VÀNH VÀ MÔ ĐUN HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Trịnh Thị Phúc

VÀNH VÀ MÔ ĐUN HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

CHƯƠNG 2: VÀNH và MÔ ĐUN HỮU HẠN 4

2.1 Cấu trúc vành hữu hạn 4

Định lý 2.1.1 4

Định lý 2.1.2 6

2.2 Vành với nhóm cộng ( )n p 9

Định lý 2.2.1 9

Hệ quả 2.2.2 12

2.3 Vành cấp 2 p 12

2.3.1 Vành cấp 2 p với nhóm cộng ( )2 p 12

2.3.2 Vành cấp 2 p với nhóm cộng ( p p , ) 12

2.3.3 Kết luận về vành cấp 2 p 24

2.4 Vành cấp 3 p 25

2.4.1 Vành cấp 3 p với nhóm cộng ( )3 p 26

2.4.2 Vành cấp 3 p với nhóm cộng ( 2) , p p 26

2.4.3 Vành cấp 3 p với nhóm cộng ( p p p , , ) 40

2.4.4 Kết luận về vành cấp 3 p 50

2.5 Kết luận về vành hữu hạn 51

2.6 Mô đun hữu hạn 51

Định lý 2.6.1 51

Định lý 2.6.2 52

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Nhóm, Vành và Mô đun là những khái niệm cơ bản của Đại số trừu tượng Nhưng trong khi có rất nhiều tài liệu mô tả, phân lớp các Nhóm hữu hạn, thì những nghiên cứu như thế về Vành và Mô đun hữu hạn lại rất ít

Mục đích của luận văn này là phân tích các vành hữu hạn, mô tả cụ thể các

, ,

hạn

chứa lũy thừa lớn hơn 3 của các số nguyên tố; chúng tôi không đi sâu vào mô đun hữu hạn

,

p p chúng tôi dựa theo [ ] [ ] 4 , 6 Cám ơn các tác giả, cám ơn thầy, TS Trần Huyên đã hướng dẫn, cùng gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho luận văn hoàn thành

Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2011

Người thực hiện

Trịnh Thị Phúc

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Một vành giao hoán hữu hạn có đơn vị R có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của

các vành địa phương Sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến sự hoán vị của các số hạng

Định lý 1.7

Hai trường hữu hạn cùng cấp thì đẳng cấu với nhau

Do đó, với p nguyên tố, n là số nguyên dương cho trước, thì có duy nhất một trường

p là ( )n

GF p

Bổ đề 1.8

CHƯƠNG 2: VÀNH VÀ MÔ ĐUN HỮU HẠN

2.1 Cấu trúc vành hữu hạn

Cho G là nhóm cộng Abel hữu hạn Khi đó G là tổng trực tiếp của n nhóm con

định nghĩa bởi công thức:

t t t

trước gi j k thỏa (a), (b) Khi đó, nếu:

Phép nhân (1) có tính chất phân phối, và do (a), nó có tính chất kết hợp

Do đó, G với phép nhân trên làm thành 1 vành

sinh làm thành một vành con của R

∀ ∈ ∃ ∈ ⊕ = nghĩa là ϕ toàn cấu

Phần tử sinh của nhóm này là ( )jk g với 0 j d< < và ( j d, )= ⇔1 (j p, )= 1

Ta chỉ ra rằng với bất kỳ j∈1,d−1, ( j d, )= thì R 1 đẳng cấu với

Khi đó vì (m n, )= nên 1 g 1 là phần tử sinh cộng tính của C m và đồng cấu

Vậy: với n= +j td t, ∈0,k − thì n 1 thỏa mãn (*)

( j d, )≠ ⇒1 (j p, )≠ ⇒1 (n p, )≠ ⇒1 (n m, )≠ 1

g = jk g

Vậy, với mỗi k , (k m, )≠1, 0< <k m, ta có một lớp các vành đẳng cấu với vành

Để phân loại các vành R, ta chỉ ra rằng nếu đã cho tập các phần tử sinh cộng tính

', '

, , , , ,

đẳng cấu Ta lần lượt liệt kê các trường hợp của a và b

2( t ut a ) u b ta ub

Tương tự như TH4, ta có các TH5, TH6, TH7 không xảy ra:

R cũng không đẳng cấu với E

Thật vậy: Ta gọi vành này là F, ta chỉ ra không có phần tử nào của F thỏa mãn quan

Giả sử A, B thỏa quan hệ trong E Khi đó, AB = A

Bằng tính toán ta có: AB = B Vì thế: A = B (mâu thuẫn) nên A, B không thỏa quan

hệ trong E

Ta chứng minh G và H không đẳng cấu Nghĩa là, ta chỉ ra không có phần tử nào của G thỏa mãn quan hệ trong H Thật vậy:

Đây vành không giao hoán Ta chứng minh nó đẳng cấu với E Nghĩa là, ta chỉ ra sự

tồn tại của phần tử trong R thỏa mãn quan hệ trong E Thật vậy:

Đây cũng là vành không giao hoán Tương tự TH3, ta chứng minh R đẳng cấu với

(mod ) ( ) 0 (mod ) , (mod )

2 3

( )( )

a b

Vậy nếu m chính phương trong p thì hệ (1), (2), (3) có nghiệm u t x y , , , , nghĩa là

(1, 1) (1, 1)

a b

−





Ngược lại, nếu m không chính phương thì hệ (1), (2), (3) vô nghiệm, nên R không

đẳng cấu với R'

Vậy, với n = 0 ta có

 Nếu p = 2 : m ∈ p, m ≠ ⇒ = ⇒ ≅ 0 m 1 R p + p

Nếu m không chính phương thì R đẳng cấu với vành K sau đây:

K = a b pa= pb= a =mb b =b ab=a ba=a

có:A2 = B AB , = BA = mA nB + Nghĩa là A, B độc lập trong D thỏa quan

Xét A = ua + tb B , = xa + yb độc lập trong K Sử dụng quan hệ trong K ta

có:A2 = B AB , = BA = mA nB + Nghĩa là A, B độc lập trong K thỏa quan hệ

đặc trưng bởi quan hệ sau đây:

1.a2 = p a i i , =0,3, với a là phần tử sinh của nhóm cộng của vành: (R,+ =) a

Gọi [ ] e là vành con của R sinh bởi e

Xét: a ∈ R a , ∉ ⇒ [ ] e orda = p

e RadR e ∉ = RadR = p R = p nên a ∈ RadR, có thể coi a là một phần

tử sinh của R Khi đó:

Vì a ∈ RadR nên theo định lý 1.4 ta có 1 ( )1

e−y a− = −e a y e− khả nghịch Do đó:

1 1

a= −y mp e− ⇒ ∈a e , mâu thuẫn với cách chọn a

0

ab pb ab

Nếu R1≅Rµ thì vành R 1 chứa phần từ a b sao cho 1, 1 b12 =µa a b1, 1 1= pb a1, 12 = 0

t xypb y a µ a npb

thuẫn với giả thiết không thể phân tích của R )

Đặt a1 =xa+ypb b, 1= (theo bổ đề 4), ta có quan hệ 5 b

● Nếu ab≠0, theo bổ đề 3 ta có ab =upb u, ≠ 0

đẳng cấu với nhau

 Xét α1 =1,α2 = không chính phương trong µ  p

8 thì không đẳng cấu với nhau

thỏa điều kiện 7 hoặc 8 Vì giả sử tồn tại đẳng cấu, khi đó R chứa phần tử

1

a = xa+ ypb =

sao cho: a12 =αpb a b1, 1 1 =0,b12 = pb1 Khi đó:

● Tương tự, ta có vành R thỏa 5 thì không đẳng cấu với vành ' R thỏa 4 hoặc 6

b) Vành không giao hoán

Do đó: ( )Re R(1−e) { }= 0 nên R=Re⊕R(1− e) (mâu thuẫn với tính không

phân tích được của R )

orde= p



Định lý 3:

Ta có t1 = , tùy các trường hợp của 0 y và 1 z 1 ta trở về các trường hợp đã xét ở trên Bây giờ ta xét 2 vành Rα1 và

⇒ không thỏa quan hệ 11 – 14

1, 1 : 1 1 0

a b R b a

● R và ' R thỏa 15 và 16 Nếu R≅ R', khi đó R chứa các phần tử:

⇒  (không xảy ra)

Mặt khác: RadR là tập các ước của 0 của R, nên ∃ ∈ a ' RadR aa : ' = 0, ' a ≠ 0

Vì a là phần tử sinh của RadR ⇒∃ ∈ n p : ' a = na n , ≠ 0

Tương tự: t2 =s2 =0 không xảy ra



Trở lại chứng minh định lý 5: Vì vai trò của e e1, 2 là như nhau, nên từ bổ đề 6

ta có thể giả sử t1 =1,t2 =0;s1 =0,s2 =1 Khi đó R thỏa 17



Định lý 6: Không tồn tại vành R thỏa ( , ) 2

p

R RadR + ≅ 

Nhưng không có số tự nhiên n và R như thế

Vì vậy R là vành không có đơn vị

2 2

2 2

Ta có p2 là vành chỉ có một cặp ước của 0 là ( pa pa , ) nên e không phải ước của 0

,

Re = p eR = p

Vậy định lý 6 được chứng minh xong

trường F, e cũng là phần tử sinh Cyclic của (F,+)

Do định lý 1.6.ii, R là đại số tuyến tính trên trường F

Vì J = p 2r nên tồn tại { } a b , là cơ sở của J trên F Khi đó { e a b , , } là cơ sở của R

trên F

Hơn nữa, e là đơn vị của R nên R thỏa 18

Vì RadR ≠ p3 nên trong R tồn tại phần tử lũy đẳng e ≠ 0

Vì e là đơn vị phải của R nên ae = a be , = b

thường của nhóm cộng loại ( , ) p p

Các vành thỏa 2 quan hệ khác nhau trong các quan hệ 20 – 24 là không đẳng cấu

 Nếu γ2 =0,γ1 ≠0 Khi đó phần tử trong

2

hợp này không xảy ra

M là nhóm Abel hữu hạn sinh, có tập sinh là { v v1, 2, , vm}

Gọi F là R- mô đun tự do có cơ sở là { e e1, 2, , em} Khi đó tồn tại duy nhất toàn

e i v i

Đặt ker f =M1 là mô đun con của F, M1hữu hạn sinh Khi đó:

1

F M

Theo định lý 1.1 và 1.2, M là tổng trực tiếp của m nhóm con Cyclic v j cấp sj

cho, có phép nhân được định nghĩa bởi công thức:

i j k

s h

• M thỏa (i) vì:

( )

10

k i

s h

k j

s h

i j k

s h

Nếu a = ∑ a ui i = ∑ a u 'i i là hai sự biểu diễn của a trong R và

x = ∑ x vj j = ∑ x v 'j j là hai sự biểu diễn của x trong M Ta có:

Do (iii) nên M thỏa tiền đề M2: ( ) ab x = a bx ( )

Vậy, M với tác động trái (2) từ R vào M làm thành một R- mô đun



 M là nhóm Abel hữu hạn, theo định lý 1.1, M ≅ ⊕ A p ( ) ( ) , A p là p- nhóm con của M có cấp tối đại

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày được các kết quả chủ yếu sau:

nguyên tố với lũy thừa tối đại

kết quả 2 sang mô đun

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh

5 M F Atiyah, I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra,

Addition – Wesley, Great Britain