TẬP hội tụ của các CHUỖI lũy THỪA HÌNH THỨC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘIĐỖ THU HẠNH TẬP HỘI TỤ CỦA CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC Ngườ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

ĐỖ THU HẠNH

TẬP HỘI TỤ CỦA CÁC CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Quang Diệu

HÀ NỘI, NĂM 2016

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên của luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơnsâu sắc đến GS.TS Nguyễn Quang Diệu, người thầy đã tận tình chỉbảo, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn này

Đồng thời tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy côgiáo trong khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung

và các thầy cô ở bộ môn Lý thuyết hàm nói riêng đã tạo điều kiện chotôi học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọingười đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thểhoàn thành nhiệm vụ của mình

Chúng tôi đã hoàn thành luận văn một cách tốt nhất có thể.Tuy nhiên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mongnhận được sự góp ý kiến của Thầy cô cũng như độc giả để luận vănđược hoàn chỉnh hơn Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 10 năm 2016

Đỗ Thu Hạnh

Mục lục

1.1 Hàm điều hòa dưới và Hàm đa điều hòa dưới 5

1.1.1 Hàm điều hòa dưới 5

1.1.2 Hàm đa điều hòa dưới 9

1.2 Đường kính siêu hạn và dung tích siêu hạn 13

1.3 Tập đa cực trong Cn 14

2 Tập hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức 24 2.1 Tập hội tụ trong không gian Cn 24

2.2 Tập hội tụ trong không gian xạ ảnh 29

Mở đầu

Một chuỗi lũy thừa hình thức f (x1, x2, , xn) với các hệ số trong

C được gọi là hội tụ nếu nó hội tụ tuyệt đối trong một lân cận của gốctọa độ trong Cn Một kết quả cổ điển của Hartogs nói rằng một chuỗi

f hội tụ khi và chỉ khi nó hội tụ với mọi ξ ∈ Pn−1, tức là fξ(t) :=

f (ξ1t, ξ2t, , ξnt) hội tụ, như một chuỗi theo t, với mọi ξ ∈Pn−1 Điềunày tương tự như Định lý Hartogs đối với hàm chỉnh hình tách biến.Theo Abyankar- Moh, ta định nghĩa tập hội tụ của một chuỗi lũy thừaphân kỳ f là tập các ξ ∈Pn−1 thỏa mãn fξ(t) là hội tụ Trong trườnghợp n = 2, P LeLong đã chứng minh được vào năm 1951, tập hội tụcủa một chuỗi lũy thừa phân kỳ f (x1, x2) là một tập đa cực loại Fσ

trong P1 Hơn nữa A.Sathaye đã chứng minh vào năm 1976 khẳng địnhngược lại rằng mọi tập con đa cực loại Fσ của P1 chính là tập hội tụcủa một chuỗi lũy thừa phân kỳ f (x1, x2) nào đó

Vấn đề miêu tả tập hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức là mộtvấn đề đã và đang được quan tâm của Giải tích phức và hệ động lựcđịa phương Để hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này chúng tôi chọn đề tàinghiên cứu là "Tập hội tụ của các chuỗi lũy thừa hình thức"

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một số kết quả củaDaowei Ma và Tejinder S Neelon Đó là một tập đếm được của các tập

đa cực toàn cục đóng trong Pn−1 là tập hội tụ của một chuỗi phân kỳ.Đây là kết quả mở rộng của một số định lý đã nói ở phần trên của P.LeLong, Levenberg và Molzon và A.Sathaye.

Nhiệm vụ của luận văn là nghiên cứu tập hội tụ của chuỗi lũythừa có dạng f (s, t) = PjPj(s)tj với các hệ số Pj(s) là các đa thức

có bậc nhỏ hơn hoặc bằng j Đây là các kết quả gần đây của J.Ribon

và R.Pérez-Macor Định lý 2.1.5 và Định lý 2.2.15 là hai định lý chính

Chúng tôi nghiên cứu luận văn dựa trên việc nghiên cứu tậphội tụ của các chuỗi lũy thừa hình thức trên cơ sở bài báo "On con-vergence sets of formal power series" của tác giả Daowei Ma

và Tejinder S Neelon Đồng thời kết hợp với sự tổng hợp các kiến thức

về giải tích phức và đa thế vị đã được học

Bố cục của luận văn ngoài lời nói đầu, kết luận và tài liệu thamkhảo, được chia làm hai chương Đó là:

• Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở của lý thuyết đa thế vị để

có thể đi đến trình bày các kết quả ở chương sau Các nội dung chínhcủa chương 1 là : Hàm điều hòa; Hàm đa điều hòa; Đường kính siêuhạn và dung tích siêu hạn; Tập đa cực

• Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúngtôi trình bày lại nội dung bài báo "On convergence sets of formalpower series" của tác giả Daowei Ma và Tejinder S Neelon có chứngminh hai Định lý 2.1.5 và Định lý 2.2.15

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày tóm tắt các kiến thức cơbản của lý thuyết đa thế vị phức

1.1 Hàm điều hòa dưới và Hàm đa điều hòa dưới

1.1.1 Hàm điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tôpô Hàm u: X→ [−∞, +∞)

gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈ R,

u(w+ reitdt) (1)

Kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω).

Sau đây là ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới

Ví dụ 1.1.3 Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f |

là hàm điều hòa dưới trên Ω

Trường hợpf ≡ 0thì kết quả là rõ ràng Giả sửf 6≡ 0trênΩ Khi đó

rõ ràng log |f | là hàm nửa liên tục trên Ω Giả sử w ∈ Ω, nếu f (w) 6= 0

thì chọn % > 0 sao cho f 6= 0 trên B(w, %) = {z ∈ Ω : |z −w| < %}.Khi đó log |f | là hàm điều hòa trên B(w, %) = {z ∈ Ω : |z −w| < %}

nên (1) được thỏa mãn với dấu đẳng thức Trường hợp f (w) = 0, khi

đó log |f (w)| = −∞ và do đó (1) luôn đúng

Mệnh đề 1.1.4 Giả sử Ω là tập mở trong C và u : Ω → [a, b)

là hàm điều hòa dưới trên Ω, ở đó −∞ ≤ a < b ≤ +∞ Giả sử

ψ : (a, b) → R là hàm lồi tăng Khi đó ψ ◦ u là hàm điều hòa dướitrên Ω

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở

Ω trong C Khi đó:

(i) max(u, v) là hàm điều hòa dưới trên Ω

(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón lồi, nghĩa là nếu

trên Ω.

(ii) Nếu lim sup

z→ζ

u (z) ≤ 0 đối với mọi ζ ∈ ∂Ω thì u ≤ 0 trên Ω

Định lý 1.1.7 Giả sử Ω là tập mở trong C và u là hàm nửa liêntục trên Ω Khi đó các phát biểu sau là tương đương

(i) u là hàm điều hòa dưới trên Ω

(ii) Với mọi w ∈ Ω, tồn tại ρ > 0 sao cho ∆ (¯ w, ρ) ⊂ Ω và với mọi

u w+ ρeiθ
dθ

Định lý 1.1.9 Giả sử u ∈ C2(Ω) Khi đó u là điều hòa dưới trên

Ω khi và chỉ khi ∆u ≥ 0 trên Ω, ở đó ∆u = ∂∂x2u2 + ∂∂y2u2 là Laplace của

u

Định lý 1.1.10 Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω1 và

v là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω2 ⊂ Ω1 Giả thiết

là điều hòa dưới trên Ω1

Định lý 1.1.11 Giả sử {un} là dãy giảm các hàm điều hòa dướitrên tập mở Ω trên C và u = lim un Khi đó u là hàm điều hòa dướitrên Ω

Định lý 1.1.12 Nếu u là hàm điều hòa dưới trên miền Ω Khi đó

u khả tích địa phương trên Ω, nghĩa là với mọi K b Ω ta có

Z

K

|u|dV < +∞

Bổ đề 1.1.13 Giả sử u là các hàm điều hòa dưới trên miền Ω ⊂C

sao cho u 6≡ −∞ trên Ω Khi đó tập

ψ



Z

Hệ quả 1.1.15 Nếu u là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω ⊂ C

thì eu cũng điều hòa dưới trên Ω

Định lý 1.1.16 Giả sử f : Ω1 → Ω2 là ánh xạ chỉnh hình giữa haitập mở trong C Nếu u là hàm điều hòa dưới trên Ω2 thì u ◦ f làhàm điều hòa dưới trên Ω1

Định lý 1.1.17 Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở

Ω ⊂ C sao cho u = v ( tương ứng u ≥ v) hầu khắp nơi trên Ω Khi

(viết u ∈ P SH(Ω)) nếu với mọi a ∈ Ω và b ∈ Cn, hàm λ 7→ u(a+λb)

là hàm điều hòa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thôngcủa tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}

Ta kí hiệu tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω là P SH(Ω)

Định lý 1.1.19 Giả sử u : Ω → [−∞, +∞) là hàm nửa liên tụctrên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của

Ω ⊂ Cn Khi đó u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn

xác định dương, nghĩa là với mọi w = (w1,w2, ,wn) ∈ Cn

∂z j ∂ ¯ z k (z) bj¯bk là dạng Levi của ϕ tại

z Ngược lại, nếu v ∈ L1loc(Ω) sao cho với mọi z ∈ Ω,mọi b =(b1, b2, , bn) ∈ Cn

theo nghĩa suy rộng thì hàm u = lim

ε→0(v ∗ χε) là hàm đa điều hòadưới trên Ω và bằng hầu khắp nơi trên Ω

Định lý 1.1.23 Giả sử Ω là tập mở trong Cn

(i) Nếu u, v ∈ P SH (Ω) thì max{u, v} ∈ P SH (Ω) và nếu α, β ≥ 0

thì αu + βv ∈ P SH (Ω) Nghĩa là P SH(U ) là nón lồi

(ii) Nếu {uj}j≥1 ⊂ P SH (Ω) là dãy giảm thì u = lim uj hoặc là hàm

đa điều hòa dưới trên Ω hoặc ≡ −∞

(iii) Nếu dãy {uj} ⊂ P SH (Ω) là dãy hội tụ đều trên mọi tập pact của Ω tới hàm u : Ω →R thì u ∈ P SH (Ω)

com-(iv) Giả sử {uα}α∈I ⊂ P SH (Ω) sao cho u = sup {uα : α ∈ I} là bịchặn trên địa phương Khi đó u∗ ∈ P SH (Ω) , trong đó u∗ là chínhqui hóa nửa liên tục trên của u

Định lý 1.1.24 Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở, ω ⊂ Ω là tập con mởthực sự, khác rỗng của Ω Giả sử u ∈ P SH (Ω) , v ∈ P SH (ω) và

Mệnh đề 1.1.25 Nếu u, v ∈ P SH (Ω) và u = v ( tương ứng u ≥ v)hầu khắp nơi trên Ω thì u = v ( tương ứng u ≥ v) trên Ω.

Mệnh đề 1.1.26 Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở Khi đó P SH (Ω) ⊂

SH (Ω) ⊂ L1loc(Ω) Từ đó tập E = {z ∈ Ω : u (z) = −∞} có độ đoLebessgue bằng 0

Định lý 1.1.27 Giả sử u ∈PSH(Ω), Ω ∈ Cn là tập mở và

Ψ : u(Ω) → R là hàm lồi tăng lớp C2 Khi đó Ψ ◦ u ∈ P SH(Ω)

Từ đó ta được hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.28 Nếu u ∈ PSH(Ω) thì eu ∈ P SH(Ω) Nếu u ∈

P SH(Ω), u ≥ 0 và α ≥ 1 thì uα ∈ P SH(Ω)

Định lý 1.1.29 ( Định lý xấp xỉ) Nếu u ∈ P SH(Ω), u 6≡ −∞ thì

u ∈ P SH(Ω) ∩ C∞(Ω) và u & u trên Ω khi  & 0

Bổ đề 1.1.30 ( Bổ đề Hartogs) Giả sử {uj}j≥1 ⊂ P SH(Ω) là bịchặn trên đều địa phương trong tập mở Ω ⊂ Cn Giả sử với mỗi

1.2 Đường kính siêu hạn và dung tích siêu hạn

Ký hiệu Z+ là tập các số nguyên không âm Cho n là số nguyêndương Cho α = (α1, α2, , αn) ∈ Zn+, |α| = α1 + α2 + + αn.Cho {α(1), α(2), } là dãy các chỉ số với các phần tử thuộc Zn+ đãđược đánh thứ tự với |α(i)| không giảm Đặt xα = xα1

Khi đó đại lượng c(E) được gọi là dung tích siêu hạn của E

Kết quả dưới đây cho mối liên hệ giữa các đại lượng c(E) và d(E).Chứng minh của nó có thể được tìm thấy trong [6], [7]

Bổ đề 1.2.1 Cho tập compact E trong Cn khi đó

(i) c(E) = 0 khi và chỉ khi d(E) = 0, và

(ii) Nếu n = 1 thì c(E) = d(E)

Ta cũng cần sử dụng đánh giá sau về hệ số của đa thức

Bổ đề 1.2.2 (Bất đẳng thức Bernstein) Giả sử E là tập pact trong Cn với c(E) > 0 Khi đó tồn tại hằng số CE > 0 sao chovới mọi đa thức p(z) = P

com-|α| 6 daαzα ta có |aα| 6 CEd||p||E.Chứng minh Chọn R > 0 để B(0, R) ⊃ E Theo bất đẳng thứcCauchy cho đạo hàm ta có |aα| 6 ||P ||B(0,R)/r|α| Cho R → ∞ và

sử dụng định nghĩa của c(E) ta có điều phải chứng minh

trong Cn sao cho u = −∞ trên E ∩ U

Tập E được gọi là tập đa cực toàn cục nếu có một hàm đa điều hòadưới không hằng u xác định trên Cn thỏa mãn: E ⊂ {y : u(y) = −∞}

Một định lý của Josefson đã nói rằng E là đa cực khi và chỉ khi

E là đa cực toàn cục Ngoài ra chúng ta cũng có khái niệm sau

Tập E được gọi là tập đa cực đầy nếu có một hàm đa điều hòadưới u xác định trên Cn, u 6≡ −∞ và thỏa mãn: E = {y : u(y) =

Ví dụ 1.3.1 E := {(0; x2) : |x2| < 1} là đa cực trong C2 Tuy nhiênmọi hàm u ∈ P SH(C2), u|E = −∞ sẽ trùng với −∞ trên {0} ×C.

Vậy E không đa cực đầy

Mệnh đề 1.3.2 Hợp đếm được của các tập đa cực là đa cực

Tập hợp các số hữu tỉ trên [0; 1] là tập cực, nhưng nó không phải cócực đầy, bởi vì mỗi tập đa cực đầy là Gδ Trong C, mỗi tập cực dạng

Gδ là tập cực đầy Đó chính là nội dung của Định lý Deny

Theo Sicicak, chúng ta định nghĩa họ các hàm đa điều hòa dưới

Cho Q(Cn) = {(p, k) : k ∈ N, p ∈ Pk(Cn)} Ta ký hiệu

|(p(x), k)| = |p(x)|k1,

||(p(x), k)|| = |p(x)|

1 k

|x| ,

và

||(h, k)||K = sup{||(h(x), k)|| : x ∈ K, x 6= 0}, ||(h, k)|| = ||(h, k)||Cn

Định nghĩa 1.3.3 Cho F ⊂ Cn, F 6= ∅, x ∈ Cnvà 0 ≤ r ≤ 1 Tađặt

Chứng minh Cố định x ∈ CnF Khi đó x 6= 0, vì u(0) = 0 Cho

r là số dương thỏa mãn r < u(x)/|x| ≤ 1 và cho δ ∈ (0, r) Cho

ϕ(x) = max(u(x), δ|x|) Khi đó ϕ là hàm liên tục trong H(Cn) Theo[6], ∀y ∈ Cn,

ϕ(y) = sup{|(h(y))|1k : (h, k) ∈ Γ(Cn), |(h(z))|1k ≤ ϕ(z), ∀z ∈ Cn}

Do đó với mỗi cặp (h, k) ∈ Γ(Cn) thỏa mãn |(h(z))|1k ≤ ϕ(z), ∀z ∈ Cn,

và r|x| < |(h(x))|1k ≤ ϕ(x), cho nên

|(h(x))|k1 > r|x|, ||(h, k)|| ≤ 1, ||(h, k)||F ≤ δ

Do đó τH(x, F, r) ≤ δ Tuy nhiên τH(x, F, r) = 0 với mỗi r < u(x)/|x|

Vì vậy TH(x, F ) ≥ u(x)/|x| Ta có điều phải chứng minh

Từ (1.1) ta thấy mỗi tập đa cực L- đầy trong Cn đều có mối liên hệvới một tập đa cực H-đầy trong C×Cn Hơn nữa từ bổ đề trên ta cókết quả sau

Mệnh đề 1.3.5 Cho E = {v = 0} là tập đa cực L- đầy trong Cnvới v ∈ L(Cn) sao cho hàm u(x0, x) := |x0| exp(v(x/x0)) xác địnhtrên {x0 6= 0} mở rộng được thành hàm liên tục trên C ×Cn Khi

đó với mỗi x ∈ CnE, TL(x, E) ≥ (1 + |x|2)−12 exp(v(x))

Bổ đề 1.3.6 Cho E = {g = 0} là tập đa cực đóng L- đầy trong Cnvới g ∈ G(Cn) sao cho

sup{(1 + |y|2)−12 g(y) : y ∈ Cn} = 1

Khi đó với mỗi x ∈ CnE và với mỗi tập compact K, TL(x, E ∩K) ≥ (1 + |x|2)−12 g(x)

Chứng minh Nếu E ∩ K = ∅ khi đó rõ ràng bất đẳng thức đúng

vì TL(x,∅) = 1 Cố định x ∈ CnE và một tập compact K với

E ∩ K 6= ∅ Cho r > 0 thỏa mãn r < (1 + |x|2)−12 g(x) Cho η là một

số dương với η < r Cho λ là số dương nhỏ hơn khoảng cách giữa cáctập đóng {y : g(y) ≥ η} và tập compact E∩K, λ đủ nhỏ sao cho

Với µ > 0, Cho gµ(y) = R g(y + µz)ω(z)dz Khi đó gµ ∈ G(Cn),

gµ là C∞ và dương, và gµ ↓ g khi µ ↓ 0 Nếu y ∈ E ∩ K và nếu |z| < 1,khi đó y + λz /∈ {y : g(y) ≥ η} và do đó g(y + ηz) < η Từ đó suy ra

Vì thế |p(z)|k ≤ ψλ(z), ∀z ∈ Cn dễ thấy ||(p, k)|| ≤ 1 + 3λ và

||(p, k)||K∩E ≤√η + λ (1.3)Với λ đủ nhỏ,

(λ + gλ(x))1−λ + λ(1 + |x|2)12 > (1 + 3λ)r((1 + |x|2)12),

Khi λ tiến dần đến 0 ta có g(x) − r((1 + |x|2)12) > 0 Từ đó khi λ đủnhỏ thì

ψλ(x) > (1 + 3λ)r((1 + |x|2)12) (1.4)Theo (1.3), (1.4) và (1.5), ta có τ (x, E ∩ K, r) ≤ (1 + 3λ)−1(√

η + λ).Cho λ → 0, khi đó η → 0 ta có τ (x, E ∩ K, r) = 0 Từ đó

∀r < g(x)(1 + |x|2)−12 , kéo theo TL(x, E ∩ K) ≥ g(x)(1 + |x|2)−12 Định nghĩa 1.3.7 Tập đa cực E trong Cn được gọi là J - đa cựcđầy nếu với mỗi x ∈ Cn\E và với mỗi tập compact K, TL(x, E∩K) >0

Từ Bổ đề 1.3.6 ta có kết quả đơn giản sau về tập J- đầy

Mệnh đề 1.3.8 Mọi tập L-đa cực đầy và đóng trong Cn là J- đầy.Mệnh đề 1.3.9 Giao của các tập J-đa cực đầy trong Cn là J-đacực đầy Hợp hữu hạn của các tập J-đa cực đầy trong Cn là J-đacực đầy

Chứng minh Giả sử {Eα}α∈A là tập hợp của các tập J- đa cực đầytrong Cn và cho E = ∩αEα Cho K là tập compact trong Cn, x ∈

Cn\E, tồn tại β ∈ Λ thỏa mãn x /∈ Eβ

Khi đó TL(x, E ∩ K) ≥ TL(x, Eβ ∩ K) > 0 Vậy E là J- đầy.

Cho F1, F2, , Fn là các tập J-đa cực đầy trong Cn và cho F =

∪mj=1Fj Cho K là tập compact trong Cn và giả sử x ∈ Cn\F chọn số

r sao cho 0 < r < minjTL(x, Fj∩ K) Khi đó τ (x, Fj ∩ K, r) = 0, với

j = 1, , m Cho ε > 0 ta có (hj, kj) ∈ Q(Cn), j = 1, , m, sao cho

và TL(x, F ∩ K ≥ r > 0 Vậy F là J-đa cực đầy

Ta có kết quả sau về mối liên hệ giữa tập đa cực đầy và L-đầy

Định lý 1.3.10 Mọi tập đa cực đầy trong Cn là L-đa cực đầyChứng minh Giả sử E là tập đa cực đầy trong Cn,u là hàm đa điềuhòa dưới sao cho E = {x : u(x) = −∞} Lấy dãy tăng các số dương

{Mj} sao cho lim Mj = ∞ và Mj ≥ sup|z|≤exp 2j u(z), với mỗi j ta xácđịnh hàm vj cho bởi :

lim sup

|x|<e 2j ,x→ζ

(2−j(Mj−1u(x) − 1)) ≤ 0 = 2−j log |ζ| − 1,

hàm vj là hàm đa điều hòa dưới trong Cn theo định lí này, trên mỗi tập

mở với bao đóng compact, trừ một số xác định củavj đều không dương.Suy ra v(x) := P∞j=1vj(x) là đa điều hòa dưới (hoặc đồng nhất với

−∞) Vì dãy các tổng riêng của chuỗi là không tăng thực sự Rõ ràng

vj(x) ≤ 2−j log+(x) với mỗi j ta có v(x) ≤ log+(x) Vậy v ∈ L(Cn)

( hoặc v đồng nhất với −∞)

Giả sử rằng y ∈ E Khi đó u(y) = −∞,và vj(y) = 2−j log |y| − 1

với mỗi j Vậy v(y) = −∞

Bây giờ giả sử rằng y ∈ Cn\E sao cho u(y) > −∞ Khi đó

vj(y) > ∞ với mỗi j Mặt khác, do

lim

j→∞(2−jMj−1u(y) − 1) = 0 > −1 = lim

j→∞(2−j log |y| − 1),

từ đó suy ra tồn tại m = m(y) sao cho

2−j(Mj−1u(y) − 1) > −12 > (2−j log |y| − 1) với j > m

Vậy y ∈ B(0, e2j) và vj(y) = 2−j(Mj−1u(y) − 1) với j > m, và ta có

v(y) = Pmj=1vj(y) +P∞j=m+12−j(Mj−1u(y) − 1)

≥ Pm j=1vj(y) +P∞

j=12−j(−Mj−1|u(y)| − 1)

= Pm j=1vj(y) + (−M1−1|u(y)| − 1) > −∞

Đặc biệt v không đồng nhất với −∞ nên v ∈ L(Cn) và E = {x :=v(x) = −∞}

Từ định lý trên và Mệnh đề 1.3.8 ta có kết quả sau

Định lý 1.3.11 Mọi tập đóng đa cực đầy trong Cn đều là J-đacực đầy