Chứng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD đều Câu5: Cho hình chóp SABC có SA⊥SB; SA⊥SC; SB⊥SC.. Đặt SB=x a Tính Vhchóptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhất.
Trang 1đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
Năm học: 2006 – 2007
Thời gian : 150 phút Câu1: Cho hàm số: y = x2 − 2x+ 1+ x2 − 6x+ 9
a.Vẽ đồ thị hàm số
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị x tơng ứng
c.Với giá trị nào của x thì y ≥4
Câu2: Giải các phơng trình:
a 9 − 12x+ 4x2 = 4
b 3x2 − 18x+ 28+ 4x2 − 24x+ 45= -5 – x2 + 6x
c
3
3
2
2
+
−
+
x
x
x
+ x-1
Câu3: Rút gọn biểu thức:
a A = ( 3-1) 6 + 2 2 3 − 2 + 12 + 18 − 128
b B = 2 11+1 2 +3 21+2 3+ + 2006 2005+12005 2006+2007 20061+2006 2007
Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M ở bên trong hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=150
Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngoài hình vẽ
a Tính góc AMN Chứng minh MD=MN
b Chứng minh tam giác MCD đều
Câu5: Cho hình chóp SABC có SA⊥SB; SA⊥SC; SB⊥SC
Biết SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x
a Tính Vhchóptheo a, k, x
b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhất
đáp án chấm
Câu1: ( 4điểm)
Câu a : (2đ)
Trang 24 – 2x nếu x 〈 1
* Đa đợc về hàm số y= { 2 nếu 1≤x ≤3 ( 1đ )
2x – 4 nếu x〉3
* Vẽ đợc đồ thị hàm số nh hình vẽ : 1 điểm
Câu b: 1điểm
Dùng đồ thị tìm đợc
Min y = 2 ⇔1≤x ≤3
Câu c: 1 điểm
Dùng đồ thị biết y≥4 ⇔ x≤0; x≥4
Câu2: Mỗi pt giải đúng: 1,5 điểm
a/ 9 − 12x+ 4x2 = 4
⇔ ( 3 − 2x) 2 = 4
⇔ 3 − 2x = 4 ( 0,5đ)
⇔3 –2x = 4 hoặc 3 – 2x =-4
⇔x = -1/2 hoặc x= 7/2( 0,75đ)
Trả lời nghiệm của pt (0,25đ)
b/ 3x2 − 18 + 28+ 4x2 − 24x+ 45= -5 –x2+6x
Viết đợc: 3x2 − 18 + 28= 3 (x− 3 ) 2 + 1 ≥1
4x2 − 24x+ 45= 4 (x− 3 ) 2 + 9 ≥3 (0,75đ) -5 –x2+6x= -(x-3)2 + 4 ≤4
3 (x− 3 ) 2 + 1=1
Để pt có nghiệm thì { 4 (x− 3 ) 2 + 9=3 ⇔x=3(1đ)
-5 –x2+6x = 4
Nghiệm của pt là: x=3 (0,25đ)
c/
3
3 2
2
+
− +
x
x
x
= x-1 ⇔
3
) 3 )(
1
(
+
−
−
x
x x
=x-1 ⇔ x− 1= x-1 ( Vì x+ 3 ≠0 do x≥1
⇔ x− 1(1- x− 1) = 0
⇔x =1; x=2 ( Thoả mãn đk) ( 1đ)
Nghiệm của pt là x=1;x=2 (0,25đ)
Câu3: (4điểm)
a Biến đổi đợc A = ( 3-1)( 3+1)=2 (2đ)
b Đa ra đợc đẳng thức vận dụng và CM
(k+1) k1+k k+1= 1k - k1+1(0,75đ)
Trang 3áp dụng:
3 2 2 3
1 2
1
1
2
1
+ +
+ + + 2006 2005+12005 2006+2007 20061+2006 2007
= 11 - 12 + 12 - 13 + + 20061 - 20071
=
1
1
-2007
1
= 2007
1
2007 − (1,25đ)
C
Câu a:(2đ)
* CM đợc ∆AMN=∆BMN(c.c.c)
Để suy ra AMN = 1/2 AMB=1/2 (1800– 2MAB) N M Hay AMN = 1/2(1800-2.150) = 750 (1đ)
CM đợc ∆AMN=∆AMD(c.g.c) ( 1đ) A D Để suy ra MD =MN
Câub: (1,5đ)
∆BMN=∆BMC(c.g.c)
Suy ra : MC = MD
⇒∆MCD cân tại M
Tính đợc góc MCD = 600 để suy ra ∆MCD đều
Câu5: (4điểm)
Câu a: (2đ)
Vì SA ⊥ SB, SA ⊥ SC A
⇒ SA là đờng cao của hình chóp a x
⇒Ta có: V = 1/3SA 1/2SB.SC (1đ)
=1/6ax(k-x)
Ta thấy: x + ( k-x) = k không đổi
Nên x( k-x) lớn nhất khi và chỉ khi x= k-x
⇔x= k/2 ( 1đ)
MaxV = 1/6 a.k/2.k/2 = 1/24ak2
Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi SB = SC = k/2 ( 1đ)
Chú ý: Mọi cách giải thích khác đều đợc điểm tối đa