Vành Các Chuỗi Lũy Thừa Hình Thức Và Ứng Dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đào Thị Thu Hường VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019... TRƯỜNG ĐẠI HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Đào Thị Thu Hường

VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Đào Thị Thu Hường

VÀNH CÁC CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và ứng dụng là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các nội dung và kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả

Đào Thị Thu Hường

Lời nói đầu tiên, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất đến

với thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang, người đã nhận hướng dẫn tôi, người đã

giúp đỡ tôi rất rất nhiều trong việc làm quen với công việc nghiên cứu và tận

tình chỉ dạy, động viên tôi hoàn thành luận văn này

Bên cạnh đó, tôi xin trân trọng cảm ơn đến thầy TS Trần Huyên – Người

cho tôi con đường yêu môn Đại số và quyết tâm theo đuổi ngành Đại số và lý

thuyết số Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu và các thầy cô trong

tổ Toán của Trường TH, THCS, THPT Ngô Thời Nhiệm Quận 9 TP.HCM nơi

tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học của

mình Xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại

học, Ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - Tin của Trường Đại học Sư

phạm Tp Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong cả khóa học

Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng Khóa 27 đã cùng tôi

chia sẻ những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập, đặc biệt

là bạn Nguyễn Thanh Ngọc lớp LL&PPDHBM Toán đã đồng hành, động viên

tôi cùng học tập Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đến

bố mẹ ruột, ba mẹ chồng, chồng và anh em tôi đã luôn động viên, giúp đỡ tôi

trong suốt thời gian qua Đặc biệt là cảm ơn con gái đã thức cùng mẹ trong

những ngày mẹ ôn bài thi

Tôi xin chân thành cảm ơn

Đào Thị Thu Hường

Trang phụ bìa

Lời cam đoan 

Lời cảm ơn  

MỞ ĐẦU 1 

Chương 1 VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC 3 

1.1 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 

1.2 Căn và lũy thừa hữu tỷ 5 

1.3 Đạo hàm hình thức 7 

1.4 Một số công thức 8 

1.5 Hàm sinh của dãy số 9 

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC – HÀM SINH 10 

2.1 Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để nghiên cứu dãy số 10 

2.2 Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giải các bài toán đếm 17 

2.3 Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức trong việc chứng minh các công thức tổ hợp 24 

2.4 Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giải một số bài toán bậc phổ thông 27 

KẾT LUẬN 32 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 

MỞ ĐẦU

Trong toán học, việc sử dụng các kiến thức toán cao cấp để giải quyết các bài toán ở phổ thông là điều rất quan trọng Nó không chỉ giúp người làm toán có nhiều phương pháp lựa chọn lời giải, mở rộng tầm hiểu biết toán học

mà còn phát huy được sự thông minh và sự sáng tạo, tầm bao quát toán, mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau

Như chúng ta đã biết các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và toán giải tích Khi tiếp cận vấn đề này các em học sinh giỏi, sinh viên và khá nhiều thầy cô giáo phổ thông thường phải đối mặt với rất nhiều bài toán khó và lúng túng khi tìm cách giải

Trong các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic toán sinh viên giữa các trường Đại học, cao đẳng, các bài toán liên quan đến dãy số cũng hay được đề cập và thường rất khó, đòi hỏi người học, người làm toán phải có tầm hiểu biết rộng và rất sâu sắc các kiến thức về dãy

số và chuỗi mới đưa ra các phương pháp giải toán hay và hoàn thiện được bài toán

Để phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi và học tập, nghiên cứu các bài toán về dãy số, các bài toán tổ hợp, các bài toán trong lý thuyết số…Vành

các chuỗi lũy thừa hình thức

0

n n n

a x





 đã tỏ ra rất có ích và nó là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các vấn đề trên

Dưới sự hướng dẫn của PGS TS Mỵ Vinh Quang, tác giả đã quyết định

chọn đề tài luận văn :” Vành các chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng ”

Nội dung luận văn gồm có 2 chương:

Chương 1 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và hàm sinh

Chương 2 Một số ứng dụng của vành các chuỗi lũy thừa hình thức và hàm

sinh

Trình bày cách ứng dụng của vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giảiquyết các bài toán về dãy số, các bài toán tổ hợp, các bài toán trong lý thuyết số, các bài toán sơ cấp…

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp từ quý thầy cô và đọc giả

Chương 1 VÀNH CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

1.1 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Ký hiệu vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến trên trường là:

Để thuận tiện, ta kí hiệu 0 cho chuỗi luỹ thừa với tất cả các hệ số bằng 0

và 1 cho chuỗi luỹ thừa 1 0. x0.x2  và gọi chúng tương ứng là (chuỗi luỹ thừa) “không” và “đơn vị” Một cách tổng quát hơn, với hằng số , ta vẫn giữ kí hiệu cho chuỗi luỹ thừa hình thức 0.x0.x2  Cuối cùng, ta kí

hiệu A  cho chuỗi luỹ thừa nhận được từ A bằng cách đổi dấu hệ số của nó

Nói rằng  x là một vành giao hoán có đơn vị, có nghĩa là các phép toán ” + “ và ” . “ trên x  có các tính chất sau đây và việc kiểm tra là rất đơn giản: với mọi A A x , B  B x , C C x    x ,

Tất cả các tính chất mà chúng ta nêu lên ở trên là các tính chất quen thuộc trên vành các đa thức x Giống như với x , đẳng thức (9) có phát biểu đảo sau đây

Mệnh đề 1.1.1 Nếu A B,    x sao cho A B 0 thì hoặc A0

hoặc B0

Chứng minh

Thật vậy, giả sử A 0,B  0 Gọia b, tương ứng là các hệ số khác 0 với

chỉ số nhỏ nhất của A và B Thế thì a b  0chính là hệ số 0 của AB với chỉ

Mệnh đề 1.1.3 Với các phép toán trên,    x lập thành một vành giao hoán

có đơn vị

Chứng minh

Việc kiểm tra các tiên đề của vành là thoả mãn 

Định lý 1.1.4 Chuỗi lũy thừa hình thức

0

i i i

f  a x



 là khả nghịch khi và chỉ khi a0  0.

b x

f Khi đó f 1 / f  và theo (1.1.1) ta có 1 c0   1 a b0. 0 vì thế a0  0.

Hơn nữa, trong trường hợp này (1.1.1) cho ta biết rằng với

Điều này xác định b b1, , 2 duy nhất

  Ngược lại, giả sử a0  Khi đó ta có thể xác định 0 b b0, , 1 từ (1.1.2), và kết quả chuỗi n n

n

b x

 là nghịch đảo của f 

1.2 Căn và lũy thừa hữu tỷ

ChoA x    x  có hệ số tự do bằng 1 và ,m n là các số nguyên với

n dương Ta định nghĩa luỹ thừaA x hay  1n n A x là chuỗi luỹ thừa B x 

với hệ số tự do bằng 1 sao cho  n  

B x  A x Một cách tổng quát hơn, ta định

nghĩaA x m n, hayn  m

A x như là chuỗi luỹ thừaB x với hệ số bằng 1 duy  

nhất thoả mãnB x n  A x m

Định lý 1.2.1 Cho A x    x  có hệ số tự do bằng 1 và n là một số nguyên dương Tồn tại duy nhất một phần tử B  B x    x  với hệ số tự

do bằng 1 sao cho B n  A

Để chứng minh định lý này ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.2.2 Nếu A  A x    x  có hệ số tự do bằng 1 thì với mọi số nguyên dươngn, A cũng có hệ số tự do bằng 1 Một cách cụ thể hơn, nếu n

Trong đó f b k 1 , ,b k1 là một đa thức của b1, ,b k1 với mọi k

Từ đây, đẳng thức Bn  A tương đương với một hệ phương trình vô hạn

Dễ thấy, hệ này xác định một nghiệm duy nhất b b1, , :2 trước hết b xác 1

định duy nhất bởi phương trình đầu tiên, rồi b xác định bởi 2 b và phương 1

trình thứ 2, và một cách truy hồi, với mọi k 1, b k xác định bởi phương trình

thứ k và các giá trị b1, ,b k1 

1.3 Đạo hàm hình thức Định nghĩa 1.3.1 Đạo hàm hình thức của A x  a0 a x1      x là chuỗi lũy thừa hình thức A x cho bởi công thức '    1 1 2 1 ' 2 k k k A x a a x ka x       Theo thông lệ, ta sẽ kí hiệu A x cho đạo hàm của ''  A x và một cách '  tổng quát,  n   A x cho đạo hàm thứ n của A x , được định nghĩa bằng quy nạp như đạo hàm của đạo hàm thứ n  của 1 A Mệnh đề 1.3.2 Giả sử A B,  x ,.Ta có                   1 1 ' 0

2 ' '

3 ' ' '

4 ' ' '

5 n ' n ', 0 A A const A A A B A B AB A B AB A nA A n               Hơn nữa, nếu A là khả nghịch thì         1 2 0 1 ' 6 '

'

7 n ' ,

n

A A

A A

A









 

    

Chứng minh

Các đẳng thức      1 , 2 , 3 là hiển nhiên Đẳng thức (4) cũng dễ dàng suy

ra từ việc so sánh hệ số lũy thừa của x trong hai vế Công thức (5) được suy ra bằng quy nạp theo n và bằng cách sử dụng (4)

Để thiết lập (6), ta chỉ cần đạo hàm hai vế đẳng thức A A  1 1 và sử dụng công thức Leibniz cho vế trái Cuối cùng, do An  A1 n ta suy ra

     

   

' 1

1

1

'

n n

n n

Công thức Leibniz có thể được phát biểu cho một tích hữu hạn như sau

mà việc chứng minh đơn giản là sử dụng qui nạp

1 1.4.11

     

1sin 1 1.4.5

n n

1

n k

n

n k

x n

1 2 6 20 70 252

1 4

924 3432 12870 48620 1.4.10

k k

k

k x

1.5 Hàm sinh của dãy số

Cho dãy số   an Chuỗi lũy thừa hình thức  

0

n n n

Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA VÀNH CÁC CHUỖI

LŨY THỪA HÌNH THỨC – HÀM SINH

2.1 Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để nghiên cứu dãy số

Nếu biết công thức truy hồi của dãy số  a n ta có thể ứng dụng hàm

sinh của dãy số này để tìm hoặc nghiên cứu số hạng tổng quát a của dãy theo n

phương pháp chung như sau:

n n

A x   a x là hàm sinh của dãy  a n

Bước 2: Nhân cả hai vế của công thức truy hồi với x , rồi tính tổng theo n

n, từ đó rút ra phương trình đối với A x  

Bước 3: Giải phương trình tìm A x Từ đó dựa vào các công thức đã biết  .suy ra a n

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ

Tương tự, nhân vế phải của2.1.1 với x rồi tính tổng theo n n ta được:

A x   a x

Nhân vế trái của2.1.2với x rồi tính tổng theo n n ta được:

n n n



Nhân vế trái của 2.1.3 với x rồi tính tổng theo n n ta được:

f x   u x u u x u x 

Nhân vế trái của 2.1.4

với x rồi tính tổng theo n n ta được:

Tương tự, nhân vế phải của2.1.4 với  n

x rồi tính tổng theo n ta được:

f x   a x

Nhân vế trái của 2.1.5

với x rồi tính tổng theo n n ta được:

Tương tự, nhân vế phải của 2.1.5

với x rồi tính tổng theo n n ta được:

n n n

2.2 Ứng dụng vành các chuỗi lũy thừa hình thức để giải các bài toán đếm

Hàm sinh là một công cụ rất hữu hiệu để giải quyết các bài toán đếm phức tạp, sau đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2.2.1

Giả sử có một kho trái cây gồm đủ nhiều các quả chuối, ổi, xoài và bưởi Với mỗi n, ta sẽ thử đếm xem có bao nhiêu cách tạo thành một giỏ trái cây gồm tổng cộng n quả sao cho số chuối là chẵn, số ổi chia hết cho 5, số xoài không vượt quá 4, số bưởi không vượt quá 1?

tự nhiên, k 2 2 Số cách đổi tờ n nghìn đồng thỏa yêu cầu bài toán chính là hệ

số của x n trong khai triển của chuỗi luỹ thừa hình thức:

n n

Tiếp theo, ta trình bày ứng dụng của hàm sinh để nghiên cứu số “mất trật tự”

Ví dụ 2.2.3 Định nghĩa số mất trật tự

Cho trước tập có n phần tử Ta định nghĩa số mất trật tự D là số các n

hoán vị không có điểm bất động trên một tập nphần tử cho trước Một phần tử được gọi là điểm bất động của hoán vị nếu nó bị cố định bởi hoán vị đã cho

Ví dụ 2.2.4 Số mất trật tự được tính bởi công thức

! 1 1! 1  1 1 2.2.1 

n n

Ta sử dụng phương pháp hàm sinh để chứng minh công thức trên

Cố định một tập S với n phần tử Dễ thấy mỗi hoán vị của S có đúng k

điểm bất động với k 0,1, ,n nào đó Như vậy, tập các hoán vị của Sđược phân hoạch thành các tập con các hoán vị với đúng k điểm bất động với 0,1, ,

k  n Với mỗi 0 k n  , ta hãy đếm số các hoán vị của S với đúng

k điểm bất động Việc cho một hoán vị của S với đúng k điểm bất động tương ứng với việc chọn một tập con k phần tử AcủaS (tập các điểm bất động) và một hoán vị không có điểm bất động trên tập S A\ Có n

k

 

 

 cách chọnA như vậy và D n k hoán vị không có điểm bất động trên tập S A\ Việc phân hoạch các hoán vị thành các tập con các hoán vị với đúng k điểm bất động 0 k n  với dẫn tới

Dễ thấy rằng vế trái chính là hệ số thứ n của tích của 0 1

!

n

n x n

n

x e

!

n n x

x

n

x e

n e

x x n

Từ đây ta thu được  2.2.1  

Để tiếp tục, ta giới thiệu cách sử dụng hàm sinh để nghiên cứu số Catalan

Ví dụ 2.2.5. Gọi C là số các cách chia một hình n n2 giác lồi cho trước bởi n2 đường chéo của nó, đôi một không cắt nhau bên trong đa giác,

thành các tam giác Một cách phân chia như vậy được gọi là một tam giác phân Ta quy ước C0  Ta có với mọi 1 n0,

2

1

2.2.21

n

n C

Trước hết, ta xác định công thức truy hồi cho số Catalan C Gọi đa giác n

đã cho là A A A1 2 n2 Trong mỗi tam giác phân, cạnh A A1 n2 phải thuộc đúng

một tam giác, chẳng hạn A A A1 i n2, i 2, ,n Tương ứng với mỗi12, , 1

i  n Việc tam giác phân của A A1 n2 nhận A A A1 i n2 làm một tam giác tương ứng với việc tam giác phân các đa giác A A1 2 ,A và i A A A1 i n2

Số các tam giác phân của A A bằng 1 i C i2 và của A A A1 i n2 là C n 1 i Từ đó

Như vậy, 1 2 xf x   1 4 x Thế nhưng, bằng cách để ý đến hệ số tự

do của hai vế, ta thấy rằng đẳng thức trên phải xảy ra với dấu” +” Cuối cùng, bằng cách sử dụng công thức (1.4.9) cho biểu thức trên ta thu được đẳng thức

2

1

1

n

n C

Cho , n k là số tự nhiên và 1 k n  Ký hiệu n

 được gọi là số Stirling loại 2 Sử dụng công

cụ hàm sinh ta có thể tìm được công thức tính của số Stirling loại 2

k r r

Loại 1: Số cách phân hoạch  n thành k lớp trong đó  n là 1 lớp

Dễ thấy số cách phân hoạch loại 1 chính là: 1

1

n k

Do đó có tất cả . 1

n k k

Từ (2.2.7) và (2.2.8) ta thu được, cho n k

= 1

11 =

1 =

= 1

k n

n k

k

n k r r k

n k r r

k

n k r r

rx r

n k

k r r

11

1

k k

0,1, 2,

n k

1

1

11 1

11

m m m

x x

n k n

2 1

2 0

1 21

k

k k

k k

x x

x x

x x

Bây giờ rất dễ để đọc hệ số của x n ở hai vế và ta có kết quả sau

n k n

Khi đó số các số chia hết cho 3 bằng a0  a3     a3k 0 3k 6n  Vậy ta cần tìm

6 3 0

n k k

m k

Nghĩa là   5

0 1 m 5 k

f x a a x a x  a x

Hay f x chính là hàm sinh của dãy   a m

Khi đó số các số chia hết cho 3 bằng 0 3

T a

Đặt

 

1

2 2

2

1 1

n k k n k p p k p k p k p k p k p p p k p k k p p k p p k p f a a a a a a a a a a a a a a a                                                     1 2 2 1

0

p p p k p p p p k k k k a a a S                    Vậy nếua a1, , ,2 an là p – cân bằng thì  k 0 1, , 1

f    k p   f x  là p – cân bằng với p 3, 5, 7,11,13,17   f x  có ít nhất 3 1   5 1   7 1   11 1   13 1   17 1 50nghiệm khác 0 Ngoài ra f  0 0 Suy ra f x có 51 nghiệm nên   f x  0

Vậy a1   a50  0 