Giới hạn hàm số, dãy số lớp 11

Tìm giới hạn của tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành4. Tìm các giới hạn sau:..[r]

Trang 1

§1 Dãy số có giới hạn 0:

 Định nghĩa: lim u n → ∞ n= 0 ⇔ ∀ ε> 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 thì un < 

 Một số dãy có giới hạn 0:

* lim 1

√n= 0; lim

1

3

√n ; lim

1

n k= 0

* Định lý 1: Hai dãy số (un) và (vn)

Nếu un  vn n và limvn = 0 thì limun = 0.

* Định lý 2: Nếu q < 1 thì limqn = 0.

§2 Dãy số có giới hạn hữu hạn:

 Định nghĩa: limun = L  lim(un – L) = 0.

 Định lý 1: Giả sử limun = L Khi đó:

a) limun = L và lim√3u n=√3 L;

b) Nếu un  0 n thì L  0 và lim√u n=√L.

 Định lý 2: Nếu limun = L, limvn = M và c là một hằng số Khi đó:

lim(un + vn) = L + M; lim(un - vn) = L - M; lim(un.vn) = L.M;

v n

= L

M (nếu M ≠ 0).

S = u1+ u1q + u1q2+ = limu1(1 - qn)

u1

1 - q.

Bài tập áp dụng:

1 Dùng định nghĩa, chứng minh các dãy sau có giới hạn 0:

a¿ un=a

n k với a là số thực hữu hạn, k là số tự nhiên hữu hạn

b¿ un= 3

n - 2; c¿ un= 2

3n + 7 ; d¿ un=2n

n2+ 2n + 5 .

2 Cho a > 1 Chứng minh rằng: lim n

a n= 0

3 Chứng minh rằng a¿ lim( √n + 1 - √n)= 0; b¿ lim2n sinn

4 Ba dãy vn, un, wn thỏa vn  un  wn n, limvn = L, limwn = L CMR: limun = L

5 Biết rằng limun = limun-1 = limun-2 = limun-k với k là số hữu hạn CMR: Dãy un

tăng (giảm) và bị chặn trên (và bị chặn dưới) thì có giới hạn.

6 Chứng minh các dãy sau đây có giới hạn 0:

- 1¿nsinn2+ cosn

- 1¿n

¿

(¿ ¿2√3n+ 1 ;c) u n=¿

a¿ un= √5n

3n

+ 1;b¿ un=¿

Trang 2

d¿ un=

n + cosnπ

5

n√n+√n ;e¿ un=√n2

+ 5 - √n2+ 1 ; f¿ un=n!

n n.

7 Tìm các giới hạn limun với:

a¿ un=2n5+ 3n2 - 7

n - 6n5 ; b¿ un= n2− 3n + 5

√3n4 - n3+ 1; c¿ un=

n2

+ 3cos3n - 1 2n3 - 6n2

+ 1 ;

d¿ un= n2+ 2n

n2+ 2n + 4 ;

e¿ un=2n

+ 3 4n

2 3n+ 4n ; f¿ un=3 2n − 3 n

2n+ 1+3n+1 ; g¿ un=√ n7

+ 3n2 -2 4n7 - n5

+ 1;

- 2¿n+ 3n

¿

-2¿n +1+ 3n+1

¿

h¿ un=¿

8 Chứng minh rằng a¿ lim2( √n2+ 1 - n)= 0; b¿ limn

2

+ 2n +1

n2

√n+ 3 = 0

9 Cho dãy xác định bởi:

¿

u1=1 4

u n+ 1= un2+u n

2

¿{

¿

a) CMR: với mọi n thì

0 < un<1

4 và

u n+1

u n ≤

3

4;

b) Từ đó suy ra limun = 0.

¿

u1=1 2

u n+ 1= u n

n + 1

¿{

¿

0 < un và u n +1

u n ≤

1

2;

b) Từ đó suy ra limun = 0.

11 Tìm giới hạn của các dãy sau:

a¿ un=(1 21 +

1

2 3+ .+

1

n(n + 1)); b¿ un= 1

√n3

+1+

1

√n3

+2+ +

1

√n3

+n ;

c¿ un=(1 2 31 +

1

2 3 4+ +

1

n (n + 1)(n + 2)); d¿ un=2 12+ 3 22+ +(n + 1).n2

e¿ un= 1

√n2

+1+

1

√n2

+2+ +

1

√n2

+n; f¿

1

2+

3

22+ 5

23+ +2n - 1

2n

Trang 3

¿

u1= 10

u n+ 1=√u n

¿{

¿

un> 1 và u n - 1

2 > un+1 - 1; b) Tìm limun.

13 Dãy xác dịnh bởi:

¿

u1= - 5

u n+ 1=2

3u n - 6

¿{

¿

Gọi (vn) là dãy xác định bởi vn = un + 18.

a) CMR: vn là một cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Tính tổng của cấp số nhân (vn) và tìm limun.

14 CMR: dãy u n=(1 +1

n)n có giới hạn hữu hạn.

15 Đặt lim (1 +1

n)n= e Tính các giới hạn sau: lim (n + 1n - 1 )n + 2; lim (n − 2n + 3 )n + 1

§3 Dãy số có giới hạn vô cực:

n → ∞ n=+∞ ⇔ ∀ M > 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 thì un > M.

n → ∞ n=− ∞ ⇔∀ M < 0, ∃ n0∈ N∨∀ n ∈ N, n> n0 thì un < M.

 limun= +  thì lim 1

u n=0.

limun limvn lim(unvn) limun Dấu L lim(unvn) Dấu L Dấu vn limu n

v n

1 CMR: a) Nếu q > 1 thì limqn = + ; b) Nếu n

√u n= L > 1 thì lim un = + 

2 Tìm các giới hạn: a¿ lim √3n2+ 1 - √n2 - 1

n ; b¿ lim( √3n3 - 2n2 - n)

c¿ lim 1

√n2+ 2 - √n2+ 4; d¿ lim n( √3n3+ n2 - n); e¿ lim2n

3

- 11n + 1

Trang 4

3 Cho một hình vuông cạnh a Nối trung điểm của bốn cạnh ta được một hình

vuông mới nhỏ hơn Lại làm như vậy đối với hình vuông mới Cứ tiếp tục như thế

mãi Tìm giới hạn của tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành.

4 Tìm giới hạn sau: lim1 + a + a

2

+ + an

1 + b + b2+ + bn với a < 1 và b < 1.

5 Tìm các giới hạn:

- 2¿n+ 3n

¿

- 2¿n+1+ 3n +1

(¿; c) lim√n + 1 ( √n + 2 - √n);

¿

a¿ lim n√n3 - 3

5n2

+ 1 ; b¿ lim¿

d¿ lim n√1 + 2 + 3 + .+ 2n

3n2+ n - 2 ; e¿ lim

1 - 2 + 3 - 4 + +(2n - 1) - 2n

6 Tìm các giới hạn sau:

a¿ lim ( √3n2 - n3+ n); b¿ lim √n2+1+√n

√n2

+n - √n; c¿ lim

12

+ 22+ 32

+ + n2

5n3

7 CMR: mỗi dãy số sau đây đều có giới hạn và tìm giới hạn đó:

¿

1

k2; d

a¿u1= 1¿u n+ 1= u n

2 + un ¿ ; b¿ ¿ ¿u1=√2¿u n +1=√2 + un¿; c¿ un= ∑

k=1

n

¿ √2 +√2 +√2 + +√2 +√2¿ ¿ ¿{¿

§4 Giới hạn của hàm số:

 Định nghĩa 1: limf (x ) x→ x

0

= L   dãy (xn), limxn = x0 ta đều có limf(xn)

= L Trong đó x0  (a, b), f(x) xác định trên (a, b) \ {x0}, xn  (a, b) và xn

≠ x0.

 Định nghĩa 2: limf (x ) x→+ ∞ = L   dãy (xn), limxn = + đều có limf(xn)

= L Trong đó f(x) xác định trên (a, +), xn  (a, +) n.

 Định lý 1: Nếu lim f (x)

x→ x0

= L và lim g (x)

x → x0

= M (L, M  R) thì:

lim [f (x )± g(x )]

x → x0

= L ± M; lim [f (x) g (x)]

x → x0

= L M; lim [c g(x)]

x → x0

= cL; lim

x → x0

f (x )

g (x)

L

M (M ≠ 0).

 Định lý 2: Giả sử limf (x) x→ x

0

= L Khi đó:

lim |f (x )|

x → x0

=|L|; lim3

x→ x0

3

x → x0

=√L.

Trang 5

x + h¿3 - 2x3

2(¿¿h ; c) lim

x → 0

√x + 1 - √x2+ x + 1

a¿ lim

x →1

x3 - x2

+ x - 1

x - 1 ; b¿limh→ 0¿

d¿ lim

x → 2

x - √x + 2

√x + 1 - 3 ; e¿ limx→ 0

1 - √31 - x 3x ; f¿ limx→ - 1

3

√x + 1

√x2+ 3 - 2 ;

x - 2¿2

(¿; b) lim

x → 1

2x2 - 3x + 1

x3 - x2 - x + 1; c

a¿ lim

x →2

x2 - 3x + 2

x→+ ∞

3x2 - 5x + 1

x2 - 2 ; 7x + 2¿2

¿

2x + 1¿4

(¿; e) lim

x →+∞

(3x2+ 1)(5x + 3) (2 x3 - 1)(x + 1) ; f

x - 1¿2¿

¿

d¿ lim

x → - ∞¿

3 Tính A = lim

x →+∞

a0x m+ a1xm-1+ + am

b0x p+ b1xp-1+ + bp

a¿ lim

x→ 1

x3 - 1

x2 - 2x + 1; b¿ limx → - 2

x3 - 2x + 3

x2+ 2x ; c¿ limx → 2

x - √x + 2

√4x + 1 - 3;

5 Chứng minh rằng: lim

x → 0

sinx

x = 1

a¿ lim

x→ 0

sin5x

x ; b¿ limx→ 0

1 - cos7x

x2 ; c¿ lim

x → 0

cosx - cos3x sin2x ; d¿ limx → π

2

(cos x1 - tanx)

§5 Giới hạn một bên:

 Định nghĩa 1: x → x limf (x)= L 0+¿

¿

  dãy (xn), xn  (x0, b), limxn = x0 thì limf(xn) = L.

 Định nghĩa 3: limf (x)= L x → x

0−   dãy (xn), xn  (a, x0,), limxn = x0 thì limf(xn) = L.

Trang 6

* Nhận xét:

limf (x)= L

x → x0 ⇔

x → x0+ ¿

limf (x)

x → x0−

x → x0+ ¿ =limf(x )= L

x → x0−

∃ limf (x),

¿ limf(x )

¿

{

 Giới hạn vô cực:

* Các định nghĩa limf (x)=± ∞, x → x

0± limf(x )= ∓∞

x → x0∓ được nêu tương tự.

* Nhận xét trên vẫn đúng cho giới hạn vô cực.

-1¿−

x → 2+ ¿|2x + 1|

x − 2 ; d

x →(¿x2+ 2

x + 1 ; c) lim ¿

lim

x → 2 −

|2x + 1|

x − 2 .

x →(-1¿+¿x2

+ 2

x + 1 ; b) lim ¿

a¿ lim

¿

x →(-1¿+¿x2+ 3x + 2

√x + 1 ; b) lim x → 0 −

5√x - x

√2x+ x c

x → 1+ ¿ x3 - 1

x2− 1; d

a¿ lim

¿ lim

x → 1 −

1 - x3

x − 1.

3 Cho hàm số

¿

√4 - x2 khi x < 2

1 khi x = 2

√x2 - 4 khi x > 2

¿f (x )={ {

¿

Tìm các giới hạn sau (nếu có)

x → 2 + ¿ ; limf (x)

x → 2 −

; limf (x)

x → 2

limf (x)

¿

4 Cho thấu kính hội tụ có các tiêu điểm F, F’ với FF’ = 2f Gọi d, d’ lần lượt là khoảng cách từ vật, từ ảnh tới thấu kính.

a) Thiết lập hàm số (d).

Trang 7

b) Tìm d → f

+ ¿ ; lim ϕ (d )

d → f −

; lim ϕ (d)

d →+∞

lim ϕ(d)

¿

và giải thích ý nghĩa.

x → 1 + ¿ x3 - 1

√x2 - 1; c

x →(-1¿+¿2x2+ 5x + 3

|x + 1| ; b) lim

¿

lim

x → 1 −

x3 - 1

√x2 - 1.

a¿lim

¿

6 Ta gọi phần nguyên của số thực x là một số nguyên không vượt quá x và ký hiệu

là [x] Hãy vẽ đồ thị hàm số y = [x] và tìm các giới hạn sau đây (nếu có).

x → 5 + ¿

; limf (x)

x → 5 −

; limf (x)

x → 5

limf (x)

¿

§6 Vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:

 Định lý: lim

x → x0|f (x )| =+∞ thì lim

x → x0

1

f (x ) 0.

limf ( x)

x → x0 Dấu của L limf ( x) x → x

0 Dấu của L Dấu của g(x) lim

x → x0

f (x)

g (x)

x + 2¿2

-1¿−

x →(¿x2+ 2

x + 1 ; c) lim x → 0

2 - x2

x2− 2x; d

(¿; b) lim

¿ lim

x → - ∞

3

√2000 x - x3

a¿ lim

x → -2

x2+ 2

¿

x + 2¿2

(¿; b) lim

x → 1

x2 - 1

x2

+ 4x - 3; c

a¿ lim

x → -2

4 - x2

¿ lim

x → 0

9 - x2

x2+ 3x; d¿ lim x → - ∞

x2+ 3x - 7

Trang 8

a¿ lim x → -2 (1x −

1

2)( x −2)1 2; b¿ lim

x → 0

x2+ 3

x2+ 4x; c¿ lim x → 0

7

x2− 3x; d¿ lim x →+∞

x2− 3x

4x - 3 .

4 Tìm giới hạn:

a¿ lim

x → 1

x + x2

+ + xn - n

5 Biết rằng lim

x → 0 (1+ x)❑

1

= e Tìm các giới hạn:

a¿ lim

x →+∞ (1+1

x)x ; b¿ lim

x →+∞ (1−1

x)x ; c¿ lim

x →+ ∞(1−1

x)-x; d¿ lim

x →+∞ (x + 3x - 1 )x + 2

6 Tìm giới hạn a¿ lim

x →+∞xsin 1

2x .

a¿ lim

x → 0

cos3x - cos5x

x2 ; b¿ lim x → 0

cos3x - cos5x

x (sin5x - sin7x) ; lim x → 0

cos3x - cos10x cosx - cos8x .

a¿ lim

x → π

4

sinx - cosx

1 - tanx ; b¿ lim x →+ ∞(sin√x + 1 - sin √x); c¿ lim

x → 0

4 sin(π6+ x)sin(π6+ 2x) - 1

§7 Các dạng vô định:

Trong chương trình, ta chỉ xét 4 dạng vô định là 00, ∞

∞ , 0 ∞ , ∞ - ∞ Nguyên tắc chung để tìm giới hạn của 4 dạng này là phải khử dạng vô định.

a¿ lim

x → 2

√x + 7 - 3

x - 2 ; b¿ lim x → 2

√x + 2 - 2

√x + 7 - 3; c¿ lim x → 0

√2x + 1 - √3 x2+ 2

a¿ lim

x → π

3

sin3x

1 - 2cosx ; b¿ lim x →+∞

√x2+ 2x + 3+ 2x

√4x2

+ 2 - x + 1 ; c¿ lim x → 1

3

√x + 7 - √5 - x2

a¿ lim

x → 0

tanx - sinx xsin2x ; b¿ lim x → 0

2sinx - sin2x

x3 ; c¿ lim

x →0

1 - 3

√cosx sin2x .

a¿ lim

x → 2

3x3 - 5x2 - 3x + 2

- x3+ 3x2 - x - 2 ; b¿ lim x →1

3

√x + 7 - √5 - x2

x4 - 1 ;

c¿ lim

x → -3

x3+ 3x2+ x + 3

3x4+ 9x3+ 2x2+ 6x ; d¿ lim x → 0

√2x + 4 +√35x + 8 - √3x + 1 - 3

Trang 9

e¿ lim

x → - 1

- 2x3+ 5x2+ 6x + 3 4x3

+ 14x2+ 14x + 4 ; f¿ lim x →2

√10x + 5 - 3

√x + 6 - 3

√15x - 3

g¿ lim

x → 0

1 - √2x + 1

√3x + 4 - 2 - 4; h¿ lim x → 0

4

√x + 1 - √3 2x + 1

i¿ lim

x → 0

3

√x2+ x + 1 - √3 x3+ 1

x + x2+ .+ xn - n

6x + 6¿7

¿

7 - 2x¿3

6 − 3x¿9(¿; m) lim

x →+∞( √3 x3+ 1 - x);

3 - 2x¿5¿

¿

5x + 3¿6¿

2x - 3¿4¿

¿

l¿ lim

x →+∞

¿

n¿ lim

x →+∞( √x2+ 2x + 3 - x); p¿ lim x

x → - ∞ ( √38x3 - 1 - √4x2+ 1)

q¿ lim

x →+ ∞ x( √x2

+ 3 - x); r¿ lim x

x → - ∞ ( √4x2+ 1+ 2x)

x2 - x - 2¿20

¿

x3 - 12x + 16¿10

(¿; b) lim

x →1

x100 - 2x + 1

x50 - 2x + 1 ; c

¿

a¿ lim

x → 2 ¿

§8 Hàm số liên tục:

1 Hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số f(x) xác định trên (a; b) và x0  (a; b).

 f(x) liên tục tại điểm x0  limf (x) x → x

0

= f(x0)

 Hàm số không liên tục tại x0 được gọi lại gián đoạn tại điểm x0.

2 Hàm số liên tục trên một khoảng:

 Hàm số f(x) có xác định J f(x) liên tục trên J  f(x) liên tục tại x0  J.

 Hàm số f(x) xác định trên [a; b], f(x) liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trên (a; b) và x → a

+ ¿

= f(a), limf (x )

x → b −

f (b).

limf (x)

¿

 Định lý 1: Các hàm số đa thức, phân thức, căn rhức và các hàm số lượng

giác liên tục trên tập xác định của chúng.

3 Tính chất của hàm số liên tục:

Trang 10

Định lý 2: f(x) xác định trên [a; b] Nếu f(a) ≠ f(b) thì M nằm giữa f(a) và

f(b), c  (a; b) f(c) = M.

Hệ quả: f(x) liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì c  (a; b) f(c) = 0.

Ý nghĩa hình học của hệ quả: f(x) liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì đồ

thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất một điểm có hoành độ c  (a; b).

1 Xét sự liên tục của hàm số f(x) tại x = x0 đã cho và trên tập R.

¿

x3 - 1

x - 1 khi x ≠ 1

3 khi x = 1

1 - √3cosx

x - 1 khi x ≠ 0

1 khi x = 0

, x0= 0;

¿, x0= 1; b

(x)={¿a¿ f( x)={¿ ¿

¿

3x2 |x|

x khi x ≠ 0

1 khi x = 1

sinx +|x|

x khi x ≠ 0

2 khi x = 0

, x0= 0;

¿, x0= 0; b

(x)={¿a¿ f(x)={¿¿

2

¿

x2 - 1

a khi x ≥ 2

3x + a khi x < 2

, x0= 0

¿a

(x)={¿ ¿ Tìm a để f(x) liên tục tại x = 2 Vẽ đồ thị f(x)

¿

2sinx + cosx khi x < 0

Asin(x +π

6) khi 0 ≤ x < π

2

6) khi x ≥ π

2

¿b

3 Chứng minh rằng phương trình:

a) x4 – 5x + 2 = 0 có nghiệm x0  (0; 1).

b) x3 + 3x2 – 1 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

c) x3 + ax2 + bx + c = 0 với 4a + 8b + 21c + 2 = 0 luôn có N0 x0  [-1; 0,5].

Bài tập ôn tập chương IV:

Trang 11

a¿ un=√n2

+ 2n + 3 - n b¿ un= n

2

- 4n + 1

n3+ 3n + 3;

c¿ un=√327n3+ 8n2+ 6 - 3n d¿ un= 2n

2

- 3n + 4

e¿ un=√4n2+ 4n + 2 - √4n2+ 1; f¿ un= √n2+ 2n + 3

2n - √4n2+ 1;

− 4¿n + 2+ 5n + 2

¿

− 4¿n + 5+ 5n + 5

¿

g¿ un=√38n3+ 7n + 2 - √4n2

+ 1; h¿ un= ¿

i¿ un=√9n2+ 3n + 1+√38n3+ 6n + 2 - 5n; k¿ un= 1

1 4+

1

2 5+ +

1

n (n + 3) ;

l¿ un= cos√n + 2 - cos√n + 1 ; m¿ un= 2007n

2

sin2n + 2008n3cos2n

a¿ lim

x → 0

sinx

√x + 9 - 3; b¿ lim x → 0

sinax sinbx (ab ≠ 0);

c¿ lim

x → 0

√1 + x2 - cosx

x2 ; d¿ lim x →0

1 - cos2009x

x sinx ;

e¿ lim

x → π

2

π

2 - x

1 - cotx ; f¿ lim x → 0

√1 + sin2x - √1 - sin2x

3 Giải phương trình:

- 1¿n x n+ = 16

3 (|x| < 1).

2x + 1 + x2 - x3+ x4 - x5+ +¿

4 Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a¿ f(x )=2x5 - 8x2+ 11

x4+ 4x3+ 8x2+ 8x + 4; b¿ f(x)=

3sin3x + cos2x + 1

5 Chứng minh rằng phương trình:

a) sinx – x + 1 = 0;

b) m(x – 1)(x – 2) + (2x – 3)x3 = 0 luôn có nghiệm m;

c) atan2x + btanx + c = 0 có nghiệm trên khoảng (kπ ; π

4+ k π), k ∈ Z

d) ax3 + bx2 + cx + c = 0 với 12a + b

9+

c

2= 0 luôn có nghiệm x0  (0; 1);

6 Chứng minh rằng phương trình x4 – x – 2 = 0 luôn có N0 x0  (1; 2) và

x0>√78

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	36,48 KB