hsg de+dap an

Câu 8: 2 điểm Cho tam giác ABC, một điểm Q năm trong tam giác, từ Q kẻ các đờng song song với các cạnh của tam giác... Câu 4: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá

Đề Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9

Năm học: 2008-2009 Môn: toán

Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề

Câu 1: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A(x)=22 1

2

x x

+ +

Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phơng trình

3 3

5 5 2 2

1

x y







Câu 3: (2 điểm) Giải các phơng trình sau:

a x2−6x+ =9 x2+1

b x3+4x2−29x+24 0=

Câu 4: (2 điểm) Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của x:

4 4 3 3 2 1

x x x

+ + +

Câu 5: (2 điểm) Cho hai số xy sao cho x > y; xy = 1

Chứng minh rằng:

2 2 2 2

8

x y

x y

−

Câu 6: (2 điểm) GiảI các phơng trình sau:

a

3

   

b 2x2+2xy y+ 2−6x+ =9 0

Câu 7: (2 điểm) Chứng minh rằng diện tích của một hình chữ nhật bất kỳ nội tiếp trong một tam

giác không lớn hơn nửa diện tích của tam giác đó

Câu 8: (2 điểm) Cho tam giác ABC, một điểm Q năm trong tam giác, từ Q kẻ các đờng song

song với các cạnh của tam giác Các đờng này chia tam giác thành 6 phần trong đó có ba phần là

ba tam giác với diện tích: S1 ; S2 ; S3 hứng minh rằng:

SABC = 2

( S + S + S )

Câu 9: (2 điểm) Cho biểu thức

f(x,y) = x2 + 26y2 -10xy + 14x – 76y + 11

Tìm giá trị x; y để f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Câu 10: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho x < y và

x+ y = 1980

- Hết

-ĐỀ SỐ : 9

§¸p ¸n: M«n to¸n häc sinh giái m«n to¸n C©u 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ tri nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc:

A(x)=22 1

2

x x

+

Gi¶i:

(1)Ax2+2A=2x+ ⇔1 Ax2+2x+2A− =1 0

XÐt: A=0 th× x=1

2 XÐt: A≠ 0

2

4 4 (2A A 1) 4 8A 4A 0

1 1;

2

VËy Amax = 1 khi x = 1

A min = 1

2

− khi x = -2

C©u 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

3 3

5 5 2 2

1

x y





Gi¶i:

Ta cã:

3 3

5 5 2 2

1

x y







5 5 2 2 3 3 2 2

S¶y ra c¸c trêngg hîp:

Trêng hîp a:

1 0

x

x y

y xy

=

0 1

y x

=



 =



Trêng hîp b:

0

VËy nghiÖm cña hÖ lµ: 0; 1

C©u 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

Gi¶i:

C©u a: x2−6x+ =9 x2+ ⇔1 (x−3)2 =x2+ ⇔ − =1 x 3 x2+1

*XÐt x ≥ 3 2 3

4 0

x

x x

≥



 ta cã ∆ = − = − <1 16 15 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

*XÐt x < 3

2 0

x

x x

<



VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = -2

C©u b Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 4x2- 29x + 24 = 0 (1)

Gi¶i:

Ta cã: (1)⇔x3− +x2 5x2−5x−24x−24 0= ⇔ x x2( − +1) 5 (x x− −1) 24(x− =1) 0

2

2

1

1 0

5 24 0

8

x x

x

=



− =

Câu 4: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của x.

A= 4 4 3 3 2 1

x x x

+ + +

− + − + (1)

Giải:

Ta có: A 2 23( 1) ( 2 1) 2( 1)( 3 21) ( 2 1) (2 2 2 1) ( 2 1)2

Ta có (x+1)2 ≥0 với ∀ ∈x R

x2 + > ∀ ∈1 0; x R

Vậy A≥ 0 với ∀ ∈x R ( đpcm)

Câu 5: Cho hai số x > y ; xy=1 : Chứng minh rằng:

( 2 2 22) 8

x y

x y

− (1)

Giải:

Đặt x2 = a ; y2 = b ; ⇒ab=1;(a≥0;b≥0) theo bất đẳng thức côsi ta có:

a + b ≥2 ab⇒ + − ≥a b 2 0 vì x > y ⇒ + − >a b 2 0

Ta có: (1)

Vì (a b+ −4)2 ≥0; a b+ − >2 0

Vậy suy ra điều phải chứng minh (1) ( 2 2 22) 8

x y

x y

Câu 6: Giải các phơng trình sau:

a

3

    (1) b 2x

2 + 2xy + y2 – 6x + 9 = 0 (2)

Giải:

Câu a:

Ta có:

2 2

(x 1)(x 2)=t

+ + Ta có phơng trình : t2 + 2t – 3 = 0

Giải phơng trình ta đợc: t1 = 1 ; t2 = -3

Giải phơng trình: 1 3 5; 2 3 5

x =− + x = − −

Giải phơng trình: ∆ = − < 3 0 do đó phơng trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phơng trình là: 1 3 5; 2 3 5

x = − + x =− −

Câu b:

Ta có: 2x2 + 2xy + y2 -6x + 9 = 0

2 2 2 2 6 9 0 ( )2 ( 3)2 0

2

(x−3) ≥0 với ∀ ∈x R 0 3

Vây phơng trình có nghiệm: x=3 ; y=-3

H P Q

N M

C B

A

S3 S2 S1 Q

C 2

C 1 B2

B1

A 2

A 1

C B

A

Câu 7: Chứng minh rằng diện tích của một hình chữ nhật bất kỳ nội tiếp trong một tam giác

không lớn hơn nữa diện tích tam giác đó

Giải:

Gọi diện tích của tam giác ABC là S, diện tích của hình

Chữ nhật MNPQ là S1

M∈AB N∈AC P,Q∈BC Ta c/m: 1

1 2

S ≤ S

2

AH ⊥BC⇒ =S AH BC (1)

S1=NM MQ (2)

Ta có MQ//AH ; NM//BC (vì MNPQ là hình chữ nhật )

Do đó ta có: AM MQ

AB = AH (3) ;BM MQ

BA = AH (4)

AM BM

+

2

ABC MNPQ MNPQ ABC

S∆ ≥ S ⇒S ≤ S∆ Hay 1 1

2

S ≤ S (đpcm)

Câu 8: Cho tam giác ABC, một điểm Q nằm trong tam giác Từ Q kẻ các đờng song song với

các cạnh của tam giác các đờng này chia tam giác thành 6 phần trong đó có ba phần là ba tam giác với diện tích: S1 ; S2 ; S3 Chứng minh rằng: 2

ABC

S∆ = s + S + S

Giải:

Kẻ các đờng: A1A2//BC ; B1B2//AC ; C1C2//AB

Gọi: S∆QB C1 2 =S S1; ∆QC A1 2 =S S2; ∆QA B1 2 =S3

Ta có: QA1//BB1 ; QC2//BB2

Suy ra: QA1BC2 là hình bình hành

Do đó: QA1=BC2 ; QC2=BA1

2

A BQ C BQ BA QC

S∆ =S∆ = SW (*)

2

BC Q

BC Q

S

QA B Q BC

∆

∆

Mặt khác: QC2//BB2 do đó ta có: 1

1

BA Q

BA Q

S

QC B Q BA

∆

∆

+ (2)

Ta cộng các vế của các đẳng thức ta đợc:

BQC BQA

BQC BQA

+

2 1

1 3

BQC BQA BQA BQC BQc BQA

BQC BQA BQC BQA BQC BQA BQC BQA BQC BQA

BQC BQA

∆ ∆

Từ (*)

và (2*) ta có: 2 2

1 3

BQC

S ∆ =S S (3)

Mà: SWBA QC1 2 =2S∆BQC2 ⇔S2WBA QC1 2 =4S∆BQC2 (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra: 2 1 2 1 2

BA QC BA QC

S W = S S ⇒SW = S S (5) Tơng tự ta cũng chứng minh đợc: SWAB QC2 1 =2 S S2 3 (6)

SWCB QA =2 S S1 2 (7)

Từ (5), (6) và (7) Ta có:

ABC

ABC

∆

∆

Câu 9: cho biểu thức f(x,y) = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 11

Tìm giá trị x;y để f(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất hoặc nhỏ nhất

Giải:

Ta có: f(x,y) = x2 + y2 + 25y2 – 10xy – 6y – 70y + 9 +14x + 2

= (x2 – 10xy + 25y2) + (y2- 6y + 9) + (14x – 70y) + 2

= (x-5y)2 + (y-3)2 + 14(x – 5y) +2

Đặt: t = x – 5y

Ta có: f(x,y) = t2 + (y – 3)2 + 14t + 2

= (t + 7)2 + (y – 3)2 – 47 ≥ - 47

( vì (t + 7)2 ≥ 0 với ∀ ∈t R y;( −3)2≥0 với ∀ ∈y R )

Do dó: f(x,y) Min= - 47 khi t = -7 và y = 3

Với: t = - 7 Ta có: 5 7 8

Vậy: f(x,y)Min = - 47 khi x = 8 ; y = 3

Câu 10:

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho x < y và x+ y = 1980

Giải:

Ta có: 1980 = 35.55 6 55= ⇔ x+ y =6 55 do đó x; y phải là số vô tỉ dạng:

55; 55

Ta có: a 55+b 55 6 55= ;a,b∈N

Do đó: (1): a = 0 ; b = 6 (2): a = 1 ; b = 5 ; (3): a = 2 ; b = 4

(4): a = 3 ; b = 3; (5): a = 4 ; b = 2; (6): a = 5 ; b = 1 ; (7): a = 6 ; b = 0

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

x

=

  