ĐỀ THI ĐÁP ÁN CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB và M là một điểm trờn cạnh AD, mặt phẳng HKM cắt BC tại N.. Tớnh diện tớch hỡnh thang HKNM theo a và x.

TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC- ĐĂK LĂK ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH

TỔ TOÁN TIN GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 - 2009

Mụn thi: Toỏn, khối 11 ngày 18/04/2009

Thời gian: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1(4.0 điểm)

Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15

1) Tớnh a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15

2) Tỡm hệ số a10.

Bài 2(4.0 điểm)

Tìm m để phơng trình: 4(sin4x  cos ) 4(sin4x  6x  cos ) sin 46x  2 x m 

có nghiệm ( ; )

8 4

x   

Bài 3(4.0 điểm)

Cho dóy số (un) xỏc định bởi hệ thức:

8 tan

; 2 1 1

1 2 3

* 1 1





























N n

u u

u

u

n n

Bài 4(4.0 điểm)

Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, S là một điểm khụng thuộc mặt phẳng (ABCD) sao cho tam giỏc SAB đều, SC = SD = a 3 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB và M là một điểm trờn cạnh AD, mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N Chứng minh tứ giỏc HKNM là hỡnh thang cõn, đặt AM=x 0 x a   Tớnh diện tớch hỡnh thang HKNM theo a và x

Bài 5(4.0 điểm)

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 11 2 y4 x y 5

với x, y là các số thực thỏa mãn : x 2 + y 2– 2x – 6y + 6 = 0 2x – 2x – 6y + 6 = 0 6y + 6 = 0

-Hết -Họ và tên thí sinh SBD:

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2008-2009

GV: ĐINH VĂN QUYẾT

BÀI NỘI DUNG ĐIỂM 1

(4.0

điểm)

i i i

C x C x

Hệ số a10 = 0 5 2 4 4 3

(4.0

điểm)

+) Đa PT về dạng: 2cos 42 x  cos4 x  2 m  1 (1)

+) Đặt t = cos4x với ( ; )

8 4

x     t(-1; 0)

+) Xét f(t) = 2t2 + t trên (-1; 0) ta cú được Parabol (P)

Và PT (1) có nghiệm khi đờng thẳng y = 2m +1 cắt (P) trên (-1; 0)

+) ĐS: 1

( ;1) 2

m 

1.0 1.0

1.0

1.0

3

(4.0

điểm)

Ta cú:

2

2 tan 8

8







Từ giả thiết: 2

3 tan

1 3.tan

8

u









1.0

3

u

1.0

n

u    n 

Chứng minh cụng thức bằng quy nạp

u          

1.0

Ta cú HK // MN suy ra HKNM là hỡnh thang

GV: ĐINH VĂN QUYẾT

x

N

K H

C A

B

D S

(4.0

điểm)

Hai tam giỏc SAD và SBC bằng nhau

Nờn MH = KN suy ra HKNM là hỡnh thang cõn

Gọi S là diện tớch hỡnh thang KHNM

P là hỡnh chiếu của H lờn MN

Ta cú S = 1HK + MN HP

2

HK = a

2

MN = a

HP = HM - MP2 2

+ x + -

(gúc A bằng 1200)

3a 16x 8ax 16

1.0

HV 1.0

1.0 1.0

5

(4.0

điểm)

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 11 2 y4 x y  , với x, y là các số 5

thực thoả mãn x 2 + y 2– 2x – 6y + 6 = 0 2x – 2x – 6y + 6 = 0 6y + 6 = 0.

Giải: Ta thấy x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 2x – 2x – 6y + 6 = 0 6y + 6 = 0 là phơng trình của đờng tròn (C) tâm I(1;3),

bán kính R = 2

Vì x, y thoả mãn x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 2x – 2x – 6y + 6 = 0 6y + 6 = 0 nên ta có

A = 2 11 2 y4 x y  = 2(5 11 2 y + 4 x 4y20)

A=2( (x2y2 2x 6y6) (11 2 )  y + (x2y2 2x 6y6) (4 x 4y20) )

A= 2( (x1)2(y 4)2 + (x1)2(y 5)2 ) = 2(NM + PM),

trong đó N(1;4) nằm bên trong (C), P(-1;5) nằm bên ngoài (C),

M(x;y)  (C)

1.0

Gọi M là giao điểm của đoạn thẳng PN với (C)  o

( )

và cùng h ớng

o

NM o NP

M C









 toạ

độ của điểmM là nghiệm của hệ o

x + y - 2x - 6y + 6 = 0

0











1 5 23 5

x y

 











1 23

5 5

o

1.0

Với mọi M(x;y)  (C) ta thấy NM + PM ≥ PN = 5 ,

dấu “=” xảy ra khi M(x;y) ( 1 23; )

5 5

o

M

Vậy min (A) = 2(NMo+PMơ) = 2.PN = 2 5 , đạt đợc khi

1 5 23 5

x y

 









GV: ĐINH VĂN QUYẾT