CHƯƠNG II TÍCH XOẮN & MÔ ĐUN DẸT
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Định nghĩa
+ Phức dưới các R môđun là một dãy các R môđun và đồng cấu môđun viết dưới dạng
(K) : … ← 𝐾𝑛−1 𝜕�� 𝐾𝑛 𝑛𝜕𝑛+1
�⎯� 𝐾𝑛+1 ← … Trong đó ∂n ∂n+1 = 0 ( nó chẳng qua là dãy nữa khớp )
Để cho đơn giản, người ta viết … ← 𝐾𝑛−1←𝐾𝜕 𝑛← 𝐾𝜕 𝑛+1 ←… Ký hiệu phức là (K)
+ Zn(K) = Ker∂n = {x ∈ Kn : {x ∈ Kn : ∂(x) = 0} được gọi là tập các chu trình + Bn(K) = Im∂n+1 = { x ∈ Kn : ∃y ∈ Kn+1 : ∂ (y) = x} được gọi là tập các biên (bờ) + Xét môđun Hn(K) = Zn(K)/Bn(K) : môđun đồng điều chiều thứ n của phức (K).
+ Đồng cấu phức (ánh xạ dây chuyền) Cho (K), (L) là 2 phức
Ánh xạ như vậy được gọi là ánh xạ dây chuyền.
Ta gọi đồng cấu phức : (K) → (L) là họ (f) các đồng cấu môđun ( f) = { fn : Kn → Ln} thỏa điều kiện sau :
fn - 1∂K = ∂Lfn (∀n ∈ Z) : Kn → Ln - 1. Sau này có thể ký hiệu f∂ =
∂f :
Kn → Ln - 1 và hiểu là fn - 1∂K = ∂Lfn + Ánh xạ đồng điều
Cho đồng cấu phức f: (K) → (K')
25 Với mỗi n ta đinh nghĩa
Tương ứng trên là 1 đồng cấu môđun.
f* = Hn(f) được gọi là đồng cấu đồng điều, cảm sinh bởi f.
+ Khái niệm dãy khớp ngắn các phức :
Một dãy các phức và đồng cấu phức ( là các đồng cấu phức)
được gọi là dãy khớp ngắn các phức nếu nó khớp tại mỗi mắt .
Tức là dãy là dãy khớp ngắn các môđun ∀n.
+ Dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn các phức
Cho dãy là dãy khớp ngắn các phức.
Ta có :
• Dãy Khớp tại Hn(L) ∀n∈Z
• Xây dựng đồng cấu nối ∂E
m H (M)n
∀ ∈ ta xây dựng
Khi đó ∂Elà một đồng cấu môđun.
Định lý 1.1 :
+ Phép giải xạ ảnh :
Cho G là R môdun. Ta gọi phép xạ giải xạ ảnh tren G là 1 dãy khóp các R – môđun
→ trong đó Kn(n ≥ 0)
đều là các môđun xạ ảnh
+ Tích xoắn của 2 môđun
Với dãy khớp ngắn các phức
Dãy sau đây là khớp
Dãy này được gọi là dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn các phức (E)
26 Giả sử GR,RAlà các R môđun phải, trái. Xét phép giải xạ ảnh tùy ý trên G
⇒ (X) ⊗ A là một phức
Khi đó ta có định nghĩa sau : Tích xoắn chiều thứ n của 2 môđun G, A chính là nhóm Abel
Ký hiệu Tor (G,A) hay TornR n (G,A) Với n = 0, qui ước
n = 1, qui ước n < 0
+ Tích xoắn của 2 đồng cấu Cho
Gọi X, X' là 2 phép giải xạ ảnh trên G và G'
Ánh xạ f : GR→G 'R có thể nâng lên thành đồng cấu phức (X)→(X ') tức là có 1 ánh xạ dây chuyền
(f) = { fn : Xn →X 'n ∀n} sao cho f-1 = f : GR → G’R
Đồng cấu này ta cũng ký hiệu nó là f. Đồng cấu này cảm sinh ra đồng cấu phức f : (X)→(X '), cảm sinh ra đồng cấu sau đây f ⊗ g : X ⊗ A → X’ ⊗ A
Đặt
Ta có họ
được gọi là tích xoắn của 2 đồng cấu f và g.
Từ định nghĩa trên, ta có tính chất sau:
Tính chất 1.1.
27 + Phép giải xạ ảnh thu gọn
Cho GRlà R môđun, X là phép giải xạ ảnh trên G.
(X) :→ Xn →Xn 1− →.... →X1 →Xo →G →0
Khi đó (X)→ Xn →Xn 1− →... → X1 →∂1 Xo →∂2 0 ...
được gọi là phép giải xạ ảnh thu gọn của G Với RAlà R môđun
Như vậy ta có
+ Hai dãy khớp dài đối với Tor.
Cho là dãy khớp ngắn các môđun, RAlà môđun trái bất kỳ.
Gọi X’, X’’, X là phép giải xạ ảnh trên G’, G’’,G
X ' , X '' , X là phép giải xạ ảnh thu gọn trên G’,G’’,G
Do đó, ta có dãy sau đây là dãy khớp các phức Ta có dãy khớp ngắn chẻ ra các phức :
28 Lấy dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn các phức trên.
Ta có dãy sau đây là khớp (theo định lý 1.1 chương II)
Mà
Suy ra dãy Là khớp
Từ đây, ta có định lý quan trọng sau : Định lý 1.2 :
Song song với sự hình thành định lý 1.2, ta xét dãy khớp ngắn các R
Môđun trái và GRlà môđun phải bất kỳ.
Giả sử (X) là phép giải xạ ảnh tùy ý trên G
(X) là phép giải xạ ảnh thu gọn trên G
Suy ra là khớp ( do X xạ ảnh ).
Lấy dãy khớp đồng điều của dãy khớp ngắn các phức trên.
Ta có dãy sau đây là khớp (định lý 1.1 chương II)
Cho là dãy khớp Ngắn các môđun, RA là môđun trái bất kỳ. Ta có dãy khớp sau :
29 Suy ra dãy sau đây là khớp :
Vì vậy, ta cũng có định lý quan trọng sau đây :
Định lý 1.3 :
Cho là dãy khớp các R môđun, GRlà môđun trái bất kỳ. Ta có dãy khớp sau :
30
§2. Các định nghĩa tương đương của các mô đun dẹt
I. CÁC ĐỊNH NGHĨA TƯƠNG ĐƯƠNG
Cho G là R môđun bất kỳ. Khi đó, ta có các khẳng định tương đương sau đây : 1/ Tor(G,A) = 0, ∀A là R môđun
2/ Torn(G,A) = 0, ∀A là R môđun, ∀n ∈ N, n ≥ 1
3/ ∀f : A →B là đơn là đơn cấu thì cũng là đơn cấu
4/ Với mọi dãy khớp ngắn thì dãy sau cũng khớp
5/ Nếu dãy Khớp thì dãy sau cũng khớp
6/ Cho là dãy khớp ngắn bất kỳ thì : O →G⊗A→
7∗
�⎯� G’’ ⊗ A 𝑔�⎯�∗ G ⊗ A → O cũng khớp với mọi A là R môđun.
Chứng minh :
1/ ⇒ 2/ có Tor(G,A) = 0 Chứng minh Torn(G,A) = 0, ∀A là R môđun, ∀n ∈ N, n ≥ 1
Ta có A F
≅ X, F tự do
Hay dãy sau đây là khớp : với F tự do Nên dãy sau đây cũng khớp
Ta chứng minh bằng qui nạp : Giả sử có Do đó dãy trên trở thành :
Mà F tự do nên Torn(G,F) = 0 Dãy trên thành :
khớp
31
⇒ Vậy
2/ ⇒ 3/ Có f : A → B là đơn cấu. Chứng minh f* : G ⊗ A → G ⊗ B cũng đơn.
Do f : A → B đơn cấu
Nên dãy khớp Suy ra dãy sau đây khớp :
⇒ 1G ⊗ f là đơn cấu
3/ ⇒ 4/ hiển nhiên do 3/ và hàn tử Tenxơ khớp phải 4/ ⇒ 5/ ta xét sơ đồ giao hoán sau đây
Do 4/ ta có dãy đây là khớp Kết hợp với sơ đồ giao hoán sau :
Suy ra
Vậy dòng dưới khớp
5/ ⇒ 6/ Có khớp. Cần chứng minh.
32
Ta đã có là R môđun
( do tính chất của hàm tử Tenxơ )
Do đó ta chỉ cần chứng minh khớp tại G’ ⊗ A ⇔ chứng minh f ⊗ 1Ađơn cấu Theo định lý 1.2 chương II
Từ dãy khớp. Ta suy ra dãy sau đây khớp
Thế nên để chứng minh f ⊗ 1A đơn cấu ta chứng minh Tor1(G,A) = 0
xMuốn vậy ta phải chứng minh 1)
Ta chứng minh 1) theo sơ đồ vòng như sau : 5/ ⇒ 3/ ⇒ 1/
5/ ⇒ 3/ hiển nhiên 3/ ⇒ 1/ Ta có A F
≅ X F tự do. Suy ra khớp
Áp dụng định lý 1.3 chương II đối với dãy khớp ngắn ở trên ta được :
Có 3/ nên là đơn cấu
6/ ⇒ 1/
Áp dụng định lý 1.2 chương II cho dãy khớp ngắn trên ta được dãy sau đây là khớp.
33 Định nghĩa 2.1 : Một R môđun thỏa mãn 1 trong 6 điều kiện trên của mệnh đề 2.1 được gọi là môđun dẹt.
+ Nhận xét : Để chứng minh G là R môđun dẹt đơn giản người ta thường đi chứng minh các khẳng định 1 hoặc 3.
Sau đây, chúng tôi sẽ nêu ra các định nghĩa tương dương khác của mô đun dẹt, chúng sẽ được sử dụng sau này. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không trình bày chứng minh của nó ở đây vì các chứng minh có thể tìm thấy trong [2] trang 41, 42.
Mênh đề 2.1 :
Cho N là R môđun khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương : 1/ N là môđun dẹt
2/ Nếu f : M’ → M đơn cấu thì f ⊗ 1N : M’ ⊗ N → M ⊗ N cũng là đơn cấu
3/ Nếu f : M’ → M là đơn cấu và M, M’ là các R môđun hữu hạn sinh f ⊗ 1N: M’
⊗ N → M ⊗ N cũng là đơn cấu