chuyên đề đại số giải tích(2012)

cương trong bất đẳng thức Toán học” của tác giả do NXB Tri thức phát hành tháng 3/2009.

y = m

( ) 0, 0, 2  ( ) 0, 2, 6  (2) 0 

sin cos 2 2 sin 2 cos 2 

2008 x - 2008 x = cos x- sin xÛ 2008 x+ sin x= 2008 x + cos  x (*) 

î  Giải.  cotg  x- cotg  y=x-yÛx- cotg  x=y- cotg  y . 

Xét hàm số đặc trưng f u( ) =u- cotg   ,u u Î( 0, p ) . Ta có ( ) 

Þ f(y) > f(x) nếu  y > x và f(y) < f(x) nếu  y < x Þ (đpcm) 

Bài 5. Chứng minh rằng:  a b < b a  "a > b ³ e 

Giải.  a  b  < b  a Û  lna  b  < lnb  a Û  blna < alnb Û lna ln  b 

a <  b

cương trong bất đẳng thức Toán học” của tác giả do NXB Tri thức phát hành tháng 3/2009

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất  của P(x, y) = x 2 + 11y 2 - 6xy + 8x - 28y + 21 

Giải.  Biến đổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x - 3y + 4) 2 + 2(y- 1) 2 + 3 ³ 3 

Với x = y > 0  thì  MinS = 2 

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  S= sin2x+ sin2 y+ sin (2  x +  y ) 

S = x+ y+ x+ y = 1 cos 2  1 cos 2  1 cos (2  ) 

Giải. Biến đổi S Û f(x) = 19x 2 - 2(8z -18y)x + 54y 2 +16z 2 - 24y 

Ta có D¢x  = g(y) = (8z -18y) 2 - (54y 2 +16z 2 - 24y) = -702y 2 +168zy - 240z 2

Þ D¢y  = (84z) 2 - 702.240z 2 = -161424z 2 £ 0 "zÎR Þ g(y) £ 0 "y, zÎR 

Suy ra D¢x £ 0 "y, zÎR Þ f(x) ³ 0. Với  x=y= = z 0 thì MinS =  0 

Bài 6. Cho x 2 + xy + y 2 = 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: 

Û  u(t 2 + t + 1) = t 2 - t + 1 Û (u - 1)t 2 + (u + 1)t + (u - 1) = 0   (*) 

+ Nếu u = 1, thì  t = 0 Þ x = 0, y = ± 3 Þ u = 1 là 1 giá trị của hàm số  + Nếu u ¹ 1, thì  u thuộc tập giá trị hàm số Û  phương trình (*) có nghiệm t

Do  uuru + uurv + uuurw ³ uuru + uur uuur v + w

Để (2) có nghiệm t Î - [ 1,1 ] 

thì

[ ] ( )

[ ] ( )  1,1  1,1 

Bài 3. Cho 3 £ n lẻ. Chứng minh rằng: "x ¹ 0 ta có:

sin x+ cos x+ a sin cos  x x

Bài 6.  Cho ab ¹ 0. Tìm Min của  y  a44 b44 a22 b2 2  a b 

Giải: f¢ ( ) x =x +2x+3 ;  a g¢ ( ) x =x -x+ a  Ta cần tìm a sao cho g¢(x) có 2 nghiệm phân biệt 

Với m ¹ 3 thì phương trình g x = ( )  0  có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số 

y = f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: g x( ) 1 =g x ( ) 2  = 0 nên suy ra

-Với m >  21 thì phương trình f¢ ( ) x = 0  có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số y = f (x) đạt cực  trị tại x1, x2. Ta có: f¢( ) x1 = f¢ ( ) x 2  = 0 suy ra

tại x1, x2.  Ta có: f¢( ) x1 = f¢ ( ) x 2  = 0 nên

Vậy D¢ > 0 "a Þ f ¢(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số có CĐ, CT. 

2. Theo Viet ta có: x1 +x2 =3 sina-cosa ; x x1 2 = -4 1( + cos 2  a ) 

Do phương trình f¢ ( ) x = 0  có 1 nghiệm đơn x = 2 và 1 nghiệm kép x = -1 

nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x = 2. Mặt khác f ¢¢ ( ) 2 =36> 0 suy ra fCT = f ( ) 2 = - 25 . Vậy hàm 

Þ fCT = f ( ) 0 = 1 , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

Bài 8 (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)