Hãy xác định giao điểm thứ hai của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b... Xác định vị trí cát tuyến CD để CD có độ dài lớn nhất.. Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.. Tính diện tích xung
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán Bài 1:
a Tính:
A = 4+ 5 3+5 48−10 7+4 3
b Cho Biểu thức:
B =
2
2
−
−
a a
Tìm các số nguyên a để B là số nguyên
Bài 2:
Cho 6a2 – 15ab + 5b2 = 0; b ≠ ±3a
Tính giá trị của biểu thức:
C =
b a
b a
−
− 3
2
+
b a
a b
+
− 3 5
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
a
1
1
−
x +
1
5 2
3
2
−
−
x
x =
1
4
2 +x+
x
b x2 − 2x+ 1 + x2 − 4x+ 4 = 4 + 2 3 - 4 − 2 3
Bài 4: Giải hệ phơng trình sau:
x2 + xy + y2 = 3
x - y - xy = 5
Bài 5: Gọi x1; x2 là nghiệm của phơng trình:
2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của M = [x1x2 − 2x1 − 2x2]
Bài 6:
Cho hàm số y = (2m + 1)x2
a Tìm m biết rằng đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x – 2 tại điểm A có hoành độ bằng 1
b Với giá trị vừa tìm đợc của m hãy vẽ đồ thị hàm số y = 4x – 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ
c Hãy xác định giao điểm thứ hai của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b
Trang 2Bài 7:
a Cho 0 < x < 3 Chứng minh rằng:
D =
x
− 3
3
+
x
1 ≥
3
3 2
4 +
b Cho a; b; c > 0 và:
a
+ 1
1
+
b
+ 1
1
+
c
+ 1
1
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của abc
Bài 8:
Cho tam giác cân ABC; A = 900 Trên AB lấy điểm M; kẻ BD ⊥CM; BD cắt
CA ở E Chứng minh rằng:
a EB.ED = EA.EC
b BD.BE + CA.CE = BC2
Bài 9:
Cho (O) và (O’) cắt nhau ở A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Qua B kẻ cát tuyến cắt (O) ở C; cắt O’ ở D
Xác định vị trí cát tuyến CD để CD có độ dài lớn nhất
Bài 10:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
a Chứng minh AC ⊥ mp(SBD)
b Chứng minh mp(SAC) ⊥ mp(ABCD) và mp(SAC) ⊥ mp(SBD)
c Biết AB = a; SA = a 3 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp S.ABCD
Trang 3
Đáp án Môn Toán
Bài 1: (2 điểm).
Câu a: ( 1 điểm).
+ Khai phơng đúng: 7 + 4 3 = 2 3 0,25 đ + Khai phơng đúng: 48−10 7+4 3 = 48 − 10(2 + 3) = 5 - 3 0,25 đ + Khai phơng đúng: 5 3+5 48−10 7+4 3 = 5 3 + 5 ( 5 − 3 ) = 5 0,25 đ + Khai phơng đúng: A = 4 + 5 = 3 0,25 đ
Câu b: (1 điểm)
Viết B về dạng:
B = 1 +
2
4
−
+ Lý luận để B là số nguyên thì
2
4
−
a phải là số nguyên khi a là số nguyên thì a không thể là số vô tỉ, do đó a là số nguyên Suy ra a− 2 là ớc
+ Xét trờng hợp tìm đợc a ∈{0 ; 1 ; 9 ; 16 ; 36} 0,5 đ
Bài 2: (2 điểm).
+ Nêu đợc vì b≠ ±3a nên 3a - b ≠0; 3a + b≠0, biểu thức C xác định 0,25 đ +Tính đợc:
a b b a b a b a
+
−
−
− +
−
3 3
5 3
3 2
= ( a b)( a b)
ab b
a
+
−
+
− 3 3
15 6
3 2 2
ab b
a b a
+
−
− +
−
−
3 3
15 5 6
= 22 22
9
9
b a
b a
−
Bài 3: (2 điểm).
Câu a: (1 điểm).
+ Quy đồng và khử mẫu đợc phơng trình: 3x2 - 3x = 0 0,25 đ + Giải phơng trình : 3x2 – 3x = 0 tìm đợc x = 0; x = 1 0,25 đ + Giải đúng phơng trình trong 3 khoảng x < 1; 1≤ x ≤2; x > 2 0,5 đ
Trang 4Bài 4: (2 điểm)
+ Biến đổi tơng đơng về hệ phơng trình đã cho về hệ phơng trình:
(x – y)2 + 3xy = 3 (1)
+ áp dụng định lý Viét đảo giải hai hệ phơng trình tìm đợc các nghiệm:
Bài 5: (2 điểm).
Tìm đợc điều kiện để phơng trình có nghiệm:
∆ = (m + 1)2 - 2(m2 – 4m + 3) ≥ 0 ⇔ -5 ≤ m ≤ -1 0,25 đ
+ Thiết lập đợc hệ thức Viét của phơng trình:
x1 + x2 = - m – 1
x1x2 =
2
3 4
2 + m+
+ Tính đợc M = ( )( )
2
7
1 + + m m
và lý luận với -5 ≤ m ≤ -1 thì:
(m + 1)(m + 7) ≤ suy ra đợc M =
2
7 8
+ Viết đợc: M = ( )
2
4
9 − m+ 2 ≤
4
+ Kêt luận maxM =
4
9
khi m= - 4 thoả mản -5 ≤ m ≤ -1 0,5 đ
Bài 7:(2 điểm).
a (1 điểm)
+ Chỉ ra đợc vì 0 <x <3 nên D xác định và tồn tại các căn thức:
x
−
3
3 ;
x
+ áp dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski tính đợc:
x
x − +
1 3
3
+
−
2 2
2
3
1 3
3
x x
2
.
1 3
3
3
+
−
1
3 + ⇔ 3D ≥ 4 + 2 3
Trang 5⇔ D ≥
3
3 2
+ Chỉ xảy ra khi:
x
x
−
−
3
3
3
=
x x
1
⇔ x =
2
3 3
3 +
Câu b: (1 điểm).
+ Tính đợc:
a
+ 1
1
=
b
b
+
1 +
c
c
+
1 ≥ 2 ( b)( c)
bc
+ + 1
+ Tờn tự ta có:
b
+ 1
1
≥ 2 ( a)( c)
ac
+ + 1
c
+ 1
1
≥ ( a)( b)
ab
+ + 1
+ Chỉ ra đợc các vế của các BĐT (1); (2); (3) đều dơng nên nhân từng vế các bất đẳg thức (1); (2); (3) suy ra đợc:
abc ≤
8
1
0,5 đ
+ Kết luận max abc =
8
1
khi a = b = c =
2
1
0,25 đ
Bài 8: (2 điểm).
a (0,75 điểm)
+ Chứng minh đợc ∆ABE ~ ∆DCE (g.g) 0,5 đ Suy ra:
CE
BE
=
ED
b (1,25 điểm)
+ Chỉ ra đợc M là trực tâm ∆BCE nên EM ⊥ BC ở H 0,25 đ + Chỉ ra đợc: ∆EBH ~ ∆CBD (g.g) nên suy ra: BE.BD = BH.BC (1) 0,25 đ + Chỉ ra đợc: ∆EHC ~ ∆BAC (g.g) nên suy ra: CE.CA = HC.BC (2) 0,25 đ + Cộng từng vế của (1) và (2) đợc:
BE.BD + CE.CA = BC(BH+HC)=BC2 0,5 đ
Trang 6Bài 9: (2 điểm).
+ Chỉ ra đợc: ACB =
2
1
+ Chỉ ra đợc: OO’ ⊥ AB tại trung điểm I của AB Suy ra ∆ABC cân tại O, có
OI là đờng cao nên đồng thời là phân giác suy ra:
AOO’ =
2
1
AOB
+ Tơng tự có ADC = AOO’ suy ra ∆ACD ~ ∆AOO’(g.g) 0,5 đ + CHứng minh đợc: '
OO
CD
=
OA
AC ≤
OA
OA
2
= 2
+ Kết luận CD lớn nhất ⇔ CD = 2OO’⇔ AC = 2AO
⇔ A; O; C thẳng hàng, khi đó ABC = 900 nên:
Bài 10:
b Chứng minh đợc (SAC) ⊥ (ABCD) 0,25 đ
S
B
O
Trang 7c Tính đợc SO =
2
1
+ Tính đợc trung đoạn d =
2
a
+ Tính đợc V =
6
10
3